PAC Programme Argumente du CAPES - Partie XXXIX - Etude locale des fonctions

Dany-Jack Mercier

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Programme Argumenté du CAPES
Partie XXXIX
Etude locale des fonctions
Dany-Jack Mercier
IUFM de Guadeloupe, Morne Ferret,
BP399, Pointe-à -Pitre cedex 97159, France
[e-mail]
24 juin 2002
Introduction
Ce travail se veut une aide à la préparation de l’écrit du CAPES. Il devrait
faciliter une lecture approfondie du programme. Les exposés de la série PAC
(Programme Argumenté du CAPES) débutent toujours par le rappel d’une
partie du programme o¢ciel du concours tel que publié au BOEN (Bulletin
O¢ciel de l’Education Nationale), puis reprennent chacun des items en les
détaillant.
±1 Programme du BO Spécial n 8 du 24 mai 2001 (Spécial)
II. Fonctions d’une variable réelle ; calcul di¤érentiel et intégral
(...)
2. Etude locale des fonctions
a) Développements limités, opérations sur les développements limités.
b) Exemples simples de développements asymptotiques.
Intégration des relations de comparaison au voisinage d’un point entre des fonctions con-
tinues ; intégration des développements limités. Théorè me de Taylor-Young (existence
pd’un développement limité d’ordre p pour une fonction de classe C ).
0[cdev0002] v1.01¯ http://perso.wanadoo.fr/megamaths
°c 2002, D.-J. Mercier. Vous pouvez faire une copie de ces notes pour votre usage personnel.
12 Comparaison des fonctions
¹ ¹Soit A une partie non vide de R, A son adhérence R, a 2 A, et F l’ensemble des fonctions
de R dans R dont l’ensemble de dé…nition contient A. dans la suite, nous énoncerons
les dé…nitions en supposant que a 2 R. Dans le cas où a = §1 il su¢ra de remplacer
l’assertion ”jt ¡ aj < ´ ” par l’une des assertions ”t > ´ ” ou ”t < ¡ ´ ” suivant le cas.
2.1 Domination
Dé… nition 1 Soient f;g 2 F. On dit que f est dominée par g, ou que g domine f,
au voisinage de a, si
¤9M 2 R 9´ 2 R jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t)j · M jg (t)j:+
On note alors f ¹g (notation de Hardy) ou f = O (g) (notation de Landau).
Remarques : 1) Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, alors f = O (g) si, et seulement
fsi, est bornée au voisinage de a (dans A).g
2) f = O (1) si, et seulement si, f est bornée au voisinage de a.
3) Si f = O (g) il existe un voisinage de a dans A tel que, sur ce voisinage, tout zéro de
g soit un zéro de f.
4) La relation de domination est une relation de préordre (elle est ré‡exive et transitive).
Elle n’est pas antisymétrique puisque t = O (3t) et 3t = O (t) sans que t soit égale à 3t.
Théorème 1 Si f; g; h 2 F et si ¸ 2 R, alors
(f = O (h) et g = O (h)) ) f + ¸g = O (h):
En particulier l’ensemble des applications de A dans R dominées par une même fonction
Ah forme un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel R des applications de A àvaleurs
dans R.
Théorème 2 Si f; f ;g;g 2 F, alors1 1
(f = O (f ) et g = O (g )) ) fg = O (f g ):1 1 1 1
2.2 Prépondérance
Dé… nition 2 Soient f; g 2 F. On dit que f est négligeable devant g, ou que g est
prépondérante devant f, au voisinage de a, si
¤ ¤8" 2 R 9´ 2 R jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t)j · "jg (t)j :+ +
On note alors f ¿ g (notation de Hardy) ou f = o(g) (notation de Landau).
Remarques : 1) On note parfois f = o(g) pour rappeler que l’on se place au voisinage
a
du point a.
2) f = o (1) si et seulement si lim f = 0.t!a;t2A
f3) Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, alors f = o(g) équivaut à lim = 0.t!a;t2A g
4) En…n la relation de prépondérance est transitive, mais non ré‡exive.
¡ ¢
¯ ® ® ¯Exemple : Si ® < ¯ alors t = o (t ) et t = o t .
0 +1
2Théorème 3 f = o(g) si et seulement si il existe une application " : R ! R telle que
8t 2 A f (t) = "(t):g (t) et lim "(t) = 0:
t!a
Preuve : La condition est clairement su¢sante. Montrons qu’elle est nécessaire. Si
f = o(g), alors
8" > 0 9´ > 0 jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t)j · "jg (t)j:
Posons
(
f(t)"(t) = si t 2 A et g (t) = 0;g(t)
"(t) = 0 sinon.
On constate que f (t) = "(t):g (t) pour tout t 2 A et que lim "(t) = 0.
t!a
Théorème 4 Si f; g; h;l 2 F et ¸ 2 R, alors
1) f = o(g) ) f = O (g);
2) f = o(g) et g = O (h) ) f = o(h);
3) f = O (g) et g = o(h) ) f = o(h);
4) f = o(h) et g = o(h) ) f + ¸g = o(h);
5) f = o(h) et g = O (l) ) fg = o(hl):
2.3 Equivalence
2.3.1 Dé… nition et propriétés
Dé… nition 3 Deux fonctions f et g de F sont équivalentes au voisinage de a si
f ¡ g = o(g). On note alors f » g ou simplement f » g si aucune confusion n’est à
a
craindre.
Théorème 5 La relation »est une relation d’équivalence dans F.
Preuve : ²Ré‡exivité : f ¡ f = 0 = o(f).
²Symétrie : Si f ¡ g = o(g), il existe ´ > 0 tel que jt ¡ aj < ´ et t 2 A entraîne
1 1jf (t) ¡ g (t)j · jg (t)j, soit à fortiori jjf (t)j ¡ jg (t)jj · jg (t)j, puis2 2
1 3
jg (t)j · jf (t)j · jg (t)j :
2 2
Cela prouve que f = O (g) et g = O (f). Pour conlure, il su¢t alors de voir que
½
f ¡ g = o(g)
) f ¡ g = o(f) , g ¡ f = o(f):
g = O (f)
Une autre solution consiste à écrire
8" > 0 9´ > 0 jt ¡ aj < ´ et t 2 A ) jf (t) ¡ g (t)j · "jg (t)j:
3
6Si jt ¡ aj < ´ ; t 2 A et 0 < " < 1,
"
jf (t) ¡ g (t)j · "(jg (t) ¡ f (t)j + jf (t)j) ) jf (t) ¡ g (t)j · jf (t)j :
1 ¡ "
" 0Comme lim = 0, et si " > 0 est donné à l’avance, il existera " 2]0;1[ tel que"!0 1¡"
" 0 0< " , d’où jf (t) ¡ g (t)j · " jf (t)j dè s que jt ¡ aj < ´ .1¡"
²Transitivité : Si f ¡ g = o(g) et g ¡ h = o(h), alors
f ¡ h = f ¡ g + g ¡ h = o(g) + o(h) (¤)
On a vu ci-dessus que g ¡ h = o(h) entraîne g = O (h), de sorte que toute fonction
négligeable devant g le soit aussi devant h. L’égalité (¤) entraîne alors f ¡ h = o(h).
Théorème 6 f »g si, et seulement si, il existe une application " : R ! R telle que
8t 2 A f (t) = (1 + "(t)) g (t) et lim "(t) = 0:
t!a
Preuve : Simple conséquence du Théorè me 3.
Théorème 7 Si g ne s’annule pas sur un voisinage de a, alors
f (t)
f »g , lim = 1
a t!a g (t)
t2A
Preuve : Immédiat d’aprè s la Dé…nition.
Exemples :
x 2e ¡ 1 3t + 2t + 4 3
sinx »x; »1; ln(1 + x) »x; » :30 x 0 0 5t + 8 +1 5t
Ces deux caractérisations de l’équivalence entre fonctions permettent de démontrer facile-
ment les résultats suivants :
Corollaire 1 Si f »g il existe un voisinage V de a dans A sur lequel f et g ont mêmes
a
zéros et même signe. De plus si l 2 R,
lim g (t) = l ) lim f (t) = l:
t!a;t2A t!a;t2A
Preuve : Il existe un voisinage V de a dans A tel que f (t) = (1 + "(t)) g (t) pour tout
1t 2 V , avec j"(t)j · . L’expression 1 + "(t) est strictement positive sur V donc pour2
t 2 V ,
f (t) = 0 , g (t) = 0
et les signes de f (t) et g (t) sont identiques. On a aussi
lim g (t) = l ) lim f (t) = lim (1 + "(t))g (t) = l:
t!a;t2A t!a;t2A t!a;t2A
4Corollaire 2 - Compatibilité avec le produit -
½
f »f1 ) fg »f g :1 1
g »g1
Corollaire 3 - Puissance -
Si f et g sont strictement positives et si ® 2 R,
® ®f »g ) f »g :
a a
Corollaire 4 - Compatibilité avec l’inverse
1 11) Si f »g et si g ne s’annule pas au voisinage de a , alors f non plus et » :f ga a
2) Si f »f , si g »g et si g ne s’annule pas au voisinage de a , alors g non plus et1 1 1
a a
f f1
» :
ag g1
Théorème 8 Dans les relations de domination, de prépondérance ou d’équivalence on
peut remplacer une fonction par une fonction équivalente.
2.3.2 Quelques précautions
1) Cas de la somme : f »f , si g »g n’entraînent pas f + g »f + g mê me si g1 1 1 1
a a a
et g représentent la mê me constante k. En e¤et,1
( 2 2t » t + t
+1 et 0 n’est pas équivalente à t au voisinage de + 1.2 2¡ t » ¡ t
+1
2 2On a encore 1 +t »1+ t bien que t ne soit pas équivalente à t au voisinage de 0. Voilà
0
cependant un cas favorable :
Théorème 9 Si f et g sont positives au voisinage de a, alors1 1
(
f »f1
a ) f + g »f + g :1 1g »g a1
a
Preuve : On a f (t) = (1 + "(t)) f (t) et g (t) = (1 + ¿(t)) g (t) où les fonctions "(t) et1 1
¿