Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

Pierre Pujol, Marc Magro, Angel Alastuey

Description

PHYSIQUESAVOIRS ACTUELS PHYSIQUE ET OUTILS MATHÉMATIQUES MÉTHODES ET EXEMPLES ANGEL ALASTUEY MARC MAGRO PIERRE PUJOL Extrait de la publication CNRS ÉDITIONS Angel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol Physique et outils mathématiques: méthodes et exemples SAVOIRS A CTUELS EDP Sciences / CNRS Éditions Extrait de la publication Imprimé en France. c 2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtaboeuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili- sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’oeuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : [phone].

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Extrait

S A V O I R S

P H Y S I Q U E

A C T U E L S

PHYSIQUE ET OUTILS MATHÉMATIQUES MÉTHODES ET EXEMPLES

ANGEL ALASTUEY MARC MAGRO PIERRE PUJOL

CNRS ÉDITIONS

Extrait de la publication

Angel Alastuey, Marc Magro et Pierre Pujol

Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences / CNRS Éditions

Extrait de la publication

Imprimé en France.

c 2008,EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtaboeuf, 91944 Les Ulis Cedex A et

CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représen tation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et const itue une contrefaçon. Seules so nt autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’us age privé du copiste et non destinées à une utili- sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’oeuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : [phone].

ISBNEDP Sciences 978-2-7598-0043-8

Extrait de la publication

Table

des

Liste des exercices

Préface

Avant-propos

Introduction

1

2

matières

Réponse linéaire et analyticité 1.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Définition de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Analyticité de la susceptibilité . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Propriétés de parité et dissipation . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Comportement aux basses et aux grandes fréquences . 1.1.6 Relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Règles de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8 Perturbations inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Admittance d’un circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Absorption et dispersion dans un diélectrique . . . . . . 1.2.3 Écoulement oscillant dans un capillaire . . . . . . . . . 1.2.4 Réponse d’un plasma dans l’approximation de Vlasov . 1.2.5 Conductivité et formule de Kubo . . . . . . . . . . . . 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fonctions de Green indépendantes du temps 2.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Définition et propriétés des fonctions de Green . . . 2.1.2 Point de vue opératoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Opérateur Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Opérateur de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Opérateurs Laplacien et de Helmholtz en basse dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Extrait de la publication

. . . . . .

vii

ix

xi

xiii

1 3 3 7 8 10 11 13 18 19 21 21 25 31 38 45 54

61 63 63 67 70 83

87

iv

3

4

A

B

C

2.2 2.3

Physique et outils

mathématiques

: méthodes et

exemples

2.1.6 Opérateurs inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2.1 Origine de la méthode des images . . . . . . . . . . . . 104 2.2.2 Boule en mouvement uniforme dans un fluide . . . . . 107 2.2.3 Densité d’états d’une particule quantique . . . . . . . 113 2.2.4 Diffusion par un potentiel répulsif . . . . . . . . . . . . 119 2.2.5 Modélisation simple du vent soufflant sur un mur . . . 122 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Fonctions de Green dépendantes du temps 143 3.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.1.1 Fonctions de Green et causalité . . . . . . . . . . . . . 145 3.1.2 Opérateurs à variables séparables . . . . . . . . . . . . 148 3.1.3 Équation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.1.4 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.1.5 Équation de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.1.6 Équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.2.1 Diffusion dans un segment . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.2.2 Diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.2.3 Émission d’ondes sonores . . . . . . . . . . . . . . . . 209 3.2.4 Front d’onde en régime supersonique . . . . . . . . . . 215 3.2.5 Sur l’instantanéité de la propagation de la chaleur . . . 221 3.2.6 Polarisabilité de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . 227 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Méthode du Col 245 4.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.1.1 Intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.1.2 Intégrale sur un chemin du plan complexe . . . . . . . 254 4.1.3 Cas d’une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . 262 4.2 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 4.2.1 Formule de Stirling et facteur d’indiscernabilité . . . . 267 4.2.2 Équivalence des ensembles canonique et micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 4.2.3 Cristal harmonique à basse température . . . . . . . . 275 4.2.4 Modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.2.5 Approximation semi-classique . . . . . . . . . . . . . . 287 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Fonctions d’une variable complexe

Transformée de Laplace

Opérateurs différentiels

à une variable

Extrait de la publication

301

305

309

Table des matières

D

E

F

G

H

I

J

K

Espaces de Hilbert et notation de Dirac

Calcul d’intégrales gaussiennes

Généralités sur les transformations de coordonnées

Harmoniques sphériques

Dérivée fonctionnelle

Fonctions de Green usuelles

Solutions des exercices

Références bibliographiques

Bibliographie

Index

Extrait de la publication

v

313

317

323

327

331

333

337

377

381

387

Liste

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14.

15.

des

exercices

Chapitre premier : pages 54-58

Fonctions de réponse associées à des opérateurs linéaires Fonction de réponse d’un circuit RLC Particule brownienne chargée Raie d’absorption Application des relations de Kramers-Kronig en astrophysique Règles de somme Réponse à un bruit Relations de Kramers-Kronig pour un métal

Propagation des signaux dans les milieux diélectriques

Chapitre 2 : pages 128-141

Fonction de GreenG ∞ du Laplacien en 3d Fonction de GreenG ∞ du Laplacien en dimensiond≥3 Fonctions de Green du Laplacien en 1d et 2d Symétrie des fonctions de Green du Laplacien avec C.L. de Dirichlet homogènes Fonctions de Green de Neumann spéciales du Laplacien Règles de somme et résolvante Plan conducteur Fonctions de Green du Laplacien en coordonnées sphériques Charge ponctuelle dans une sphère conductrice Charge ponctuelle et sphère diélectrique

Fonction de GreenG ∞ du Laplacien en coordonnées cylindriques Tenseur d’Oseen Fonction de Green en théorie de l’élasticité Laplacien discret et réseau de résistances

Méthode des images pour un problème bidimensionnel

Extrait de la publication

viii

16. 17. 18.

19.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11.

12.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9.

Physique et outils mathématiques : méthodes et exemples

Hangar semi-cylindrique soumis au vent Opérateur de Dirac Avance du périhélie de Mercure

Oscillateur harmonique en présence d’une impureté

Chapitre 3 : pages 236-242

Unicité des solutions des équations de diffusion et de d’Alembert Relations de réciprocité Équation pour les câbles longs Conditions de Neumann en théorie de la diffraction Fonction de Green du d’Alembertien en dimension2 + 1 Fonction de Green du d’Alembertien en dimension1 + 1 Fonction de GreenG ∞ du Laplacien en dimensiond≥3 Diffusion de la chaleur dans une boule Des conditions de Dirichlet aux conditions de Robin Conditions de Robin pour l’équation de la chaleur Équation de Cattaneo en 3d

Équation de Klein-Gordon

Chapitre 4 : pages 294-298

Comportement asymptotique de la fonction de BesselJ 0 Coefficients du binôme Forme aymptotique de la fonction de Green de Helmholtz Ensemble isotherme-isobare Évolution d’un paquet d’ondes et vitesse de groupe De la fonction de Green de Cattaneo à celle de l’équation de diffusion Modèle d’Ising avec des interactions à longue portée Marche aléatoire de Bernoulli

Oscillateur harmonique et théorie des nombres

Préface

L’enseignement des outils mathématiques nécessaires en physique est une tâche difficile. Bien qu’il existe de nombreux cours de mathématiques pour physiciens, dont certains sous la plume d’auteurs célèbres, ceux-ci ne sus- citent en général pas l’enthousiasme des étudiants. Certains rechignent en effet à s’imposer le minimum de rigueur mathématique nécessaire, alors que les autres, n’ayant peut-être pas su choisir une voie la plus conforme à leurs goûts, souhaitent un enseignement toujours plus formel. Comme dans beau- coup d’autres sujets « à l’interface », il n’est donc pas rare que l’on aboutisse à un résultat qui n’intéresse aucune des deux parties en présence. Ce livre a le grand mérite d’éviter cet écueil en présentant divers outils mathématiques dans le contexte des problèmes de physique, qui bien souvent, en ont motivé l’invention. Ainsi, par exemple, les fonctions analytiques ne sont pas abor- dées comme une construction mathématique abstraite, isolée de tout autre contexte et dont on découvrirait dans un second temps les nombreuses ap- plications potentielles. Au contraire, elles apparaissent naturellement comme motivées par le problème de la réponse linéaire, permettant de trouver des relations sur les susceptibilités d’un système physique et d’appréhender les conséquences des relations de causalité. Les fonctions de Green ou la mé- thode du col sont présentées en insistant sur la diversité de leurs applications, en soulignant ainsi les relations entre divers domaines de la physique, souvent présentés de façon isolée. Cette approche permet de dégager les concepts com- muns à ces différents domaines ainsi que les mécanismes généraux essentiels. J’ai eu l’occasion d’assister au développement initial de ce cours dans le cadre duDEA«Physiquestatistiqueetphénomènesnonlinéairesdel’ENSLyon». J’ai pu alors constater son succès, qui a largement dépassé le cadre du DEA en attirant de nombreux étudiants des maîtrises de mathématiques et de phy- sique ainsi qu’une bonne partie des chercheurs du laboratoire de physique. Je souhaite à ce livre un succès comparable.

Extrait de la publication

StephanFauve

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