Physique Statistique

Jean-Paul Biberian

Informations

• Publié par: Miphig
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Physique Statistique  Chapitre 6 Statistiques Quantiques et Limite Classique   1 – Rappels de Mécanique quantique  Un résultat important de la mécanique quantique est que toutes les particules se divisent en deux catégories: fermions ou bosons. Ces particules se comportent de manière identique à faible concentration, cest-à-dire quand la concentration est beaucoup plus faible que la 3/2 ! m! $ concentration quantique: n<<n Q = # &  2 " 2"! % On est dans ce cas dans le cas classique. Si la densité est élevée, n!n on a affaire à un gaz quantique. Q Si la concentration est fixée, la transition se produit en fonction de la température, soit: 2 ! $ 2"! 2/3 != # & n  0 " m % !<! On est dans le régime quantique quand: 0   1.1Système à une particule Dans un système à une particule, on écrit léquation de Schroedinger : H!=!!  s ss ! est la fonction donde (orbitale) dune particule dénergie ! s . s ! ! A une énergie s correspond une orbitale s    1.2Système à N particules indépendantes H!=E! i ii  1 2 3 ! ! ! !.! i  est le produit des s : s . t u ......   1.3Fermions et bosons En mécanique quantique, on démontre que:  Les fermions ont un spin demi-entier :He-3, électron, proton Les bosons ont un spin entier : He-4, d  On ne peut mettre quun fermion par orbitale (principe dexclusion de Pauli) On peut mettre plusieurs bosons sur la même orbitale  ! i est anti-symétrique pour les fermions ! i peuqirtémystsensbosolesour 



1

Donc le nombre moyen de particules (taux doccupation) dun état dénergie ! s appelé f!N(!) est très différent suivant les fermins ou les bosons: s  Pour les fermions : 0!f!1  Pour les bosons :0!f! "  Pour les fermions la fonction de partition devient : N=1N=1 !(Nµ!") N !!" s s "" "" Z=e=#e  N=0s N=0s 1 "µ Avec : !=e  et !=  kT  Pour les bosons la fonction de partition devient : N=#N=# !(Nµ!") N !!" s s " "" " Z=e=#e  N=0s N=0s   2 – Distribution de Fermi-Dirac Objectif Trouver loccupation moyenne dune orbitale dun système S obéissant à la statistique deFermi-Dirac.  N=1N=1 !(Nµ!") N !!" s s "" "" Z=e=#e  N=0s N=0s  Soit un système S composé dune seule orbitale en équilibre diffusif avec un grand réservoir. Les états possibles sont :   S 0 fermion  N 0  0  R énergie 0 U 0  0     S 1 fermion  N 0 -1 1 R énergie !   " U 0 ! !    Ce sont les deux états accessibles du système S (les orbitales)       



2

La fonction de partition du système grand canonique S sécrit :  N !"# !"# " s Z=!e=1+!e  N,s  =0!=! Car pour N=0, on a ! s , et pour N=1 on a s  Le nombre moyen N(!) de particules dans létat dénergie ! est donné par la relation : s  !lnZ N=!au chapitre précédent vu !! !lnZ"!Z Donc iciN(!)=f(!)="= s !"Z!"  "1 !#! f(!)=e=  !#!!1#! 1+"e"e+1 "µ 1 comme !=e donc f(!)=  FD "(!!µ) e+1  Cest la distribution de Fermi-Dirac. Cest aussi le taux doccupation de lorbitale dénergie !    !!µ kT Si T0, alors e" #  si !!µ>0  alors f(!)!0  !!µ kT e"0  si !!µ<0  alorsf(!)!1   f   1 T=0     0   T>0    0 !!µ 0   kT  !! Lorsque T>0, on transfère les fermions de la partie <1 vers >1  µµ µ Pour un électron de conduction dans un métal :T= =50000K k Le niveau de Fermi est : µ(T=0)!!  F  



3

A T=0K : Seuls les états dénergie !<µ(=!) sont occupés. Les états !>µ(=!) sont vides. FF  A T>0K : Certains états dénergie !>µ(=!) ont des chances dêtre occupés. F  1 A !=µ , alors pour toutes les températures :f(µ)= 2  Exemple de Fermions : Les électrons dans un métal Les trous dans un semi-conducteur   2– Distribution de Bose-Einstein Les bosons ont un spin entier. Leurs orbitales peuvent être occupées par N bosons avec N!0 . Les bosons ont des propriétés très différentes des fermions.   Exemple : La condensation de Bose-Einstein. Lhélium-4 devient superfluide à T<2,17K  Soit un système S constitué dune seule orbitale ! en équilibre avec un réservoir R, contenant un très grand nombre de particules.   S   N N 0 -N R  U!N! N! 0      Le système S est en équilibre diffusif avec R. Il peut être occupé par 0, 1, 2,..N bosons provenant de R.  Lénergie du système S pourra être : ! s =0,!, 2!, 3!,......N! selonlétat doccupation des bosons.  La fonction de partition Z du système S devient :  N N N 0 0 0 !(Nµ!N")N!!N"!!"N "µ " " " Z=e=#.e=(#.e)  avec !=e  N=0N=0N=0  N 0 étant un très grand nombre, on peut le supposer égal à linfini.  !"# On posex=!e 



4

" N 1 1 # !"# Z=x= =  1!x1!!e N=0 Le nombre moyen de bosons est :  !lnZ"!Z N(!)=f(!)="=  !"Z!" !#!!#!!2!#! f(!)=!"(1!"e)(1!"e) (!e)  !#! "e1 f(!)= =  !#!!1#! 1!"e"e!1  1 f(!)=  BE "(!!µ) e!1   Cest la distribution de Bose-Einstein. Cest le taux doccupation de lorbitale dénergie !   Les deux fonctions sont très semblables à un signe près, par contre les propriétés sont très différentes ;  11 f(!)=  et f(!)=  FDBE "(!!µ)"(!!µ) e+1 e!1    4 – Limite classique deFermi-Dirac et Bose-Einstein  Pour ! grand, nous obtenons : f!f!0  FD BE  !!µ Quand" # Donc!!µ>>kT kT  N Cest le cas des gaz parfaits dont la concentration n= est faible devant la V 3/2 ! $ mkT = concentration quantique : n q # &  2 " 2!! %  Puisque!!µ>>kT  1µ!! f(!)="exp  FD "(!!µ) e+1kT  1µ!! f(!)="exp  BE "(!!µ) e!1kT



5



 "! "µ kT f(!)!f(!)!"e  avec !=e  FD BE   Cest une distribution proportionnelle au facteur de Boltzmann    f      BE    1   FD   0   Limite classique  "!µ>>kT   0 !"µ  0  kT       

6