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Van Den Boom

Description

Bases en algèbre- L2 Somme de sous-espaces vectoriels 1. Définitions Définition : Soit F et G deux sev du IR-espace vectoriel E. On appelle somme de F et G r r r rl’ensemble défini par F+ G= u+ v,u∈ F ,v∈G . { } Proposition : F+ G est un sev de E contenant F et G. C’est le plus petit sev de E ayant cette propriété. Dém : r r r r• 0= 0 + 0 donc 0∈ F+ G F Gr r r r r r r r• Soient u+ v ∈ F+ G , avec u∈ F ,v∈G et u'+ v'∈ F+ G avec u'∈ F ,v'∈G . Soit ( )r r r r r r r r r rλ∈ IR . On a : u+ v +λ u'+ v' = u+λu' + v+λv' ∈ F+ G car u+λu' ∈ F et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r(v+λv')∈G . Donc F+ G est un sev de E. rr r r• Soitu∈ F . On a u= u+ 0 ∈ F+ G donc F ⊂ F+ G . De même, on démontre que ( )G⊂ F+ G . r r r r• Soit H un sev de E qui contient F et G. Soit u+ v ∈ F+ G . Comme u∈ F ,v∈G , on a ( )r r rru∈ H et v∈ H . Comme H est un sev, on a u+ v∈ H d’où F+ G⊂ H Exemple r r r3 3Soit F le sev de IR engendré par u = (1,0,1) et v = (2,1,1) et G le sev IR engendré par w= (1,0,−1) ret t = (1,1,0) . Déterminons F+ G . Tout vecteur de F est combinaison linéaire de (1,0,1) et (2,1,1) donc s’écrit sous la forme a(1,0,1)+ b(2,1,1) où a, b∈ IR . De même, tout vecteur de G s’écrit sous la forme c(1,0,−1)+ d(1,1,0) où c, d∈ IR . Donc tout vecteur de F+ G s’écrit sous la forme a(1,0,1)+ b(2,1,1)+ c(1,0,−1)+ d(1,1,0) c'est-à-dire 3que F+ G= Vect{ (1,0,1),(2,1,1),(1,0,−1),(1,1,0) }= IR comme l’a montré l’exercice type 3 du chapitre ...

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• Langue: Français

Extrait

 

Bases en algèbre- L2  

Somme de sous-espaces vectoriels     1. Définitions   Définition: SoitF etG deux sev du IR-espace vectoriel E. On appelle somme deF etG  l’ensemble défini parF+G=u+v  , u  ∈F , v  ∈G.  

Proposition :   F+G est un sev deEcontenantFetG. C’est le plus petit sev deEayant cette propriété.  

  Dém:     0=0 F +0 G donc 0∈F+G    Soient ( u+v) ∈F+G, avecu∈F , v  ∈Getu '+v  '∈F+Gavecu '∈F , v  '∈G. Soit λ ∈IR. On a : ( u+v  ) + λ ( u  '+v  ') = (u  + λ u  ') + (v  + λ v  ') ∈F+G car ( u+ λ u  ') ∈Fet  ( v+ λ v ') ∈G. DoncF+G est un sev deE.   Soitu∈F . On au=u  +0∈F+G doncF⊂F+G. De même, on démontre que G⊂F+G.  Soit H un sev de E qui contient F et G. Soit ( u+v  ) ∈F+G. Commeu∈F , v  ∈G, on a u∈Het v∈H . Comme H est un sev, on au+v∈Hd’où F+G⊂H         Exemple SoitFle sev deIR 3 engendré paru=(1,0,1) etv=(2,1,1) etGle sevIR 3 engendré parw=(1,0,−1) ett=(1,1,0) . DéterminonsF+G.   Tout vecteur deF est combinaison linéaire de (1,0,1) et (2,1,1) donc s’écrit sous la forme a(1,0,1) +b(2,1,1)oùa,b∈IR. De même, tout vecteur deGs’écrit sous la formec(1,0,−1) +d(1,1,0)  oùc,d∈IR. Donc tout vecteur deF+Gs’écrit sous la formea(1,0,1) +b(2,1,1)+c(1,0,−1) +d(1,1,0)c'est-à-dire queF+G=Vect{ (1,0,1),(2,1,1),(1,0,−1),(1,1,0 =) }IR 3  l’a montré l’exercice type 3 du comme chapitre précédent.   On définit de même la somme densous-espaces vectoriels F 1 ,F 2 ,..,F n deEpar : F 1 +F 2 +..+F n = {u 1 +u 2 +..+u n ,u i ∈F i ∀i∈{1,..,n}}   C’est le plus petit sev deE contenant tous les F i , i∈{1,..,n} .  

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2. Somme directe de sous-espaces

Bases en algèbre- L2  

Définition :SoientFetGdeux sev du IR-espace vectorielE. On dit queFetG sont en somme directe si et seulement si : ∀u∈F,∀v∈G , u+v=0   u=v=0   Dans ce cas, la somme se note F⊕G au lieu de F+G .   Et plus généralement, on dira que la somme F 1 +F 2 +..+F n densev deEest directe on notera et F 1 +F 2 +..+F n =F 1 ⊕F 2 ⊕..⊕F n  si et seulement si : ∀(u 1 ,u 2 ,..,u n )∈F 1 ×F 2 ×..×F n tels que u 1 +u 2 +..+u n =0u 1 =u 2 =..=u n =0    

Exemple :

Soit F le sev deIR 3 engendré paru=(1,0,1) etv=(2,1,1) et G le sevIR 3 engendré parw=(1,0,−1) Montrer que les sev F et G sont en somme directe. Tout vecteur u deF (1,0,1) et (2,1,1) combinaison linéaire de s’écrit sous la forme donc est u=a(1,0,1) +b(2,1,1) oùa,b∈IR. De même, tout vecteur v  deGs’écrit sous la forme v=c(1,0,−1)   où c∈IR . Supposons u+v=0 alors on a a(1,0,1) +b(2,1,1) +c(1,0,−1) = (0,0,0) .

1 2 1 Les vecteursu=(1,0,1),v=(2,1,1) etw=(1,0,− libres puisque1) sont 0 1 0= −1−1= −2≠0 . On 1 1−1 peut donc déduire que la seule solution du système précédent est a=b=c=0 ce qui signifie que u=v=0 . La somme F+G est directe et on a F+G=F⊕G .   Remarque : On a bien sûrF+G G+F =     Proposition 1 Les sevFetGde l’espace vectorielEsont en somme directe si et seulement si F∩G=0      Dém:   Supposons que F+G=F⊕G et soit u∈F∩G . On a clairement u+(−u)=0 avec u∈F et −u∈G carGest un sev. La somme étant directe, on en déduit que u= −u=0 d’où F∩G=0 . ⇐  Supposons que F∩G=0 et que u+v=0 avec u∈F et v∈G . On a u+v=0u= −v donc u∈G carGest un sev. Finalement u∈F∩G donc u=0 . Par suite v= −u=0 donc u=v=0  et la somme est donc directe.   Attention : cette proposition n’est valable que dans le cas dedeuxsev.   Contre exemple : Vérifier que les plans P 1 ,P 2 et P 3 d’équations respectives : x=0 , y=0 et z=0 vérifient P 1 ∩P 2 ∩P 3 =0 mais que P 1 +P 2 +P 3 n’est pas directe.

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Bases en algèbre- L2   (laissé en exo)   Dans le cas densev deE,on a la proposition plus générale suivante :   Proposition 2 Les sev F 1 ,F 2 ,..,F n sont en somme directe si et seulement si tout vecteur u∈F 1 +..+F n s’écrit de façonuniquesous la forme u=u 1 +u 2 +..+u n ,u i ∈F i ∀i∈{1,..,n} .     Dém:  Si la somme est directe, supposons que u∈F 1 +..+F n s’écrive de deux façons différentes u=u 1 +u 2 +..+u n =u' 1 +u' 2 +..+u' n avec u i ∈F i et u' i ∈F i ∀i∈ {1,..,n} . Alors, on obtient u 1 +u 2 +..+u n −(u' 1 +u' 2 +..+u' n )=0avecu i ∈F i et u' i ∈F i ∀i∈{1,..,n}   Ou encore (u 1 −u' 1 )+..+(u n −u' n )=0avec u i −u' i ∈F i ∀i∈ {1,..,n} ; on en déduit que u i −u' i =  0∀i∈{1,..,n} c'est-à-dire u i =u' i ∀i∈{1,..,n} .CQFD. ⇐ Supposons que u 1 +u 2 +..+u n =0avec u i ∈F i ∀i∈{1,..,n} . Comme F i est un sev, 0∈F i , ∀i∈ {1,..,n} et on peut écrire u 1 +u 2 +..+u n =0+0+..+0avec u i ∈F i et0∈F i ∀i∈{1,..,n} . Comme on a supposé que tout vecteur s’écrit de façon unique on en déduit que u i =0∀i∈ {1,..,n} . La somme est donc directe.       3. Sous espaces supplémentaires   Définition:Deux sous espaces vectoriels FetGd’un espace vectorielEsont supplémentaires s’ils sont en somme directe et si de plus F⊕G=E .  

Il est équivalent de dire queFetGsont supplémentaires dansEsi et seulement si tout vecteur de Es’écrit de manière unique comme somme d’un vecteur deFet d’un vecteur deG.     Avec les résultats précédents, il est aisé de prouver que   Proposition 3: Pour que deux sevFetGsoient supplémentaires dansEil faut et il suffit que les

deux conditions suivantes soient réalisées : F+G=E et F∩G=0 .       Exemple Montrons que F=(x,y,z)∈IR 3 ,x=0 et G=Vect{(1,1, 0)} sont supplémentaires dans IR 3 .   Soit (x,y,z)∈F∩G alors x=0 et il existe k∈IR tel que (x,y,z) =k(1,1,0) .    x = =k On en déduit que k mme x=0 , on a y=0 d’où (x,y,z) =0 . Donc F∩G=0 .  y z=0 . Co Soit (x,y,z)∈E . Montrons qu’il existe un vecteur u∈F et un vecteur v∈G tel que (x,y,z) =u+v .

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Bases en algèbre- L2  

 x=k On cherche u∈F donc u= (0,a,b) et v∈G donc v= (k,k,0) et on a    y=a+k ; d’où z=b

 k=x;a=y−x;b=z   Autrement dit, (x,y,z) =u+v avec u= (0,y−x,z)∈F et v= (x,x,0)∈G ce qui signifie que F+G=E .   Nous admettrons le théorème suivant :   Théorème 1 SoientFetGdeux sev non réduits à 0 d’un espace vectorielE de dimension finie n>1 . On suppose que B F = {e 1 ,...,e k } est une base du sevF, que B G =g 1 ,...,g p est une base du sevGet que e i ≠g  j  pour tout i∈{1,..,k} et pour tout j∈{1,..,p}   Les conditions suivantes sont équivalentes : i) F⊕G=E   ii) La famille den vecteurs e 1 ,...,e k ,g 1 ,..,g p  une base de estE(autrement dit la réunion disjointe d’une base deFet d’une base deGest une base deE). iii)  F∩G=0 et dimF+dimG=dimE .     Remarque : on généralise aisément ce théorème dans le cas de plusieurs sev     Exercice type Exercice donné à l’examen 2009 Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel deIR 3 défin Vect   1  ,  −2  ,  0    ? i par H0 3 3 =     1      −1     1       

Donner une équation cartésienne de H. Soit G le sous-espace vectoriel deIR 3 défini parG= (x, y, z) ∈IR 3 , x=y=z.Déterminer une base de G ainsi que sa dimension. Montrer que H et G sont supplémentaires.        1  −2 0    H=Vect      0     ,      − 3      ,      3          = Vect           0 1 1      ,      3 1 0      ,      1 3 0           en faisant C 2 →C 2 +2C 1   1 1 1  = Vect           1 0 1      ,      1 3 0         en éliminant la dernière colonne identique à la deuxième. On a donc une famille  génératrice deHformée de deux vecteurs.

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Bases en algèbre- L2  

partie

  Les deux vecteurs   1 0     ,      3 0     sont libres car par exemple 1 0 0 3 =3≠0 . Comme ils forment une   1 1  génératrice libre, ils forment une base notée {v,w} deH. La dimension deH 2.est donc égale à        y x     ∈H si dét           1 0 1      ,      0 3 1      ,      z y x           =0  C’est donc un plan. Un vecteur   z  si et seulement c’est à dire x 30 11 −y 11 01 +z 10 03 =0 . Une équation cartésienne deHest −3x−y+3z=0 .  

x G= (x, y, z) ∈IR 3 , x=y=z. Tout vecteur      y      ∈G est donc du type      y z x      =      x x x      =x      1 1 1      ,x∈IR . z Gest donc une droite vectorielle de base   1    c é ale à 1.  u=  1 . Sa d   1    gimension est don On a clairement dimH+dimG=2+1=3=dimIR 3 . Il suffit de montrer que H∩G=0 . Un vecteur     x    si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations cart y∈H∩G ésiennes deH   z   = = et deGc'est-à-dire si    x 3x zy y3z qui a pour seule solution      z x y      =      0 0 0      . − + + =0 Donc H⊕G=IR 3 .   On aurait pu également vérifier que la famille {u,v,w} était une base de IR 3 en calculant 1 1 0 dét(u,v  ,w  ) . Ici dét(u  ,v  ,  w)=1 0 3= −1≠0 . 1 1 1 Par suite la réunion disjointe des deux bases deHetGforme une base de IR 3 et donc H⊕G=IR 3

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