Projet de thèse

Henri Guenancia

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Extrait

PROJET DE THESE : CROISSANCE ASYMPTOTIQUE DES
ESPACES DE SECTIONS GLOBALES DE FIBRES
PSEUDO-EFFECTIFS
par
Henri Guenancia
These sous la direction de Sebastien Boucksom (IMJ) et Mihai Pau n (IECN)
Institut de Mathematiques de Jussieu
Ecole Doctorale : Sciences Mathematiques de Paris Centre2 HENRI GUENANCIA
1. Croissance asympotique des espaces de sections de bres en droites
En geometrie algebrique, il appara^t que le point de vue fonctionnel, ou faisceautique,
prime sur le point de vue topologique. Plus precisement, c’est la donnee du faisceau structural
O qui determine la structure de schema ou de variete sur un espace topologique X donne.X
Il est a remarquer cependant que sur une variete projective (complexe), il n’y a pas de
fonction reguliere ou holomorphe globalement de nie qui ne soit pas constante. En termes
de faisceaux,O n’admet pas de section globale non nulle. Pour contourner cet obstacle, onX
va elargir la notion de fonction en regardant les sections de faisceauxL localement isomorphes
aO , qu’on appelle bres en droites. Dans le cadre projectif, cela revient a autoriser lesX
fonctions meromorphes dont les p^ oles sont contr^oles.
L’avantage de considerer de tels faisceaux est que ces derniers peuvent avoir des sections
globales, au moins sous des hypotheses de positivite. Une question naturelle a se poser est
0 0comment relier la dimension h (X;L) := dimH (X;L) avec des invariants plus simples de
L, comme par exemple des nombres d’intersection ?
Une premiere reponse vient dans le cas des courbes (ou surfaces de Riemann) avec le celebre
theoreme de Riemann-Roch qui calcule la caracteristique d’Euler du bre :
Theoreme 1.1 (Riemann-Roch). | Soit L un bre en droites sur une surface de Rie-
mann X de genre g, alors on a :
(X;O (L)) = deg(L) + 1 g:X
Gr^ace a la dualite de Serre, on peut reformuler ce resultat en ecrivant :
0 0 1
h (X;L) h (K
L ) = deg(L) + 1 g:X
Ce resultat a des consequences innombrables (dont l’existence de sections meromorphes
non nulles des bres en droites ou encore la projectivite des surfaces de Rieman), et en
0particulier, lorsque deg(L)> 0, il dit que la croissance asymptotique de h (X;mL) est (au
moins) polynomiale de degre 1, et de coe cient dominant deg( L).
La theorie de l’intersection nous montre qu’en toute generalite, siX est une variete projective
complexe de dimensionn etL un bre en droites sur X, alors(X;O (mL)) est un polynome^X
n nde degre au plusn, et dont le coe cient devant m est par de nition ( L )=n!, qui se trouveR
1 n 0d’ailleurs ^etre egal a c (L) . Sachant que l’on s’interesse a la croissance deh (X;mL),1n! X
deux questions cruciales apparaissent :
0{ Pour quels bres peut-on garantir que h (X;mL) =(X;O (mL)) pour m su sam-X
ment grand ?
n{ Parmi ces bres la, que peut-on dire de ( L ) ?
La premiere question revient plus ou moins a trouver un theoreme d’annulation de la coho-
mologie en degre > 0. Un theoreme de Serre montre que c’est le cas des que le bre L est
ample, c’est-a-dire lorsque pour m su samment grand, le systeme lineaire jmLj induit un
N nplongement de X dans unP . Alors, par le critere de Nakai-Moishezon, on aura (L )> 0 ;
n(L )0 nen resume, pour un bre ample L, h (X;mL) m .n!
2. Positivite des diviseurs
Il faut avoir conscience que l’amplitude est une propriete extr^emement forte (voire maxi-
male) de positivite pour un bre ; en termes d’intersections, elle se caracterise par le fait
kque pour toute sous-variete Y X de dimension k, on a (L ) > 0. On va donc essayerjY
de s’a ranchir de l’hypothese d’amplitude, et voir quels genres de resultats on peut encore
obtenir.
kPour commencer, on peut considerer des bres ou les intersections ( L ) sont seulement
jY
1 1positives ou nulles. Cela revient, dans l’espaceN (X) =N (X)
R des (R)-diviseurs (ou
R Z
bres) a equivalence numerique pres, espace de dimension nie, a prendre l’adherence du c^one
ample. Les diviseurs ainsi obtenus sont appeles diviseurs nefs ; ils veri ent une propriete tresPROJET DE THESE 3
q n 1importante quant a notre probleme : en e et, pour tout q> 0, on a h (X;mL) =O(m )
nsi L est nef. Alors, pour un diviseur nef L d’auto-intersection (L ) > 0, on a encore
n(L )0 nh (X;mL) m .
n!
On va introduire maintenant une autre classe tres importante de diviseurs ; les diviseurs big
(ou gros). Un diviseur L est dit big s’il a beaucoup de sections globales asymptotiquement ;
0 nplus precisement, la condition est lim suph (X;mL)=m > 0. Au vu de la remarque prece-
ndente, il est clair qu’un diviseur L nef est big si et seulement si (L )> 0. Notons cependant
qu’il existe des diviseurs nefs non big et inversement.
Pour