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Représentation et analyse topologique de structures temporelles : application à l’analyse et la synthèse musicales symboliques La programmation spatiale vise à intégrer explicitement l’espace dans le calcul, soit comme ressource (cas de la programmation parallèle), soit comme une donnée à produire (cas de la géométrie computationnelle). Dans ce cadre, le projet MGS développe un langage de programmation expérimental fondé sur des notions issues de la topologie algébrique. MGS permet la représentation d'organisations sophistiquées entre des entités variables et hétérogènes, ainsi que leur transformation par des règles locales (interactions). La structure de données fondamentale en MGS est la collection topologique. Une collection topologique est un ensemble d'éléments organisés par une relation de voisinage. Une transformation permet de spécifier de nouvelles fonctions sur les collections par des règles filtrant des sous-collections. L’objectif de cette thèse est d'étudier et développer des outils de représentation et d’analyse spatiale de la structure possible d'une séquence musicale. La représentation de structures musicales par des structures spatiales est un domaine bien établi en musicologie avec par exemple la tradition néoriemannienne [1, 2] ou d’autres approches géométriques et algébriques aussi bien symboliques - utilisant en particulier la transformée de Fourier discrète [4] -, que basées sur la théorie des signaux - et s’appuyant, par exemple, ...

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Représentation et analyse topologique de structures temporelles :
application à l’analyse et la synthèse musicales symboliques
La programmation spatiale vise à intégrer explicitement l’espace dans le calcul, soit comme ressource
(cas de la programmation parallèle), soit comme une donnée à produire (cas de la géométrie
computationnelle). Dans ce cadre, le projet MGS développe un langage de programmation expérimental
fondé sur des notions issues de la topologie algébrique. MGS permet la représentation d'organisations
sophistiquées entre des entités variables et hétérogènes, ainsi que leur transformation par des règles
locales (interactions).
La structure de données fondamentale en MGS est la collection topologique. Une collection topologique
est un ensemble d'éléments organisés par une relation de voisinage. Une transformation permet de
spécifier de nouvelles fonctions sur les collections par des règles filtrant des sous-collections.
L’objectif de cette thèse est d'étudier et développer des outils de représentation et d’analyse spatiale de la
structure possible d'une séquence musicale. La représentation de structures musicales par des structures
spatiales est un domaine bien établi en musicologie avec par exemple la tradition néoriemannienne [1, 2]
ou d’autres approches géométriques et algébriques aussi bien symboliques - utilisant en particulier la
transformée de Fourier discrète [4] -, que basées sur la théorie des signaux - et s’appuyant, par exemple,
sur le paradigme de la géométrie de l’information [5]. Une séquence, comprise comme une succession
d'états, peut exhiber plusieurs structures possibles.
Plus précisément nous souhaitons caractériser la structure d'une chaîne comme un chemin dans l'espace
des transformations d'états. Cette structure dépend de l'interprétation d'un chemin et de la nature des états
et des transformations possibles entre états. Notre contrainte est d'extraire cette structure de manière
automatique et non supervisée, c'est-à-dire avec le minimum d'hypothèses sur les structures possibles.
Nous voulons de plus construire explicitement l'espace des transformations et les chemins décrivant la
séquence.
Travaux à effectuer
La thèse débutera par l’utilisation de graphes de Cayley [6] pour formaliser les représentations
hexagonales issues de la tradition néoriemannienne et se poursuivra par des généralisations impliquant
des groupes plus complexes et des représentations incluant d’autres paramètres que les hauteurs. On
s’attachera en particulier à la capture de la structure rythmique. Les algorithmes proposés donneront lieu à
un prototype expérimental permettant la validation de l’approche.
Dans un deuxième temps, on s’attachera à caractériser les structures produites par des invariants
topologiques. L’intérêt de ces signatures pour la musicologie et l’analyse musicale computationnelle sera
validé avec nos partenaires à l’IRCAM.
Ce travail est proposé dans le cadre d’une collaboration en cours avec l’équipe Représentations Musicales
de l’IRCAM (Gérard Assayag, Moreno Andreata et Carlos Agon) et Jean-Marc Chouvel (compositeur,
Université de Reims).
Encadrement
La thèse se déroulera au LACL (Laboratoire d’Algorithmique, Complexité et Logique) de l’université
Paris Est Créteil. Elle sera encadrée par Olivier Michel (Pr, olivier.michel@u-pec.f) et Antoine Spicher
(MCF, antoine.spicher@u-pec.fr).
Bibliographie
[1] J.-M. Chouvel, « Analyser l’Harmonie – Aux frontières de la tonalité »
[2] J. Wild, « Pairwise Well-formed Scales and a Bestiary of Animals on the Hexagonal Lattice »,
Proceedings of the Mathematics and Computation in Music Conference 2009, Yale, New Haven.
[3] A. Spicher, O. Michel, and J.-L. Giavitto. « Spatial computing as intensional data parallelism ». In
Third IEEE International Conference on Self-Adaptive and Self-Organizing Systems - Spatial Computing
Workshop, San Franciso, United States, 14-18 September 2009.
[4 ] J. Junod, P. Audétat, C. Agon, M. Andreatta, « A Generalisation of Diatonicism and the Discrete Fourier
Transform as a Mean for Classifying and Characterising Musical Scales », Proceedings of the Mathematics and
Computation in Music Conference 2009, Yale, New Haven.
[5] Arshia Cont, Shlomo Dubnov et Gérard Assayag, « On the Information Geometry of Audio Streams
with Applications to Automatic Structure Discovery », à paraître dans IEEE Transactions on Audio,
Speech and Language Processing.
[6] O. Michel, J. –L. Giavitto, « Declarative definition of group indexed data structures », International
Conference on Principles and Practice of Declarative Programming archive Proceedings of the 3rd ACM
SIGPLAN international conference on Principles and practice of declarative programming, Florence,
Italy, 2001, p. 150 –161