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Géométriedansl’espace
Tabledesmatières
I Rappels 1
1 Vecteursdel’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Vecteurscolinéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Vecteurscoplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Repéragedansl’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5 Vecteursorthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Distanceentredeuxpoints: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7 Caractéristiqueanalytiquedel’orthogonalité: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Équationsdeplansetdroites 3
1 Équationcartésienned’unplan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Systèmed’équationscartésiennesd’unedroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Fonctionsdedeuxvariablesetcourbesdeniveau 4
1 Fonctiondedeuxvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Courbesdeniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Rappels
1 Vecteursdel’espace
Lespropriétésdesvecteursdansl’espacesontenpartielesmêmesquecellesconcernantlesvecteursdansle
plan.
Propriété
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
A, B, C etD sont quatre points de l’espace.
Lespropriétéssuivantessontéquivalentes:
DB−→ −→
• AB=CD
• ABDC estunparallélogramme.
• [AD]et[BC]ontmêmemilieu.
C• Latranslationquitransforme A enB trans- A
formeC enD.
Additiondevecteurs:
−→ −→ −→
• RelationdeChasles: AB+BC=AC
−→ −→ −→
• Règleduparallélogramme: AB+AC=AD oùD estlepointtelque ABCD soitunparallélogramme.
Page1/52 Vecteurscolinéaires
Définition
→− →−Deuxvecteursnonnuls u et v sontcolinéairessignifiequ’ilsontlamêmedirection,c’est-à-direqu’ilexiste
→− →−unréelk nonnultelque u =kv .
−→ −→
Remarque: A,B etC sontalignéssi,etseulementsi AB et AC sontcolinéaires.
3 Vecteurscoplanaires
Définition
−→ −→ −→
A,B,C etD sontquatrepointsdel’espace.Direque AB, AC et AD sontcoplanairessignifiequelesquatre
pointsappartiennentàunmêmeplan.
Propriétéadmise
→− →− →− →− →−Soienttroisvecteurs u, v etw del’espacetelsque u et v nesoientpascolinéaires.
→− →− →− →− →− →−
u, v etw sontcoplanairessi,etseulement,ilexistedeuxréelsx et y telsque w=xu +y v .
4 Repéragedansl’espace
Définition³ ´
→− →− →− →− →− →−
O ; i ; j ; k est repère de l’espace si O est un point de l’espace et si les vecteurs i , j et k sont des
vecteursnoncoplanaires.
O estalorsl’originedurepère.
Propriété ³ ´
→− →− →−
Dansunrepère O ; i ; j ; k ,pourtoutpointM,ilexistetroisnombresx, y etz uniquestelsque
−−→ →− →− →−
OM=x i +k j +zk.
(x ; y ; z)sontlescoordonnéesdeM danscerepère.
Calculaveclescoordonnées:
¡ ¢ ¡ ¢
Soientdeuxpoints A etB decoordonnées A x ; y ; z etB x ; y ; z .A A A B B B³ ´x +x y +y z +zA B A B A BLemilieude[AB]apourcoordonnées: ; ; .
2 2 2¡ ¢−→
Levecteur AB apourcoordonnées x −x ; y −y ; z −z .B A B A B A
Deuxvecteurssontégauxsi,etseulementsi,leurscoordonnéessontégales.
Page2/55 Vecteursorthogonaux
Définition
→− →−Soientdeuxvecteursnonnuls u et v del’espace.
−→ −→→− →−SoienttroispointsO, AetB telsque u =OA et v =OB.
→− →−
u et v sontorthogonauxsi,etseulementsimesdroites(OA)et(OB)sontperpendiculaires.
→− →−Onnotealors u ⊥ v .
→−
Parconvention, 0 estorthogonalàtoutvecteur.
³ ´
→−→− →−
Vocabulaire : O ; i ; j ; k est un repère orthogonal si, et seulement si, les vecteurs sont orthogo-
nauxdeuxàdeux.
Ilestorthonormals’ilestorthogonaletchaquevecteuraunenormeégaleà1.
6 Distanceentredeuxpoints:
Propriété ³ ´
→− →− →−
Soitunrepèreorthonormal O ; i ; j ; k etsoientdeuxpoints A etB.q ¡ ¢22 2Alors: AB= (x −x ) + y −y +(z −z ) .B A B A B A
7 Caractéristiqueanalytiquedel’orthogonalité:
Propriété³ ´
→− →− →−
O ; i ; j ; k estunrepèreorthonormaldel’espace.
→− →− ′ ′ ′ ′ ′ ′Lesvecteurs u(x ; y ; z)et v (x ; y ; z )sontorthogonauxsi,etseulementsi,xx +yy +zz =0.
II Équationsdeplansetdroites
1 Équationcartésienned’unplan
Propriété
Dansunrepèredel’espace:
• Toutplan(P)auneéquationcartésiennedelaformeax+by+cz+d=0.
• a,b,c désignantdesréelsnonsimultanémentnuls,l’ensembledespointsM(x ; y ; z)vérifiant
ax+by+cz+d=0estunplan.
Page3/5Casparticuliers:
Leplandebase(xOy)apouréquationz=0;leplan(xOz)apouréquationy=0etleplan(yOz)apouréquation
x=0.
Propriété
′ ′ ′ ′Deux plans d’équations cartésiennes ax+by+cz+d = 0 et a x+b y+c z+d = 0 sont parallèles si, et
′ ′ ′seulementsi,lescoefficientsa,b,c sontproportionnelsauxcoefficientsa ,b etc .
2 Systèmed’équationscartésiennesd’unedroite
Propriété
Dansl’espace,unedroitesevoircommel’intersectiondedeuxplanssécants.
Àchacundecesdeuxplanscorresponduneéquationcartésiennedeplan.
Unedroiteestdonccaractériséeparunsystèmededeuxéquationslinéairesàtroisinconnues.
Exemple:
Soient(P)lepland’équation2x+3y+5z=7et(Q)lepland’équation3x−y−2z=1.
−→ −→Cesdeuxplansontpourvecteursnormauxrespectivementn (2; 3; 5)etn (3;−1;−2).1 2
Ilsnesontpascolinéaires,donclesplans(P)et(Q)nesontpasparallèles.
LeurintersectionestunedroiteD,caractériséeparlesystèmeformépaslesdeuxéquationsdesdeuxplans:
½
2x+3y+5z=7
3x−y−2z=1
III Fonctionsdedeuxvariablesetcourbesdeniveau
1 Fonctiondedeuxvariables
Définition
x et y appartiennentchacunrespectivementàdeuxintervallesI et J.
Définir une fonction des deux variables x et y, c’est associer à chaque couple (x ; y) un réel unique, noté
f(x ; y). ³ ´
→−→− →−
La représentation graphique de f dans un repère O ; i ; j ; k de l’espace est l’ensemble des points
M(x ; y ; z)avecz= f(x ; y).
Cettereprésentationgraphiqueestengénéralunesurfaced’équationz= f(x ; y).
Page4/52 Courbesdeniveau
Définition
SoitS unesurfaced’équationz= f(x ; y).
La courbe de niveau de cote c est l’intersection deS avec le plan d’équation z=c, donc l’ensemble des
pointsdecoordonnées(x ; y ; z)avecz= f(x ; y)=c.
Exemple:
2SoitS lasurfaced’équationz=3x +2y. ½ 2z=3x +2y
Lacourbedeniveaudecote3estl’ensembledespointsdecoordonnées(x; y ; z)vérifiantlesystème:
z=3
2On en déduit que dans le plan d’équation z = 3, la courbe de niveau a pour équation 3= 3x +2y qui s’écrit
3 32y=− x + .C’estl’équationd’uneparabole.
2 2
La courbe de niveau d’abscisse 3 est l’ensemble des points de coordonnées (x ; y ; z) vérifiant le système :½ 2z=3x +2y
.
x=3
Onendéduit:z=27+2y doncz=2y+27.Danslepland’équationx=3,z=2y+27estl’équationd’unedroite:
lacourbedeniveaux=estunedroitedanslepland’équationx=3.
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