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` ´THESE DE DOCTORAT DE MATHEMATIQUES´DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER (GRENOBLE I)pr´epar´ee a` l’Institut FourierLaboratoire de Math´ematiquesUMR 5582 CNRS-UJF´ ´ ´VARIETES HOROSPHERIQUES DE FANOBoris PASQUIERSoutenue a` Grenoble le 27 octobre 2006 devant le jury :Victor BATYREV (Tu¨bingen, Allemagne)Laurent BONAVERO (Universit´e de Grenoble I)Michel BRION (CNRS, Universit´e de Grenoble I), DirecteurOlivier DEBARRE (Universit´e de Strasbourg), Pr´esidentLaurent MANIVEL (CNRS, Universit´e de Grenoble I)Au vu des rapports de Victor BATYREV et Olivier DEBARREVari´et´es horosph´eriques de FanoBoris Pasquier27 octobre 20061RemerciementsJ’ai pris beaucoup de plaisir a` faire cette th`ese. Cela est en grande partiedu a` mon directeur de th`ese Michel Brion; je le remercie beaucoup pour letemps qu’il m’a consacr´e, pour sa patience et aussi son optimisme.Je souhaite remercier Olivier Debarre d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteurde ma th`ese. J’ai beaucoup appr´eci´e sa relecture minutieuse ainsi que sescommentaires pertinents. Je remercie aussi Victor Batyrev d’avoir accept´ed’ˆetre rapporteur de ma th`ese et d’ˆetre venu d’Allemagne pour assister `a masoutenance.J’aimerais remercier les membres permanents de l’institut Fourier quiint`egrent parfaitement les th´esards a` la vie du labo, dont Laurent Bonaveroet Laurent Manivel qui ont accept´e de faire partie du jury. Je remercie aussile personnel administratif pour sa disponibilit´e et son efficacit´e ...

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Extrait

` ´ THESE DE DOCTORAT DE MATHEMATIQUES ´ DE L’UNIVERSITE JOSEPH FOURIER (GRENOBLE I) prepareea`l’InstitutFourier ´ ´ LaboratoiredeMathe´matiques UMR 5582 CNRS-UJF

´ ´ ´ VARIETES HOROSPHERIQUES DE FANO

Boris PASQUIER

Soutenuea`Grenoblele27octobre2006devantlejury:

VictorBATYREV(T¨ubingen,Allemagne) LaurentBONAVERO(Universit´edeGrenobleI) MichelBRION(CNRS,Universit´edeGrenobleI),Directeur OlivierDEBARRE(Universite´deStrasbourg),Pre´sident LaurentMANIVEL(CNRS,Universit´edeGrenobleI)

Au vu des rapports deVictor BATYREVetOlivier DEBARRE

Vari´ete´shorosphe´riquesdeFano

Boris Pasquier

27 octobre 2006

1

Remerciements

J’aiprisbeaucoupdeplaisir`afairecetteth`ese.Celaestengrandepartie du`amondirecteurdethe`seMichelBrion;jeleremerciebeaucouppourle tempsqu’ilm’aconsacr´e,poursapatienceetaussisonoptimisme.

JesouhaiteremercierOlivierDebarred’avoiraccept´ed’ˆetrerapporteur demathe`se.J’aibeaucoupappre´cie´sarelectureminutieuseainsiqueses commentairespertinents.JeremercieaussiVictorBatyrevd’avoiraccept´e d’ˆetrerapporteurdemathe`seetd’eˆtrevenud’Allemagnepourassistera`ma soutenance.

J’aimerais remercier les membres permanents de l’institut Fourier qui int`egrentparfaitementlesthe´sards`alaviedulabo,dontLaurentBonavero etLaurentManivelquiontaccepte´defairepartiedujury.Jeremercieaussi lepersonneladministratifpoursadisponibilit´eetsonefficacite´.

Enfin,jeremercielesthe´sardsactuelsetanciensdel’institutFourieret d’ailleurs, tous mes amis dont Claire, Christophe, Vincent..., et toute ma famille.Enparticulier,jetiens`aexprimeruntr`estr`esgrandmerci`ames parentspources26derni`eresann´eesetlesann´eesa`venir!

2

3

Table

Introduction

1

2

3

4

5

6

7

Notations

des

mati`eres

Varie´t´eshorosph´eriqueslisses

Classification des plongements de Fano

Majorationdudegre´etdunombredePicard 4.1 Majoration du degre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2 Majoration du nombre de Picard . . . . . . . . . . . . . . . .

Sur l’amplitude projective

des

diviseurs d’une

varie´t´e

horosph´erique

D´eterminationdespolygonesG/Htrecsnia-eflr´ifexurss exemples 6.1 Outils de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 (SL 2 ×C ∗ )/U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 (SL 2 ×SL 2 )/UouSL 3 /U. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quelquesexemplesdevarie´t´eshorosphe´riquesdeFano 7.1 Plongements de (SL 2 ×C ∗ )/U. . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Description de quelques plongements deSL 3 /U. . . . . .

Bibliographie

Index

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. . .

. .

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6

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21

31

41 41 52

55

59 60 62 69

85 85 94

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105

5

Introduction

Unevari´et´ecomplexeprojectiveXest dite de Fano si elle est normale et si son diviseur anticanonique−K X est de Cartier et ample. On sait qu’il existeseulementunnombrefinidefamillesdevarie´te´slisses,deFanoetde ee. e dimension donn´ C pendant ces familles sont seulement connues jusqu’en dimension 3. Lesvari´ete´storiquesdonnentbeaucoupd’exemplesdevarie´te´sdeFano. Pluspr´ecise´ment,V.Batyrevaclassifi´elesvari´et´estoriquesdeFanodedi- mensionndimefsdennsiootepopyleflixrse´ntemeeressdn[Ba94] : ce sont les polytopes convexes deR n tsmensda`omasZ n 0tnasnadocnetnerieurleurint´ ettelsqueleurpolytopedualv´erifielesmeˆmeshypothe`ses. Deplus,certainespropri´ete´soucertainsinvariantsg´eom´etriquesdesvarie´- te´storiquesdeFano,commelalissite´,lenombredePicardouledegre´,se lisentfacilementsurlepolytoper´eflexifassocie´.Celaapermis`aO.Debarre demajorerledegre´(−K X ) d ednonnfiocteFsdoeaneulssiese´tsroqisvari´etde la dimensiondet du nombre de Picard [De03]. D’autre part, C. Casagrande a r´ecemmentdonne´unemajorationoptimaledunombredePirddesvarie´t´ ca es toriquesQ-factorielles et de Fano en fonction de la dimension [Ca06]. Cettethe`seapourbutdege´n´eralisertouscesre´sultatsauxvari´et´esho- rosphe´riques.SoitGenexcfnoU.ngnuglaepuorueiqbr´etiucedr´G-espace homog`eneestdithorosphe´riquederangnbfi´reetnrose(s’eicunstC ∗ ) n surunevari´et´ededrapeaux.Voiciquelquesexemplesd’espaceshomoge`nes horosph´eriquesG/H:

6

1 2

3

4

5

6

G (C ∗ ) n G

S

L 2

SL 2 ×C ∗

SL 2 ×SL 2

SL 3

un s

U=

H {1} ous-groupe paraboliqueP U={  1 0 ∗ 1  }  0 1∗ 1  } × {1} ∗ 1  } × {  1 0 ∗ 1  } U={   1 0 0 ∗ 1 0 ∗ 1 ∗   }

U={ {  1 0

rang n 0

1

2

2

2

dimension n dimG−dimP

2

3

4

5

Unevarie´te´horosphe´riqueestunplongementd’unespacehomog`eneho- rosph´eriqueG/Henuerid-,t-`ac’esGnautenroibete´irav-maorent´enntcole ouverteisomorphe`aG/H; son rang est celui deG/Hset´eari´.Pmiarsvle horosphe´riques,oncomptelesvari´ete´storiques(lorsqueG/Hest un tore : exemple1)etlesvari´et´esdedrapeaux(exemple2).Cesderni`tli eres son sses et de Fano. Lesvari´ete´shorosphe´riquesfontpartiedelafamilledesvari´et´essphe´riques. Lesplongementsd’unespacehomoge`nesph´eriqueG/Hsalce´te´tnoe´xfiessifi´ entermesd’e´ventailscolori´esparD.LunaetT.Vust[LV83].LorsqueG/H esthorosphe´riquederangn, on montre que les plongements de Fano deG/H sontclassifie´sentermesdecertainspolytopesrationnels,ditsG/H-r´sfixefle (voirlad´efinition3.3).Cespolytopessontdedimensionn(tout comme les ´eventailscolorie´s).IlestimportantderemarquerqueladimensiondeG/H est plus grande quenge´ceva,tseniestemelutilaise´G/Hest un tore ; dans ce dernier cas, les polytopesG/Hnfisidse´xefieflr´esopytolspletnossfixefle´r- par V. Batyrev. A rang egal, les polytopesG/Hventˆetrebeau--fle´rfixeueps ´ coupplusnombreuxquelespolytopesr´eflexifs.LorsqueGetHsont comme dansl’exemple6,ilya,`aautomorphismepr`es,398polytopesG/Hsfixefle´r- (calculeffectu´edanslapartie6.3).Encomparaison,oncompteseulement16 polytopesr´eflexifsdedimension2. V.AlexeevetM.Brionontmontr´equel’ensembledesclassesd’isomor- phismedesvarie´t´essph´eriquesdeFanodedimensionfixe´eestfini[AB04]. Onverraquelaclassificationpr´ece´dentepermetd’avoiruneversioneffective decer´esultatpourlesvarie´t´eshorosph´eriquesdeFanodontl’orbiteouverte estfixe´e.

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