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UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROTUFR de MathØmatiquesAnnØe : 2003 NThŁse de DoctoratSpØcialitØ : MathØmatiquesprØsentØe et soutenue publiquement parChristophe Ritzenthalerle 25 juin 2003ProblŁmes arithmØtiquesrelatifs à certaines familles de courbessur les corps nisJuryDirecteurM. Henri CohenM. Jean-Fran ois MestreM. Jean-Marc CouveignesM. Lo c MerelRapporteursM. Jean-Fran ois MestreM. Henri CohenM. Fran ois MorainM. RenØ SchoofM. RenØ SchoofRemerciementsCette partie, certainement la plus lue dans une thŁse, est aussi la plus dØlicate àrØdiger tant il est di cile de rØsumer en quelques mots les sentiments ØprouvØs pendant1quatre ans ou plus. Qu’on m’en excuse par avance les oublis et maladresses.Tout d’abord, j’aimerais exprimer toute ma gratitude et mon admiration à mon di-recteur de thŁse, Jean-Fran ois Mestre : la qualitØ de son enseignement, sa gentillesseet sa disponibilitØ ont ØtØ d’un apport inestimable dans l’Ølaboration de ce manuscrit ;l’originalitØ et la portØe de ses travaux restent pour moi un modŁle d’excellence.Je souhaite remercier chaleureusement mes rapporteurs Henri Cohen et RenØ Schoofpour l’attention qu’ils ont bien voulu porter à ma thŁse ainsi que Jean-Marc Couveignes,Lo c Merel et Fran ois Morain qui me font l’honneur d’Œtre membres de mon jury.Plus gØnØralement, c’est la communautØ mathØmatique dans sa grande majoritØ quej’aimerais remercier pour m’avoir acceptØ (ainsi que mes idØes et mes questions) ...

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Langue Français

UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
UFR de MathØmatiques
AnnØe : 2003 N
ThŁse de Doctorat
SpØcialitØ : MathØmatiques
prØsentØe et soutenue publiquement par
Christophe Ritzenthaler
le 25 juin 2003
ProblŁmes arithmØtiques
relatifs à certaines familles de courbes
sur les corps nis
Jury
Directeur
M. Henri Cohen
M. Jean-Fran ois Mestre
M. Jean-Marc Couveignes
M. Lo c MerelRapporteurs
M. Jean-Fran ois Mestre
M. Henri Cohen
M. Fran ois Morain
M. RenØ Schoof
M. RenØ SchoofRemerciements
Cette partie, certainement la plus lue dans une thŁse, est aussi la plus dØlicate à
rØdiger tant il est di cile de rØsumer en quelques mots les sentiments ØprouvØs pendant
1quatre ans ou plus. Qu’on m’en excuse par avance les oublis et maladresses.
Tout d’abord, j’aimerais exprimer toute ma gratitude et mon admiration à mon di-
recteur de thŁse, Jean-Fran ois Mestre : la qualitØ de son enseignement, sa gentillesse
et sa disponibilitØ ont ØtØ d’un apport inestimable dans l’Ølaboration de ce manuscrit ;
l’originalitØ et la portØe de ses travaux restent pour moi un modŁle d’excellence.
Je souhaite remercier chaleureusement mes rapporteurs Henri Cohen et RenØ Schoof
pour l’attention qu’ils ont bien voulu porter à ma thŁse ainsi que Jean-Marc Couveignes,
Lo c Merel et Fran ois Morain qui me font l’honneur d’Œtre membres de mon jury.
Plus gØnØralement, c’est la communautØ mathØmatique dans sa grande majoritØ que
j’aimerais remercier pour m’avoir acceptØ (ainsi que mes idØes et mes questions) sans
prØjugØ et avec sympathie. En particulier, Robert Carls, Pierrick Gaudry, Marc Hindry,
David Lehavi, Reynald Lercier, Joseph OesterlØ et Patrick SolØ ont toute ma reconnais-
sance pour leur aide prØcieuse.
Il me faut aussi citer dans cette communautØ l’ensemble des thØsards de Chevaleret
pour m’avoir fait partager leurs passions mathØmatiques ou autres. Un remerciement
spØcial à Esther dont les bonnes (et moins bonnes) humeurs ont ØgayØ mes longs mois
de rØdaction.
En marge de cette communautØ, mais indispensables, je voudrais remercier Mme
Orion et Mme Wasse pour avoir balisØ e cacemen t mon parcours administratif et Joºl
Marchand pour son aide informatique.
Il y a Øgalement tout ceux qui m’ont accompagnØ en dehors des mathØmatiques : ma
famille bien sßr et en particulier mes parents. Cette thŁse leur est dØdiØe avec toute mon
a ection. Mes amis Øgalement : je ne peux pas les citer tous mais j’ai une pensØe particu-
liŁre pour Anne, Fran ois, Eric et Jean parmi les Lorrains et pour Nico (pour m’avoir
supportØ pendant trois ans comme coloc, pour l’escalade, pour les questions d’info et le
reste), Marie, P ti, Alex, Croute, Manue et Pouss parmi les Cac hanais .
Et en n, Laure, pour sa prØsence lumineuse à mes c tØs.
1Voici une solution pour pallier partiellement à ce problŁme (ou pour personnaliser son exemplaire
de thŁse) : je remercie Øgalement de l’intØrŒt qu’il porte à mon travail .2Table des matiŁres
Table des matiŁres 3
Introduction 7
I Automorphismes 13
1 des courbes modulaires X(N) en caractØristique p 15
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Rappels sur les courbes modulaires et les revŒtements . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Les courbes modulaires X(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Rappels sur les revŒtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 DØmonstration des propositions 1.2 et 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 DØmonstration de la proposition 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 de la prop 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Cas particulier : ordinaritØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Utilisation du p-rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Calcul du p-rang des courbes modulaires X(q) . . . . . . . . . . . 22p
1.4.3 DØmonstration du thØorŁme 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Cas N = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Cas N = 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Bibliographie 31
II Courbe maximale 33
1 Existence d’une courbe de genre 5 sur F avec 13 points rationnels 353
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2 RØsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 DØmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3Bibliographie 41
III MØthode A.G.M. 43
1 Fonctions thŒta et jacobiennes 45
1.1 ThØorie ØlØmentaire des fonctions thŒta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1.1 Quelques rappels thØoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1.2 PremiŁres propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.1.3 Equations dØ nissan t les variØtØs abØliennes . . . . . . . . . . . . . 52
1.1.4 Formules de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2 Fonctions thŒta et jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.2 ThØorŁmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Le cadre thØorique 61
2.1 Le cas du genre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1 Sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.2 Sur Q : premiŁre approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
2.1.3 Sur Q : deuxiŁme approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
2.2 Cas gØnØral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.1 Polyn me caractØristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.2 OrdinaritØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.3 RelŁvement canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.4 Application à l’A.G.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 La dØtermination des thŒta constantes dans le cas de genre 3 non hy-
perelliptique 81
3.1 SystŁme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Forme quadratique et caractØristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.2 Ensemble principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Plongement canonique d’une courbe de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.2 Cas des courbes de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Bitangentes des courbes de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Cas oø k est de caractØristique di Øren te de 2 . . . . . . . . . . . . 91
3.3.2 Cas particulier k = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.3 Cas oø k = F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932
3.4 Fonctions racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1 DØ nition et premiŁres propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.2 Fonction racine et fonction thŒta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.3 Application à la dØtermination des thŒta constantes . . . . . . . . 100
3.5 DØtermination d’un systŁme d’Aronhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 des bitangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
44 Application au calcul du polyn me caractØristique 111
4.1 Bon modŁle de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.1 Rappels des cas hyperelliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.2 Cas du genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 MØthode A.G.M. 2-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.1 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2 Polyn me symØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.3 Cas g = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.4 Cas g = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.5 Cas g = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.6 DØtermination de P dans le cas g = 3 . . . . . . . . . . . . . . . 124sym
4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 Une construction gØomØtrique 129
5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 ElØments de gØomØtrie des courbes de degrØ 4 . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.1 RØseaux de coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.2 Hessienne et cayleyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.3 PropriØtØs de tangences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.4 RØseau de coniques et quartique plane . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 Application aux courbes de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.1 De (C;) à (E;Q;) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.2 De (E;Q;) à (C;) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
0 05.3.3 De (C;L) à (C ;L ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Conclusion 147
Bibliographie 149
Index 153
566
Introduction
Il faut beaucoup de connaissances pour faire de
l’arithmØtique...Si je vous dis 691, vous pensez à
quoi?
Jean-Pierre Serre.
Le dØnominateur commun des trois parties qui composent notre thŁse est l’Øtude de
courbes algØbriques sur les corps nis. L’Øtude de leurs aspects gØomØtriques et arith-
mØtiques a ØtØ initiØe par A. Weil au dØbut du siŁcle dernier. Plus rØcemment d’autres
points de vue sont venus enrichir le sujet : c’est le cas par exemple de l’analysep-adique
par l’intermØdiaire des techniques de relŁvements et de l’informatique (codes correcteurs
d’erreurs et cryptographie) qui amŁne à prendre en compte les aspects e ectifs.
PrØsentons maintenant les di Øren tes parties.
PremiŁre partie
Ces travaux ont pour origine un article de A. Adler [Adl97]. Ce dernier y montre
l’action d’un groupe sporadique, le groupe de Mathieu M d’ordre 7920, sur la courbe11
modulaire X(11) en caractØristique 3. En caractØristique nulle, la modularitØ de X(N),
N 7 premier, implique que son groupe d’automorphismes est exactement L (N) :=2
PSL (Z=NZ). Par rØduction, L (N) Aut(X(N) ) oø on a notØ X(N) la rØduction2 2 p p
modulop du modŁle deX(N) sur Z[1=N] pourp =N. Dans le casN = 11, la
modulo 3 fait donc surgir un groupe 60 fois plus grand. Un autre cas Øtait dØj connu
3 3 3[Kur82], celui deX(7) qui correspond à la courbe de Kleinx y+y z+z x = 0 (mais aussi
3
4 4 4à la courbe de Fermatx +y +z = 0) et qui possŁde comme groupe d’automorphismes
2PSU(3; 3 ). Une question naturelle est alors de savoir si ces deux exemples s’inscrivent
dans une famille plus vaste ou s’ils ne reprØsentent que des co ncidences isolØes. Dans un
article Manuscripta Math. 109 (2002) nous avons montrØ les rØsultats suivants :
Soit p > 3. Si la courbe X(N) est ordinaire alors son groupe d’automorphismesp
est L (N).2
Sip = 2 (resp.p = 3) et si la courbe est ordinaire alors on montre que son groupe
d’automorphismes estL (N) sauf peut-Œtre siN 3 (resp.N 2) est une puissance2
7de 4 (resp. 3) oø il pourrait Œtre un groupe simple dont on conna t l’ordre.
Nous donnons Øgalement des critŁres restrictifs qui permettent de traiter des courbes
au cas par cas. Nous montrons ainsi que en dehors de p = 3, le groupe des auto-
morphismes de X(11) est toujours L (11) et que L (13) est le groupe des auto-2 2p de X(13) pour tout p.p
Les arguments utilisØs sont divers : des majorations de groupes d’automorphismes bien
sßr mais aussi des propriØtØs plus arithmØtiques liØes aux formes modulaires a n de
pouvoir calculer le p-rang des courbes X(N) . Des lemmes relatifs aux Øquations dio-p
phantiennes et à la classi cation des groupes simples sont Øgalement dØmontrØs.
Ainsi, il semble que les deux cas rencontrØs soient des exceptions. Dans une communica-
tion privØe, Robert Guralnick nous a par ailleurs a rmØ qu’il a pu dØmontrer, par des
mØthodes semblables et dans un article en prØparation, que seuls les deux cas ØvoquØs
voient leur groupe d’automorphismes augmentØ.
DeuxiŁme partie
La motivation initiale de ce travail est la rØponse à la question suivante : existe-
t-il une courbe (lisse, projective) de genre 5 sur F avec 13 points rationnels ? Cette3
question s’inscrit dans la philosophie gØnØrale de recherche de courbes de genre xØ
g sur un corps ni F possØdant un nombre maximal de points rationnels, rechercheq
utile aux codes correcteurs (du type Goppa). Dans le cas prØsent, i.e. g = 5;q = 3, on
savait qu’il n’existe pas de telle courbe avec 14 points et on savait en construire avec
12 points. Nous prØsentons une courbe avec 13 points rationnels qui comble donc la
lacune qui existait. Souvent ces courbes, courtisØes pour leur propriØtØs arithmØtiques,
se trouvent de plus dotØes d’une riche structure gØomØtrique. Les imbrications entre ces
deux aspects Øtant mal connues, l’explicitation de cas particuliers reste trŁs importante.
Dans cette optique, nous montrons que le groupe des automorphismes de notre courbe
est constituØ d’une unique involution, en utilisant des arguments de A. Beauville [Bea77]
pour les intersections de quadriques. Nous montrons alors que la courbe est Øgalement
revŒtement non galoisien de trois courbes elliptiques. Un thØorŁme de E.W. Howe et
K. Lauter [HL02] permet de prØciser le degrØ de ces revŒtements. Nous donnons gr ce
à cela un algorithme permettant de trouver ces revŒtements et nous l’appliquons à la
dØtermination de deux d’entre eux.
TroisiŁme partie
AprŁs les groupes d’automorphismes, les courbes maximales, c’est ici un troisiŁme as-
pect de la thØorie des courbes sur un corps ni qui est abordØ, nommØment les mØthodes
de comptage de points rationnels sur de grandes extensions de F . Le dØveloppement ra-p
pide de ce sujet est liØ de trŁs prŁs à celui de la cryptographie qui utilise les jacobiennes
des courbes de genre infØrieur ou Øgal à 3 comme cryptosystŁmes pour le logarithme dis-
cret. Avant 1985, on ne connaissait pas d’algorithme polynomial pour Øvaluer le cardinal
de ces groupes. Le premier algorithme polynomial pour le cas elliptique a ØtØ proposØ
8