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• Publié par: Fyan
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
UFR de MathØmatiques
AnnØe : 2003 N
ThŁse de Doctorat
SpØcialitØ : MathØmatiques
prØsentØe et soutenue publiquement par
Christophe Ritzenthaler
le 25 juin 2003
ProblŁmes arithmØtiques
relatifs à certaines familles de courbes
sur les corps nis
Jury
Directeur
M. Henri Cohen
M. Jean-Fran ois Mestre
M. Jean-Marc Couveignes
M. Lo c MerelRapporteurs
M. Jean-Fran ois Mestre
M. Henri Cohen
M. Fran ois Morain
M. RenØ Schoof
M. RenØ SchoofRemerciements
Cette partie, certainement la plus lue dans une thŁse, est aussi la plus dØlicate à
rØdiger tant il est di cile de rØsumer en quelques mots les sentiments ØprouvØs pendant
1quatre ans ou plus. Qu’on m’en excuse par avance les oublis et maladresses.
Tout d’abord, j’aimerais exprimer toute ma gratitude et mon admiration à mon di-
recteur de thŁse, Jean-Fran ois Mestre : la qualitØ de son enseignement, sa gentillesse
et sa disponibilitØ ont ØtØ d’un apport inestimable dans l’Ølaboration de ce manuscrit ;
l’originalitØ et la portØe de ses travaux restent pour moi un modŁle d’excellence.
Je souhaite remercier chaleureusement mes rapporteurs Henri Cohen et RenØ Schoof
pour l’attention qu’ils ont bien voulu porter à ma thŁse ainsi que Jean-Marc Couveignes,
Lo c Merel et Fran ois Morain qui me font l’honneur d’Œtre membres de mon jury.
Plus gØnØralement, c’est la communautØ mathØmatique dans sa grande majoritØ que
j’aimerais remercier pour m’avoir acceptØ (ainsi que mes idØes et mes questions) sans
prØjugØ et avec sympathie. En particulier, Robert Carls, Pierrick Gaudry, Marc Hindry,
David Lehavi, Reynald Lercier, Joseph OesterlØ et Patrick SolØ ont toute ma reconnais-
sance pour leur aide prØcieuse.
Il me faut aussi citer dans cette communautØ l’ensemble des thØsards de Chevaleret
pour m’avoir fait partager leurs passions mathØmatiques ou autres. Un remerciement
spØcial à Esther dont les bonnes (et moins bonnes) humeurs ont ØgayØ mes longs mois
de rØdaction.
En marge de cette communautØ, mais indispensables, je voudrais remercier Mme
Orion et Mme Wasse pour avoir balisØ e cacemen t mon parcours administratif et Joºl
Marchand pour son aide informatique.
Il y a Øgalement tout ceux qui m’ont accompagnØ en dehors des mathØmatiques : ma
famille bien sßr et en particulier mes parents. Cette thŁse leur est dØdiØe avec toute mon
a ection. Mes amis Øgalement : je ne peux pas les citer tous mais j’ai une pensØe particu-
liŁre pour Anne, Fran ois, Eric et Jean parmi les Lorrains et pour Nico (pour m’avoir
supportØ pendant trois ans comme coloc, pour l’escalade, pour les questions d’info et le
reste), Marie, P ti, Alex, Croute, Manue et Pouss parmi les Cac hanais .
Et en n, Laure, pour sa prØsence lumineuse à mes c tØs.
1Voici une solution pour pallier partiellement à ce problŁme (ou pour personnaliser son exemplaire
de thŁse) : je remercie Øgalement de l’intØrŒt qu’il porte à mon travail .2Table des matiŁres
Table des matiŁres 3
Introduction 7
I Automorphismes 13
1 des courbes modulaires X(N) en caractØristique p 15
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Rappels sur les courbes modulaires et les revŒtements . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Les courbes modulaires X(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Rappels sur les revŒtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 DØmonstration des propositions 1.2 et 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 DØmonstration de la proposition 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 de la prop 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Cas particulier : ordinaritØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Utilisation du p-rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Calcul du p-rang des courbes modulaires X(q) . . . . . . . . . . . 22p
1.4.3 DØmonstration du thØorŁme 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1 Cas N = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Cas N = 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Bibliographie 31
II Courbe maximale 33
1 Existence d’une courbe de genre 5 sur F avec 13 points rationnels 353
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2 RØsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 DØmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3Bibliographie 41
III MØthode A.G.M. 43
1 Fonctions thŒta et jacobiennes 45
1.1 ThØorie ØlØmentaire des fonctions thŒta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1.1 Quelques rappels thØoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.1.2 PremiŁres propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.1.3 Equations dØ nissan t les variØtØs abØliennes . . . . . . . . . . . . . 52
1.1.4 Formules de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2 Fonctions thŒta et jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.2 ThØorŁmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Le cadre thØorique 61
2.1 Le cas du genre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1 Sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.2 Sur Q : premiŁre approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
2.1.3 Sur Q : deuxiŁme approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
2.2 Cas gØnØral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.1 Polyn me caractØristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.2 OrdinaritØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.3 RelŁvement canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.4 Application à l’A.G.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 La dØtermination des thŒta constantes dans le cas de genre 3 non hy-
perelliptique 81
3.1 SystŁme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Forme quadratique et caractØristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.2 Ensemble principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Plongement canonique d’une courbe de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.2 Cas des courbes de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Bitangentes des courbes de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Cas oø k est de caractØristique di Øren te de 2 . . . . . . . . . . . . 91
3.3.2 Cas particulier k = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.3 Cas oø k = F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932
3.4 Fonctions racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1 DØ nition et premiŁres propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.2 Fonction racine et fonction thŒta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4.3 Application à la dØtermination des thŒta constantes . . . . . . . . 100
3.5 DØtermination d’un systŁme d’Aronhold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 des bitangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
44 Application au calcul du polyn me caractØristique 111
4.1 Bon modŁle de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.1 Rappels des cas hyperelliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.2 Cas du genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2 MØthode A.G.M. 2-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.1 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2 Polyn me symØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.3 Cas g = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.4 Cas g = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.5 Cas g = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.6 DØtermination de P dans le cas g = 3 . . . . . . . . . . . . . . . 124sym
4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 Une construction gØomØtrique 129
5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 ElØments de gØomØtrie des courbes de degrØ 4 . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.1 RØseaux de coniques . . . . . . . . . . .