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THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ PARIS 6SpécialitéMathématiquesPrésentée parM. Lionel FourquauxPour obtenir le grade deDocteur de l’Université Paris 6Sujet de la thèse : Logarithme de Perrin-Riou pour des extensionsassociées à un groupe de Lubin-Tatesoutenue le 12 décembre 2005devant le jury composé de :• M. Pierre Colmez, directeur de recherche au CNRS (Directeur de thèse)• M. Denis Benois, professeur à l’université de Besançon (Rapporteur)• M. Christophe Breuil, directeur de recherche au CNRS (Rapporteur)• M. Jan Nekovář, professeur à l’université Paris 6• M. Jean-Pierre Wintenberger, professeur à l’université de Strasbourg12RésumésRésumé françaisEn 1994, Perriniou a donné un procédé général de construction de fonctions L pdiquesdes motifs à partir d’un système d’éléments « globaux ». Ce procédé fait intervenir une appli-cation « exponentielle de Perriniou» qui interpole les exponentielles de Bloc hato associéesà la représentation pdique étudiée tordue par les puissances du caractère cyclotomique. Cesrésultats ont ensuite été développés, avec en particulier la preuve par Colmez de la loi de récipro-cité explicite conjecturée par Perriniou. Plusieurs travaux récents suggèrent que ces rés ultatspeuvent se généraliser en y remplaçant les extensions cyclotomiques par les extensions associéesà un groupe de Lubinate. Cette thèse donne une telle généralisation pour la constructio n del’application « logarithme de Perriniou» trouvée par Colmez ...

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THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ PARIS 6

Spécialité Mathématiques

Présentée par M. LionelFourquaux

Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université Paris 6

Sujet de la thèse :Logarithme de Perrin-Riou pour des extensions associées à un groupe de Lubin-Tate

soutenue le12 décembre 2005

devant le jury composé de :

 M. PierreColmezde recherche au CNRS (Directeur de thèse), directeur  M. DenisBenois, professeur à l’université de Besançon (Rapporteur)

 M. ChristopheBreuil, directeur de recherche au CNRS (Rapporteur)  M. JanNekovář, professeur à l’université Paris 6  M. Jean-PierreWintenberger, professeur à l’université de Strasbourg

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Résumés

Résumé français

En 1994, Perrin-Riou a donné un procédé général de construction de fonctions L p-adiques des motifs à partir d’un système d’éléments « globaux ». Ce procédé fait intervenir une appli- cation « exponentielle de Perrin-Riou » qui interpole les exponentielles de Bloch-Kato associées à la représentation p-adique étudiée tordue par les puissances du caractère cyclotomique. Ces résultats ont ensuite été développés, avec en particulier la preuve par Colmez de la loi de récipro- cité explicite conjecturée par Perrin-Riou. Plusieurs travaux récents suggèrent que ces résultats peuvent se généraliser en y remplaçant les extensions cyclotomiques par les extensions associées à un groupe de Lubin-Tate. Cette thèse donne une telle généralisation pour la construction de l’application « logarithme de Perrin-Riou » trouvée par Colmez.

Résumé anglais

In 1994, Perrin-Riou described a generic construction of p-adic L-functions of motives, given a system of "global" elements. Part of this construction is the definition of a map, the "Perrin- Riou exponential", which interpolates Bloch-Kato exponentials for twists of the representation by powers of the cyclotomic character. This work has been extended by Colmez, who among other things proved the explicit reciprocity law conjectured by Perrin-Riou. Recent works suggest that these results can be generalized by replacing cyclotomic extensions by Lubin-Tate extensions. This thesis demonstrates such a generalization for Colmez’s construction of the "Perrin-Riou logarithm".

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Remerciements

Je tiens à remercier M. Colmez pour m’avoir fait découvrir un sujet de recherche parfois difficile, mais aussi captivant, ainsi que pour toute l’aide, les conseils et les idées qu’il m’a donnés, et pour l’immense patience dont il a fait preuve. Je remercie aussi les rapporteurs pour l’intérêt qu’ils ont montré pour ce travail et pour la rapidité avec laquelle ils l’ont lu, ainsi que les autres membres du jury qui se chargeront de l’évaluer. Je remercie tous mes professeurs, qui m’ont donné le goût de comprendre et m’ont fourni les bases pour aller plus loin, ainsi que les organisateurs de séminaires, qui me donnent maintenant la chance de découvrir de nouvelles questions (et souvent de mesurer l’étendue de ce que je ne comprends pas encore). J’adresse aussi tous mes remerciements à ceux qui m’ont à l’occasion aidé ou soutenu au fil de ce doctorat. Merci aussi à mes parents, pour leur soutien constant. Enfin, merci à Bérangère, qui m’a apporté son soutien et plus encore. À tout ceux que j’oublie, j’adresse également un grand merci.

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Table des matières

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Anneaux de Fontaine e 3.1 Le corpsE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lien avec le corps des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 3.3 Les anneauxA,B,A + ,B + ,B dR ,A max ,B max . . . . . . . . . . . 3.4 Anneaux de Fontaine et séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Sous-espaces propres sous l’action deϕ F . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Les périodes d’un groupe de Lubin-Tate . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Généralités sur les vecteurs de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 . . 9 8 É Lavaluation or p d - r a e di 1 qu . e . d . e . B . m + a . x, . F ... . . . .. . . . . . . . . . . . ... . . . .... ... . ...... léments d’ 3.9.1 Stabilité par addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 La topologie naturelle deX. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3Xest l’ensemble des éléments d’ordre 1 . . . . . . . . . . . 3.9.4 Application aux sous-espaces propres deϕ F . . . . . . . . . 3.10 Cohomologie continue dans des anneaux de Fontaine . . . . . . . .

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Rappels sur les groupes de Lubin-Tate 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La tour d’extensions d’un groupe de Lubin-Tate . . . . . . . . . . . . . 2.3 Rappels sur le théorème d’Ax-Sen-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Les périodes d’un groupe de Lubin-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Un résultat de Fontaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Pourquoi le cas cyclotomique ne se généralise-t-il pas simplement ? . . 2.7 Traces de Tate normalisées dans une tour d’extensions . . . . . . . . . 2.8 Cohomologie continue deC p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introduction 1.1 Les séries de Coleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 L’exponentielle de Perrin-Riou et son inverse . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le logarithme de Perrin-Riou pour une extension de type Lubin-Tate . 1.4 Questions en suspens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Lien avec la théorie des(ϕΓ) . . . . . . . . . . . . .-modules . 1.4.2 Lois de réciprocité explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Lien avec l’isomorphisme de Coleman . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Plan de cette thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Résumés Résumé français . Résumé anglais . .

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Remerciements

Table des matières

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Construction de l’application logarithme 4.1 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Distributions continues, distributions tempérées . . . . . 4.1.2 Distributions tempérées et distributions algébriques . . 4.1.3 Cohomologie galoisienne dans un espace de distributions 4.2 Le lemme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Preuve du lemme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Réductions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Deux lemmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Fin de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Construction de l’application « logarithme de Perrin-Riou » . . 4.4.1 Descente deG F àΓ F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Action deΓ F surq n u n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Décomposition deq n u n  .dans une base adaptée . . . . 4.4.4 Utilisation du lemme principal . . . . . . . . . . . . . .

Références

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1.1

Introduction

Les séries de Coleman

On suppose ici quepest un nombre premier,Fune extension finie deQ p (dont on fixe doré- navant un plongement dansC p ),q=p h le cardinal du corps résiduelk F deF, etFun groupe de Lubin-Tate d’anneau des endomorphismes l’anneauO F des entiers deF. Notonsπ F une unifor- misante deO F ,F n l’extension deFengendrée par les points deπ n F -torsion deF, etF ∞ = S F n . Soit(η n )générateur du module de Tate deun F(i.e. la limite projective des modules des points deπ n F -torsion deF). SiKest une extension finie deF, on noteK n =K F n etK ∞ =K F ∞ . Enfin, on noteG K = Gal(KK)le groupe de Galois absolu deK, etΓ K =G K G K ∞ . Enfin, on noteχ F le caractère associé au groupe de Lubin-TateF. Dans [Col79], Coleman a montré le résultat suivant.

ent delimO F où Théorème 1.1.1.Soitu= (u n )un élém ←− n  limite projective est prise pour, la les applications normes. Alors il existe une unique série entièreCol u (X)∈ O F [[X]]telle que

Col u (η n ) =u n pour toutn∈N.

On trouve ainsi un morphisme injectif deli ← m− O F n dansO F [[X]]. De plus, les sériesf u vérifient

Y Col u (X+ F σ(η 1 )) = Col u ([π F ] F (X)) σ∈Gal(F 1 F)

Ce morphisme (ou une variante, selon les auteurs) est habituellement appelé l’isomorphisme de Coleman. Ce résultat joue un rôle fondamental dans l’étude des fonctions Lp-adiques (en particulier avecF=Q p ,F=G m pour la fonctionζde Kubota-Leopold, ou avec le groupe formel associé à une courbe elliptique à multiplication complexe dans [CW78]).

1.2 L’exponentielle de Perrin-Riou et son inverse

Dans [Per94], Perrin-Riou donne une généralisation de ce résultat, sous la forme d’une appli- cation « exponentielle », qui permet de reconstruire l’inverse de l’isomorphisme Coleman dans le cas oùF=G m , et en est ainsi une généralisation. Plus précisément, siVest une représentationp-adique deG K , avecKune extension finie de Q p , la suite exacte fondamentale

0

Q p

B ϕ ma = x 1

B dR B d + R

0

(cf. par exemple [Col98]) donne naissance à la suite exacte longue de cohomologie suivante.

0

V G K

(B ϕ m = ax 1 ⊗ Q p V) G K

((B dR B d + R )⊗ Q p V) G K exp V H 1 (K V)

On poseD cris (V) = (B max ⊗ Q p V) G K , et on noteH e 1 (K V)le noyau de la flèche

On a alors la suite exacte

0

V G K

H 1 (K V

D cris (V) ϕ=1

)−→H 1 (KB ϕ m = ax 1 ⊗ Q p V)

((B dR B d + R )⊗ Q p

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V) G K

exp V

H e 1 (K V)

  

0

L’applicationexp V est appelée exponentielle de Bloch-Kato. Perrin-Riou construit une famille d’applications (qu’elle appelle « applications des périodes ») qui en un sens interpolent les exponentielles de Bloch-Kato des représentations obtenues en tordantVles puissances du caractère cyclotomique. On pourra consulter [Per94] et [Pe95a]par pour l’énoncé précis des résultats en question. Si l’on étudie la représentationQ p (1), l’inverse de l’exponentielle de Perrin-Riou redonne l’isomorphisme de Coleman (cf. [Per94] et [CC99]). Ces résultats s’inscrivent dans le cadre d’un procédé général (mais conjectural) de construc- tion de fonctions Lp (comme les unités globaux »-adique, à partir d’un système d’éléments « cyclotomiques). Perrin-Riou se restreint au cas où la représentationVest cristalline. Dans [Col98], Colmez donne une construction explicite de l’exponentielle de Perrin-Riou (et de sa réciproque, l’appli- cation « logarithme de Perrin-Riou ») pour toute représentation de de Rham. NotonsH I 1 w (K V) =H 1 (G K Λ K ⊗V), avecΛ K =O K [[Γ K ]]. Comme les éléments deΛ K peuvent être vus comme des mesures surΓ K , à un cocycleτ7→ τ représentant un élément de H I 1 w (K V)on peut associer la famille de cocycles

τ7→ Z  τ  Γ K n

Comme cette famille est compatible aux corestrictions, ce qui permet d’identifierH I 1 w (K V)avec Q p ⊗li ← m − H 1 (K n  T)pourTun réseau deV. Colmez obtient le résultat suivant (version simplifiée du théorème VI.3.1 de [Col98]).

Théorème 1.2.1.SoitKune extension finie deQ p . SoitVune représentation de de Rham telle que pour toutn∈N, on ait(B ϕ ma = x 1 ⊗ Q p V) G K n = 0. (On peut se placer dans ce cas en tordantVpar une puissance du caractère cyclotomique). Soit∈H I 1 w (K V)tel que Z Γ K ∈H e 1 (K n  V)quel que soitn>1. n

Finalement, soitτ7→ τ un cocycle continu représentantet, sin∈N, soitc n ∈(B ϕ ma = x 1 ⊗ Q p V) tel que l’on ait Z Γ K n ∈ G K n . (1−τ)(c n ) = τ quel que soitτ Alors la suite de terme généralp n c n converge dans l’espace de Banachp-adiqueB ϕ ma = x 1 ⊗ Q p V, vers un élément de(B ϕ ma = x 1 ⊗ Q p V) G K ∞ notéLog ( V 1) ().

Cette applicationLog ( V 1) ()est l’application logarithme de Perrin-Riou. (La correspondance entre la formulation en terme de séries utilisée par Perrin-Riou, et les distributions de l’article de Colmez découle des résultats d’Amice, cf. [Ami78]).

1.3 Le logarithme de Perrin-Riou pour une extension de type Lubin- Tate

Les résultats de Perrin-Riou et Colmez utilisent la tour d’extensions cyclotomique. Il est tentant de vouloir les généraliser à la tour d’extensions engendrée par les points de torsion d’un groupe de Lubin-Tate. On a vu que l’isomorphisme de Coleman est bien défini dans ce cadre. L’objet de cette thèse est de donner une construction du « logarithme de Perrin-Riou » qui généralise le résultat de Colmez.

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SoitVuneF-représentation de de Rham. Comme dans le cas cyclotomique, on a une expo- nentielle de Bloch-Kato, qui est définie à l’aide de la suite

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V G K ((B m + ax,F [t −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V) G K

((B dR B d + R )⊗ Q p V) G K exp VF H 1 (K V)   

On noteH e 1 F (K V)le noyau de la flècheH 1 (K V)→H 1 (K(B + max,F [t −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V). Si k∈Zest assez grand, on aH e 1 F (K V(χ c k yclo )) =H 1 (K V(χ k cyclo ))(oùχ cyclo désigne le caractère cyclotomique). On peut également regarder la suite

0

V G K

((B + max,F [t F −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V) G K

((B dR B d + R )⊗ F V) G K exp VFid H 1 (K V)

  

de Lubin-TateF, etH 1 oùt F ∈B m + ax,F  définitest la période associée au groupe on eFid (K V) comme le noyau de la flècheH 1 (K V)→H 1 (K(B m + ax,F [t F −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V). Le résultat suivant est démontré dans cette thèse.

Théorème 1.3.1.SoitFun groupe de Lubin-Tate, défini sur une extension finieFdeQ p . Soit Kune extension finie deF. SoitVuneF-représentation de de Rham deG K . On suppose que pour toutn∈N, on a  (B + max,F [t −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V  G K n = 0. Soit∈H I 1 w (K V)tel que Z Γ K n ∈H e 1 F (K n  V)quel que soitn>0.

Soitτ7→ τ un cocycle continu représentant. Pour toutn∈N, soit

c n ∈(B m + ax,F [t −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V

tel que Z Γ n K  τ qu (1−τ)c n =el que soitτ∈ G K n . Alors la suite de terme généralq n c n converge dans l’espace(B m + ax,F [t −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V, vers un élément de((B m + ax,F [t −1 ]) ϕ F =1 ⊗ F V) G K ∞ , que l’on noteLog VF (). (On démontre en fait un résultat un peu plus général, avec des cocycles à valeurs dans un espace de distributions d’ordre assez petit). Notons que dans le cas d’un groupe de Lubin-Tate de hauteur1, une telle généralisation a été établie par Shaowei Zhang ([Zha04]). Cependant, ce cas n’est pas fondamentalement différent du cas cyclotomique. Pour un groupe de Lubin-Tate de hauteur plus grande que1, la construction de Colmez ne s’étend pas directement. Plus précisément, cette construction se divise en deux grandes parties. Tout d’abord, on descend deB + max ⊗Và(B m + ax ⊗V) G K ∞ en utilisant le fait que l’extensionKK ∞ est presque étale. Cette partie est essentiellement inchangée dans le cas Lubin-Tate. La difficulté apparaît dans la seconde partie, où on utilise des « traces de Tate normalisées » pour étudier l’action deGal(K ∞ K)sur(B m + ax ⊗V) G K ∞ Pour construire ces « traces de Tate normalisées »,. dans le cas cyclotomique, on définit des applications continues deC G p K ∞ dansK n en associant àx la limitelim m→+∞ p n−m Tr K m K n (x). Or, cela ne fonctionne pas pour un groupe de Lubin-Tate de hauteur plus grande que1:Tr K m+1 K m (O K m+1 )n’est pas contenu dansp h O K n . On montrera ici (cf. partie 2.6) qu’il n’existe en fait pas d’application linéaire continue Galois-équivariante de C p G K ∞ dansKqui ne soit pas identiquement nulle.

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