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• Publié par: Zoev
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• Langue: English

Extrait

Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris VI
´Ecole doctorale des Sciences Math´ematiques de Paris Centre
UFR 921
´Equations de r´eaction-diffusion
non-locale
`THESE
d´epos´ee publiquement le Mardi 18 Novembre 2003
pour l’obtention du
Doctorat de l’universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6
(sp´ecialit´e Math´ematiques Appliqu´ees)
par
J´erˆome Coville
Composition du jury
Rapporteurs : Mme. Danielle HILHORST
Mr. Gregory SIVASHINSKY
Examinateurs : Mr. Henri BERESTYCKI Directeur
Mr. Fabrice BETHUEL
Mr. Francois HAMEL
Mr. Benoit PERTHAME
Laboratoire Jacques Louis Lions — UMR 7598Mis en page avec la classe thloria.Remerciements
Les remerciements (à paraitre dans le prochain numero).
iiiJe dédie cette thèse
à mon Armelle et à Maude.
iiiivTable des matières
Introduction générale 1
1 Introduction et motivation de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Intérêt de cette modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Quelques exemples de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Équations limites et justification de modèles discrets. . . . . . . 5
3 Résultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 Construction de fronts progressifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Comportement à l’infini, caractérisation de la vitesse . . . . . . . 7
3.3 Monotonie et unicité par méthode de glissement . . . . . . . . . 8
3.4 Commentaires et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Partie I Nonlocal reaction diffusion equations 11
Note au CRAS 13
Chapitre 1
Travelling waves in a nonlocal reaction diffusion equation with ignition nonli
nearity
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Existence of solutions in the ignition case . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
vTable des matières
1.3 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.1 Proof of the first step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.2 Proof of the second step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4 Continuity of the speedc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45θ
1.5 Asymptotic behavior of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
∗1.6 Existence ofc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chapitre 2
On a nonlocal reaction diffusion equation arising in population dynamics
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Linear Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Existence of sub and supersolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
22.4 L estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
22.4.1 L estimates for solutions of (2.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
22.4.2 L for of (2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5 Construction of a solution of (2.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.2 Iteration procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.3 Passing to the limit asn→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.4 Construction of a solution of (2.5) for c≤κ (†) . . . . . . . . . . 76ss
2.5.5 of a forc>κ (†) . . . . . . . . . . . . . . . 76ss
∗2.6 Construction of solutions of (2.9) for allc≥c (†) . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.1 Construction of one solution of (2.9) forc=κ¯(†) . . . . . . . . . . 77
∗2.6.2 Definition ofc (†) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7 Existence of a solution for†=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.8 Asymptotic behavior of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Annexes
Annexe A
Uniqueness and monotony in integrodifferential equations on a semi infinite in
terval
A.1 Uniqueness and Monotony of solutions of integrodifferential equations
on semi infinite domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2 Monotonicity, proof of Theorem A.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
viA.2.1 Proof of the first step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.2.2 Proof of the second step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.2.3 Proof of the third step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.3 Nonlinear comparison principles, proof of Lemma A.1.1 . . . . . . . . . 92
viiTable des matières
Partie II Qualitative properties of fronts solving nonlocal reaction diffusion equa
tions 95
Chapitre 3
Min max formulas for front speeds in a nonlocal reaction diffusion equation
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Linear theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 Construction of a solution of (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.1 Iteration procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.2 Passing to the limit asn→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
23.4 L estimates of solutions of (3.38) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Min max formula : cases A1 and A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.6 : the monostable case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Note au CRAS 119
Chapitre 4
On uniqueness and monotonicity of solutions of non local reaction diffusion
equations
4.1 Introduction and main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.1 General remarks and comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.2 Method and plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 Preliminary results, Nonlinear Comparison Principle . . . . . . . . . . 130
4.3 Uniqueness and monotonicity of solutions of the integrodifferential
equation onR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3.1 Uniqueness up to translation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3.2 Monotonicity of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3.3 Nonexistence and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4 Monotonicity of solutions of the integrodifferential equation : the mo
nostable case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.5 The multidimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Bibliographie 149
viii