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• Publié par: Shuwyor
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• Langue: Français

Extrait

¶Universite Paul Sabatier | Toulouse III
¶Institut de Mathematiques de
¶UFR Mathematiques Informatique Gestion
¶Ecole Doctorale Mathematiques et Applications
Laboratoire Emile Picard
µTHESE
pr¶esent¶ee en vue de l’obtention du grade de
¶Docteur de l’Universite Toulouse III
Mention Math¶ematiques et Applications
par
Gr¶egoire MONTCOUQUIOL
D¶eformations de m¶etriques Einstein sur des
vari¶et¶es µa singularit¶es coniques
Soutenue le mardi 6 d¶ecembre 2005 devant le jury compos¶e de :
M. O. Biquard professeur, universit¶e Strasbourg I examinateur
M. M. Boileau universit¶e Toulouse III
M. G. Carron professeur, universit¶e de Nantes rapporteur
M. M. Herzlich universit¶e Montpellier II examinateur
M. F. Pacard professeur, universit¶e Paris XII pr¶esident du jury
M. J.-M. Schlenker universit¶e Toulouse III directeur de thµese
au vu des rapports de :
M. G. Besson directeur de recherches, universit¶e Grenoble I
M. G. Carron professeur, universit¶e de NantesRemerciements
Je tiens µa remercier en premier lieu Jean-Marc Schlenker, qui a accept¶e de
m’encadrer pendant cette thµese. Il a su ^etre pr¶esent et disponible, toujours
pr^et µa m’¶ecouter et aµ me relancer quand j’en avais besoin. Il m’a t¶emoign¶e une
grande conflance, me laissant la libert¶e que je souhaitais dans l’orientation de
mes recherches. Le sujet qu’il m’a propos¶e, situ¶e µa l’intersection de plusieurs
branches des math¶ematiques, m’a permis d’¶etendre mes connaissances µa des
domaines que je ne connaissais pas avant de le rencontrer.
Je voudrais remercier ensuite Gilles Carron et G¶erard Besson, qui se sont
int¶eress¶esaµmestravauxbienavantquejeleurdemanded’^etremesrapporteurs.
Leurscommentairesm’ont¶et¶etrµespr¶ecieuxpour lar¶edactiondecettethµeseet
les discussions que j’ai eues avec eux ont toujours ¶et¶e trµes enrichissantes, tant
sur le plan humain que math¶ematique.
Je remercie sincµerement Olivier Biquard, Marc Herzlich et Frank Pacard
d’avoiraccept¶edefairepartiedujury,ainsiqueMichelBoileau,dontl’¶etendue
des connaissances m’a toujours impressionn¶e, notamment lors des s¶eances du
s¶eminaire Groupes et G¶eom¶etrie du mardi matin.
Merci aussi µa tout le personnel du laboratoire Emile Picard, gr^ace aµ qui
ces ann¶ees µa Toulouse se sont si bien pass¶ees, et en particulier µa Rita Gomes,
Agnµes Requis et Marie-Line Chemin, sans qui j’aurais eu du mal µa terminer
ma thµese µa distance.
Merci enfln µa tous les gens que j’ai rencontr¶e pendant cette thµese et qui sont
devenus des amis, depuis les anciens de salle six (Arnaud, Nicolas, Sonia,...)
jusqu’aux plus r¶ecents (Yohann et Johanna, C¶ecile, Julien, Anne) en passant
par Manu, Guy, Julien, Mathieu et son appareil photo, Laurent, Guillaume,
Nicolas, Erwan, et j’en oublie suremen^ t. Merci µa tous ceux qui m’ont aid¶e
pour la soutenance, et particuliµerement µa Philippe et Marie-H¶elµene. Merci aµ
ma famille, aµ mes parents, qui j’espµere sont flers de moi aujourd’hui.
Et surtout, merci aµ Vanessa, qui attendait ce moment avec impatience, et
qui a su me donner la motivation et l’¶energie aut ouµ c’¶etait n¶ecessaire.Introduction
L’¶etude des vari¶et¶es Einstein, un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’an-
n¶ees, est r¶ecemment revenue au coeur de l’actualit¶e math¶ematique, gr^ace notamment aux tra-
vauxdeG.Perelman[20]surlaconjecturedeg¶eom¶etrisationdeThurstonviale otdeRicci.Les
exemplesdevari¶et¶esadmettantdesm¶etriquesEinsteinsontplusenplusnombreux,maisrestent
souvent cantonn¶es µa des familles bien particuliµeres. Ainsi, on conna^‡t de nombreux exemples
de vari¶et¶es Einstein µa courbure n¶egative, mais trµes peu sont non homogµenes. Le problµeme de
trouver de telles vari¶et¶es est rendu plus di–cile par le fait qu’elles sont rigides dans le cas
compact : on ne peut pas les d¶eformer pour obtenir d’autres vari¶et¶es Einstein. Ces r¶esultats
de rigidit¶e sont connus depuis longtemps pour les vari¶et¶es hyperboliques et pour les espaces
sym¶etriques en g¶en¶eral [18]. Mais la situation n’est plus la m^eme dµes que l’on quitte les vari¶et¶es
ferm¶ees:larigidit¶eestalorseng¶en¶eralsubordonn¶eeaµd’autresparamµetres,commeparexemple
la structure conforme du bord µa l’inflni pour les vari¶et¶es hyperboliques.
Dans leur c¶elµebre article [13], Hodgson et Kerckhofi montrent que contrairement au cas
compact, il est possible de d¶eformer des vari¶et¶es hyperboliques µa singularit¶es coniques. Plus
pr¶ecis¶ement, pour une large classe de c^ones-vari¶et¶es hyperboliques de dimension 3, l’espace
des structures coniques hyperboliques au voisinage d’une c^one-vari¶et¶e donn¶ee est param¶etr¶e
par les angles coniques. Si l’on se donne une petite variation des angles, il existe donc une
unique structure de c^ones-vari¶et¶es hyperboliques proche de la structure de d¶epart et r¶ealisant
la variation donn¶ee des angles coniques. Leur r¶esultat principal est le th¶eorµeme de rigidit¶e
inflnit¶esimale suivant : si M est une c^one-vari¶et¶e hyperbolique de dimension 3 de volume flni,
dont le lieu singulier forme un entrelacs et dont tous les angles coniques sont inf¶erieurs µa 2…,
alors il est impossible de la d¶eformer sans modifler ses angles. Cet article, compl¶et¶e par des
travaux plus r¶ecents (voir notamment [14], [16] et [26]), a ¶et¶e le point de d¶epart de nombreux
d¶eveloppements dans l’¶etude de la g¶eom¶etrie des vari¶et¶es hyperboliques de dimension 3, tels
que la g¶eom¶etrisation des petites orbifolds ou l’¶etude des groupes kleiniens ([5], [7]).
Leprincipedelad¶emonstrationduth¶eorµemederigidit¶einflnit¶esimaledeHodgsonetKerck-
hofi est de r¶eussir µa appliquer la m¶ethode de Calabi-Weil (cf [8], [12], [25]) aux c^ones-vari¶et¶es :
on montre que la repr¶esentation d’holonomie n’admet pas de d¶eformations non triviales de la
formevoulue.Celan¶ecessited’¶etablirdesformulesd’int¶egrationparpartiesainsiqu’unr¶esultat
du type th¶eorµeme de Hodge. Ce genre de di–cult¶es est inh¶erent µa l’¶etude des c^ones-vari¶et¶es;
nous verrons dans cette thµese comment les aborder.
Dans le cas des vari¶et¶es ferm¶ees, Koiso [15] a donn¶e un analogue de la m¶ethode de Calabi-
Weil, qui n’utilise plus la repr¶esentation d’holonomie mais ¶etudie directement les d¶eformations
delam¶etrique(cfaussi[2],x12.H).Cettedeuxiµemem¶ethodepr¶esentel’avantagedes’appliquer,
en dimension sup¶erieure, µa une classe de vari¶et¶es plus vaste, et en particulier aux vari¶et¶es
Einstein (v¶eriflant de bonnes conditions de courbure).
Il est int¶eressant de regarder si ces techniques s’appliquent aux vari¶et¶es µa singularit¶es co-
niques, et permettent d’obtenir une g¶en¶eralisation du th¶eorµeme de Hodgson et Kerckhofi. Il
devrait ^etre alors possible de construire, aµ partir d’une vari¶et¶e hyperbolique µa cusps (que l’on
peut consid¶erer comme une c^one-vari¶et¶e d’angles coniques nuls), des c^ones-vari¶et¶es Einstein
proches, dont les angles coniques (su–samment petits) sont donn¶es. On peut choisir ces angles
5Introduction
delaforme2…=n;enprenantensuiteunrev^etementappropri¶e,onobtientunevari¶et¶ecompacte
non singuliµere, dont la m¶etrique a priori non homogµene est Einstein, µa courbure sectionnelle
n¶egative. Comme il a ¶et¶e mentionn¶e, on conna^‡t actuellement trµes peu d’exemples de telles
vari¶et¶es riemanniennes; la construction ci-dessus en donnerait toute une famille.
Le but de cette thµese est d’utiliser ces techniques pour montrer qu’inflnit¶esimalement, la
situation en dimension sup¶erieure µa 3 est la m^eme qu’en dimension 3. Dans un premier temps,
une adaptation de la m¶ethode de Koiso permet de d¶emontrer que, sous des hypothµeses voisines
de celles du th¶eorµeme de Hodgson et Kerckhofi, on ne peut pas d¶eformer une c^one-vari¶et¶e
hyperboliqueendesc^ones-vari¶et¶esEinsteinsansenmodiflerlesanglesconiques.Enparticulier,
on red¶emontre dans le cas de la dimension trois le th¶eorµeme de rigidit¶e inflnit¶esimale ci-dessus.
Dans un deuxiµeme temps, une ¶etude plus pouss¶ee de l’¶equation d’Einstein lin¶earis¶ee permet
de construire, pour toute variation donn¶ee des angles, une d