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• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE DU QUEBEC A MONTREAL
VARIETES DE CARQUOIS ET HOMOLOGIE D’INTERSECTION
THESE
PRESENTEE
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DU DOCTORAT EN MATHEMATIQUES
PAR
RALF SCHIFFLER
JUILLET 2002Je remercie Robert Bedard pour son excellent travail de directeur de these. C’est
lui qui m’a enseigne toute la theorie des algebres enveloppantes quantiques et des
representations de carquois et qui m’a souvent mis sur des pistes de recherches qui
par la suite s’averaient fructueuses. Merci aussi a ma femme Celine et ma lle Ella pour
leur support.TABLE DES MATIERES
LISTE DES FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
LISTE DES TABLEAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
RESUME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHAPITRE I
NOTATIONS ET RAPPELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 L’algebre enveloppante quantique U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Les modules de carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 La cohomologie d’intersection locale des varietes de carquois . . . . . . . . . 13
1.4 Le carquois d’Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Les -partages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
CHAPITRE II
RESULTATS DE R.BEDARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 L’e et de l’involution ( ) sur un vecteur de racine . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Relations de commutation entre les vecteurs de racine . . . . . . . . . . . . 33
CHAPITRE III
a^LE CALCUL DES POLYNOMES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44c
3.1 Multiplication par un vecteur de racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
a3.2 Formule recursive pour
dans le cas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50nc
CHAPITRE IV
LES SINGULARITES DES VARIETES DE CARQUOIS DE TYPE A . . . . 58n
a4.1 Analyse de
pour c proche de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58c
4.2 Lissite rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Lissite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
CONCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109LISTE DES FIGURES
1.1 Un carquoisQ avec carquois d’Auslander-Reiten correspondant . . . . 16
1.2 Un carquois d’Auslander-Reiten de type A : . . . . . . . . . . . . . . . . 176
r1.3 Un -partage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1 Deux schemas du carquois d’Auslander-Reiten dans le cas i!j!k. . 79
4.2 Deux schemas du carquois dans le cas i!j k. . 84
4.3 Le schema d’un carquois d’Auslander-Reiten dans le cas h!i!j!k 90
4.4 Le carquois d’Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Q1
4.5 Le carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Q2
4.6 Le carquois d’Auslander-Reiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Q3
4.7 Le carquois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Q4LISTE DES TABLEAUX
4.1 Resultats de calcul dans le casQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
4.2 Resultats de calcul dans le casQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972
4.3 Resultats de calcul dans le casQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
4.4 Resultats de calcul dans le casQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994
4.5 Resultats de calcul dans le cas Q , n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
4.6 Resultats de calcul dans le cas Q , n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002 RESUME
Il existe une correspondance entre les representations d’un carquois de typeA;D
1ou E et l’algebre enveloppante quantique U associee a ce carquois sur Z[v;v ], voir
(Ringel, 1990).
Les representations de dimension d = (d ;:::;d ) d’un carquois peuvent ^etre vues1 n
comme des points d’un espace vectorielE muni d’une action d’un groupe algebriqueGd d
tels que deux points sont dans la m^eme orbite si et seulement si les representations cor-
respondantes sont isomorphes. Par le theoreme de Gabriel, les classes d’isomorphismes
des representations sont en bijection avec les c2 N , ou est le nombre de racines
positives. On noteO la G -orbite qui est la classe correspondante a c. Son adherencec d
O pour la topologie de Zariski est appelee variete de carquois. L’etude de ces varietesc
0est le sujet de cette these. Il existe un ordre partiel sur N de ni par c c si et
seulement si les representations dansO etO 0 ont la m^eme dimension etO 0O .c c c c
D’autre part, la base canonique donnee par Lusztig de l’algebre enveloppante
c
quantique est de nie a partir d’une basefE g de type Poincare-Birkho -Wittc2Ni
c(Lusztig, 1990a) et la correspondance mentionnee ci-dessus associe a E la G -orbitedi
O . Il existe une involution ( ) de l’algebre enveloppante quantique qui xe chaquec
c celement de la base canonique et dont l’image E d’un element E de la base de typeii
PBW est donne par une somme X
c ccE = ! E (1)0c ii
0cc
00c 1 c 0 00avec ! 2 Z[v;v ] . Les polyn^ omes ! ; c c c determinent completement la0 0c c
cohomologie d’intersection locale deO . La formule (1) est centrale dans la theorie.c
Elle decrit le lien entre la base canonique, la base de type PBW et la topologie des
varietes de carquois.
Dans le troisieme chapitre, nous etablissons une formule recursive pour les po-
clyn^ omes ! dans le cas A. Pour y parvenir nous utilisons entre autre des resultats0c
non-publies de R.Bedard que nous presentons dans le chapitre II. Le chapitre I quant
a lui contient des rappels sur les objets mathematiques que nous etudions par la suite
ainsi que leur de nition. Nous presentons dans le quatrieme chapitre deux applications
cgeometriques de notre formule recursive pour! : D’une part, nous prouvons le resultat0c
interessant qu’une variete de carquois de type A est lisse si et seulement si elle est
rationnellement lisse et nous dressons la liste complete de ces varietes (rationnellement)
lisses. D’autre part, nous donnons la liste complete des varietes de carquois de type Avii
qui sont projectivement rationnellement lisses, c’est- a-dire dont la projectivisation est
rationnellement lisse.
Cette recherche est interessante de plusieurs points de vue. Les algebres envelop-
pantes quantiques sont en soi un sujet fort interessant. Elles sont des exemples impor-
tants d’algebres non-commutatives. De plus, elles ont des applications dans plusieurs
branches des sciences, notamment en physique theorique, dans la theorie des noeuds et
des representations des algebres.
Les varietes de carquois forment une classe tres riche de varietes algebriques af-
nes. Elles ressemblent en plusieurs aspects aux varietes de Schubert, des varietes
algebriques projectives qui ont ete le sujet de nombreuses etudes et qui sont aujourd’hui
parmi les varietes les mieux comprises. La cohomologie d’intersection est un des outils-
cles dans l’etude des varietes de Schubert et la notion de lissite rationnelle y est une
approximation utile de la notion de lissite.
Mots cles: algebre enveloppante quantique (groupe quantique), theorie des repre-
sentations de carquois, variete de carquois, cohomologie d’intersection.INTRODUCTION
Cette recherche porte sur la geometrie des varietes de carquois de typeA et en particulier
sur la question de savoir quand est-ce qu’une telle variete est rationnellement lisse. Pour
pouvoir donner une reponse a cette question, il faut etudier la cohomologie d’intersection
locale de la variete ce qui revient au calcul de certains polyn^ omes qui apparaissent dans
un changement de bases dans l’algebre enveloppante quantique associee au carquois.
Ce document est divise en quatre chapitres; le premier sert a introduire les objets
mathematiques sur lesquels nous allons travailler, dans le deuxieme, nous presentons des
resultats non-publies de R.Bedard sur des proprietes de l’algebre enveloppante quantique
et dans les chapitres III et IV, nous presentons les resultats de notre propre recherche.
Il s’agit l a d’une part, dans le chapitre III, d’une formule recursive pour les polyn^ omes
mentionnes ci-dessus et d’autre part, dans le chapitre IV, des application geometriques
de cette formule qui nous permettent entre autres de fournir une reponse complete a la
question formulee ci-dessus, a savoir quand est-ce qu’une variete de carquois de type A
est rationnellement lisse et projectivement rationnellement lisse.6
CHAPITRE I
NOTATIONS ET RAPPELS
Dans ce chapitre, nous introduisons les objets mathematiques que nous allons etudier
dans les chapitres posterieures, nous xons les notations et nous expliquons plusieurs
resultats qui ont ete obtenus par d’autres personnes.
1.1 L’algebre enveloppante quantique U
Soient v une indeterminee et U l’algebre enveloppante quantique de Drinfeld-Jimbo
sur le corps Q(v) des fonctions rationnelles correspondante a l’algebre de Lie complexe
1simplesl (C). U est une algebre sur Q(v) donnee par les generateurs: E ; F; K; Kn+1 i i i i
(1in) et les relations:
1 1(r.1) KK =K K = 1; KK =K K ;i i i j j ii i
8
2>v E K; si i =j;j i><
1(r.2) K E = v E K; siji jj = 1;i j j i>>:
E K; sij