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RemerciementsJ’aimerais tout d’abord remercier chaleureusement Alexandru Dimca quia accept´e de diriger ma th`ese. Son d´evouement et sa gentillesse, qui ne m’ontjamais fait d´efaut, ainsi que l’admirable ´etendue de ses comp´etences ont ´et´ed’une aide pr´ecieuse tout au long de mon travail.Je voudrais exprimer toute ma gratitude `a Michel Merle et Adam Paru-sinski qui ont accept´e d’ˆetre rapporteurs pour l’attention qu’ils ont prˆet´e `ala lecture de ma th`ese.Ma reconnaissance va aussi aux autres membres du Jury : PierretteCassou-Nogu´es, Peter Russell ainsi qu’Alain Yger.J’ai une pens´ee particuli`ere pour Jean-Marc Couveignes et Nicolas Bri-sebarre qui n’ont ´et´e avares ni en temps ni en travail ni en conseils et quim’ont apport´e une aide inestimable et indispensable.Je ne saurais finir ces remerciements sans porter une mention `a tous mescamarades du laboratoire dont l’humour et la chaleur m’ont permis d’appro-fondir les math´ematiques dans la joie.Table des mati`eres1 Cohomologie de De Rham 91.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Cas de deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Cas de n courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Topologie des fonctions r´eguli`eres sur une surface affine 252.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Stratifications et ...

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Remerciements

J’aimerais tout d’abord remercier chaleureusement Alexandru Dimca qui aaccepte´dedirigermath`ese.Sonde´vouementetsagentillesse,quinem’ont jamaisfaitd´efaut,ainsiquel’admirable´etenduedesescomp´etencesont´ete´ d’uneaidepre´cieusetoutaulongdemontravail. Jevoudraisexprimertoutemagratitude`aMichelMerleetAdamParu- sinskiquiontaccepte´d’eˆtrerapporteurspourl’attentionqu’ilsontprˆete´a` lalecturedemathe`se. Ma reconnaissance va aussi aux autres membres du Jury : Pierrette Cassou-Nogu´es,PeterRussellainsiqu’AlainYger. J’aiunepense´eparticuli`erepourJean-MarcCouveignesetNicolasBri- sebarrequin’ont´et´eavaresnientempsnientravailnienconseilsetqui m’ontapport´euneaideinestimableetindispensable. Jenesauraisfinircesremerciementssansporterunemention`atousmes camarades du laboratoire dont l’humour et la chaleur m’ont permis d’appro- fondirlesmath´ematiquesdanslajoie.

Table des mati` eres

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Cohomologie de De Rham 9 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Cas de deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Cas dencourbes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  16 1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Topologiedesfonctionsre´gulie`ressurunesurfaceaffine25 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Stratifications et conditions de Whitney . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Nombres de Milnor et ∗  . . . . . . . . . . . . . . 27-constance . 2.4G´ene´alit´essurlatopologied’unesurfaceaffineU=P 2 \C. . . 30 2.5Topologiedessectionsr´eguli`eresd’unesurfaceaffineU=P 2 \C30 2.6Unanalogued’unre´sultatdeAbhyankaretMoh........42 2.6.1Unr´esultate´le´mentaire..................42 2.6.2Unr´esultatplusge´n´eral.................43 2.7Cohomologiedelafibreg´en´erique................47 2.8 Cocycles invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Introduction

SoitP 2 le plan projectif complexe,C⊂P 2 equriebg´itdu´eerenulaebruoc dontlescomposantesirr´eductiblessontnote´esC 1 ,    , C n . Soitf i = 0 une ´equationpourlacomposanteC i . Danscetteth`ese,ons’inte´resse`alatopologieducomple´mentU=P 2 \C, quiestunesurfacelisseetaffine.Danslepremierchapitre,intitule´“Co- homologiedeDeRham”,ond´ecritdesbasesexplicitespourlesgroupes decohomologiea`coefficientscomplexes,H i (U) pouri= 1,2 en supposant donne´esdesbasespourlesgroupesH i (U j o)u`U j =P 2 \C j . Si les courbesC j sont lisses, de telles bases pour lesH i (U j r[12espa].os)e´nnodtn Ler´esultatprincipaliciestlesuivant:

Th´eor`eme1.SoientC 1 ,    , C n ncourbes deP 2 snoitauqe´selfiniespard´e irr´eductiblesf 1 = 0,    , f n = 0. AlorsH 2 (P 2 \ ∪ in =1 C i edsrt´eenge)nesparl formes PΩ f 1 f i 2 f i 3 ,1≤i 1 , i 2 , i 3 ≤n, i o`uΩestlacontractiondelaformevolumedel’espaceaffineA 3 par le champ de vecteurs d’Euler. Onremarquequelath´eorieg´ene´rale,cf.[3],donnedesde´nominateursdu type (f 1    f n ) 2 eslldesqeeceuelpmo´uqippuocsullesbeaucdesformu,odcn notreThe´ore`me1.Plusieursexemplesexplicitessontcalcule´s,enparticulier lecaso`uC 1 est une cubique lisse etC 2 est la tangente d’inflexion deC 1 , situationquimontredeuxchosesinte´ressantes: –Lafiltrationparl’ordredupoˆleP s ne coincide pas avec la filtration de HodgeF s surH ∗ (U), bien que l’on sache queF s ⊂P s par [3] ; –Lafiltrationparl’ordredupoˆlen’estpascompatibleaveclesisomor- phismes induits par les inclusions.

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` TABLE DES MATIERES

Un autre exemple donne une base pour la cohomologieH 1 (F)o`uF⊂C 2 estunecourbeaffinelissetellequesaclˆotureprojectiveF⊂P 2 soit aussi lisse. Dansledeuxi`emechapitre,onge´ne´ralisebeaucoupdere´sultatssurla topologie d’une fonction polynomiale,f:C 2 →Cdans le cas d’une fonction r´eguli`eref:U→C. On suppose quefteaseluetnemssedugnitilaest´olises´e onmontre,enutilisantunth´eor`emedeBertini,qu’alorsFire´euq,lafibreg´en def, est connexe. On introduit respectivement le nombre de Milnor total(f) defcomme la somme de tous les nombres de Milnor locaux pourfsurUet le saut total `al’infiniλ(fmos,edem)Oni.fininl’desncauxtslossauroa`iMnlseedmorb montre que l’on a la formule : b 1 (F) = 1−χ(U) +(f) +λ(f), quige´ne´raliselaformulebienconnuepourlecasU=C 2 , voir [9]. Iciχ(U) estlacaracte´ristiqued’EulerdeU.´egaL’in:eludneioce´enidqutet´lieve´ (f) +λ(f)≥χ(U)−1 montre que sur une surface avecχ(U)>outeue)tqire´ne´gsacelts’e(c1 fonctionadmetsoitdessingularite´ssurU, soit un saut pour les nombres de Milnordesessingularite´sa`l’infini. Onmontrel’analoguesuivantduth´eor`emed’Abhyankar-Moh-Suzuki The´ore`me2.On se donne sur la surface affineU=P 2 \Cu`oCest une courbeirr´eductibledeP 2 i`uleeritno´rgeuenofcnf. On suppose quef:U→C est une fibration localement triviale alorsCest une courbe rationelle qui est hom´eomorphea`P 1 . En general, soitB⊂Cl’ensemble de bifurcation defet posonsS=C\B, ´ ´ X=f −1 (S). Alors,f:X→Sest une fibration localement triviale et on a unerepr´esentationdemonodromie: ρ:π(S, s 0 )→AutH 1 (F s 0 ) pours 0 ∈Spse’decaoisnlednestltauxsfivei´L.ree´usleladimeantcalcu cocyclesinvariantsetge´ne´raliselaformuleobtenuedans[7]pourlecasU= C 2 .

` TABLE DES MATIERES

Proposition 1.

dimH 1 (F s 0 ) ρ =n(C)−1 + X (n(F b )−1)− |B| b∈B

oun(F b prresee)irr´educposantesrbdecemotnlenemodeesbltirefibla ` ´ F b . Finalement,lesr´esultatsdupremierchapitresontutilis´esdanslesecond pour obtenir une base de la cohomologie de De RhamH 1 (F) de la fibre ge´n´eriqueF.

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Chapitre 1

Cohomologie de De Rham

1.1 Introduction L’objetdecechapitreestl’´etudeduplongementd’unecourbealg´ebrique dansP 2 eia`logoicneocffienstsdaapcsedenurndioptriomohacelCde l’espace compl´ementaire. Dans[12],P.Griffithsd´efinitunefiltrationparl’ordredupoˆleP, sur le complexededeRhamalg´ebriqueducomple´mentaired’undiviseurDlisse deP n l’espace projectif complexe. Il montre que toute classe de cohomologie peutˆetrerepr´esente´eparuneformedontlepoˆleestd’ordreauplusnle long deDelhxsui,eDlp.deigolomohocedepougrdusebaneeuibedegr´en. Lamajorationdel’ordredupoˆlea´ete´g´ene´ralise´edans[3]aucompl´ement ` ne hy urface deP n nne´onasri´csetlisemense. a u pers Nousnousproposonsdanscechapitred’am´eliorerlamajorationdel’ordre dupˆolepourdesdiviseursre´ductiblesdeP 2 atprsulter´e.Ltselapelniic suivant : Th´eoreme3.SoientC 1 ,    , C n ncourbes deP 2 d´efin´sqeauitneoipssrael ` irre´ductiblesf 1 = 0,    , f n = 0. AlorsH 2 (P 2 \ ∪ in =1 C i drenpa´ees)ngtelrse formes PΩ f i 1 f f i ,1≤i 1 , i 2 , i 3 ≤n, i 2 3 ou`Ωestlacontractiondelaformevolumedel’espaceaffineA 3 par le champ de vecteurs d’Euler. Sauf mention du contraire, les groupes de cohomologiesonttoujours`acoefficientsdansC.