These-Prioux
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` ´THESE De DOCTORAT De L’Universite´De Marne-la-Valleepour l’obtention du grade de´ ´Docteur de l’Universite de Marne-la-ValleeSp´ecialit´e : Math´ematiques Appliqu´eesPr´esent´ee et soutenue publiquement parNicolas Priouxle 12 d´ecembre 2007M´ethodes d’analyse harmoniquepour l’´etude des ´equations deNavier-Stokes, de Boussinesq et dela Magn´eto-HydrodynamiqueJuryM. Marco Cannone DirecteurM. Pierre-Gilles Lemari´e-Rieusset Co-directeurM. Patrick Penel RapporteurMme Maria Schonbek RapporteurM. Fabrice Planchon ExaminateurM. Abdellah Youssfi ExaminateurRemerciementsJetienstoutd’abord`aremercierMarcoCannoneetPierre-GillesLemari´e-Rieussetqui m’ont fait l’honneur d’accepter d’encadrer cette th`ese. Leurs conseils et leur en-thousiasme commutatif m’ont constamment stimul´e durant l’accomplissement de cetravail.Leurdisponibilit´eetleurgentillessem’ontpermisd’effectuercestravauxdansles meilleures conditions.J’exprime toute ma gratitude a` Grzegorz Karch pour avoir toujours suivi l’´evolutionde mes recherches avec int´erˆet et disponibilit´e.Patrick Penel et Maria Schonbek ont accept´e de rapporter sur mon travail. Je tiens`a les remercier pour les diverses remarques et suggestions qui ont permis d’am´eliorerla qualit´e de la r´edaction de la th`ese.Je remercie aussi Fabrice Planchon et Abdellah Youssfi d’avoir bien voulu faire partiedu jury.Jetiensaussia`exprimermareconnaissanceenverstouslesmembresduLaboratoired’Analyse et Math´ematiques ...

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Langue Français

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` ´THESE De DOCTORAT De L’Universite
´De Marne-la-Vallee
pour l’obtention du grade de
´ ´Docteur de l’Universite de Marne-la-Vallee
Sp´ecialit´e : Math´ematiques Appliqu´ees
Pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Nicolas Prioux
le 12 d´ecembre 2007
M´ethodes d’analyse harmonique
pour l’´etude des ´equations de
Navier-Stokes, de Boussinesq et de
la Magn´eto-Hydrodynamique
Jury
M. Marco Cannone Directeur
M. Pierre-Gilles Lemari´e-Rieusset Co-directeur
M. Patrick Penel Rapporteur
Mme Maria Schonbek Rapporteur
M. Fabrice Planchon Examinateur
M. Abdellah Youssfi ExaminateurRemerciements
Jetienstoutd’abord`aremercierMarcoCannoneetPierre-GillesLemari´e-Rieusset
qui m’ont fait l’honneur d’accepter d’encadrer cette th`ese. Leurs conseils et leur en-
thousiasme commutatif m’ont constamment stimul´e durant l’accomplissement de ce
travail.Leurdisponibilit´eetleurgentillessem’ontpermisd’effectuercestravauxdans
les meilleures conditions.
J’exprime toute ma gratitude a` Grzegorz Karch pour avoir toujours suivi l’´evolution
de mes recherches avec int´erˆet et disponibilit´e.
Patrick Penel et Maria Schonbek ont accept´e de rapporter sur mon travail. Je tiens
`a les remercier pour les diverses remarques et suggestions qui ont permis d’am´eliorer
la qualit´e de la r´edaction de la th`ese.
Je remercie aussi Fabrice Planchon et Abdellah Youssfi d’avoir bien voulu faire partie
du jury.
Jetiensaussia`exprimermareconnaissanceenverstouslesmembresduLaboratoire
d’Analyse et Math´ematiques Appliqu´ees, ou` j’ai pass´e trois ann´ees tr`es agr´eables, et
tout particuli`erement envers Mireille Morvan qui en est l’ˆame.
Fr´ed´eric Praslon a suivi mes premiers pas dans l’enseignement en tutorat, Thierry
Berkover ceux en monitorat. Qu’ils en soient remerci´es ici.
JeremercieaussiRobertetMariuz,mesdeuxamispolonnaisrencontr´es`aCortona
durant une ´ecole d’´et´e, qui m’ont r´eserv´e un accueil tr`es chaleureux lorsque je suis
all´e en Pologne dans le cadre du programme europ´een HANAP.
Enfin, je suis reconnaissant `a mes parents qui n’ont eu de cesse de me soutenir
durant toutes ces ann´ees et qui m’ont donn´e les moyens d’en arriver jusque l`a.Table des mati`eres
Introduction 9
Liste des notations 15
Liste des espaces 17
I Pr´eliminaires 21
I.1 Construction physique des mod`eles..................................... 25
I.1.1 Les ´equations de l’hydrodynamique................................. 25
I.1.2 L’approximation de Boussinesq..................................... 30
I.1.3 La Magn´eto-Hydrodynamique...................................... 32
I.2 Les Espaces fonctionnels................................................ 35
I.2.1 Pseudo Mesures................................................... 35
I.2.1.1 D´efinition..................................................... 35
I.2.1.2 Interpolation................................................... 35
−1 −1I.2.2 Les espaces bmo et BMO ..................................... 36
I.2.2.1 L’espace BMO................................................. 36
−1 −1I.2.2.2 Les espaces bmo et BMO .................................. 37
I.2.3 Les espaces de Lorentz............................................. 39
I.2.3.1 Definitions .................................................... 39
I.2.3.2 Interpolation et propri´et´es...................................... 41
I.2.4 Les espaces de Lorentz faibles...................................... 42
I.2.4.1 D´efinitions .................................................... 42
I.2.4.2 In´egalit´es de Young............................................ 43
I.2.5 Les espaces de Besov .............................................. 45
I.2.5.1 Littlewood-Paley............................................... 45
I.2.5.2 D´efinitions et propri´et´es........................................ 46
I.2.6 Les espaces de Besov faibles........................................ 48
5II Le Mod`ele Abstrait 51
II.1 Les espaces............................................................. 55
II.1.1 D´efinition......................................................... 55
II.1.2 Exemples.......................................................... 57
II.2 Notion de solutions..................................................... 61
II.3 Existence et unicit´e..................................................... 63
II.4 Comportement Asymptotique .......................................... 67
´III Les Equations de Navier-Stokes 75
III.1Pr´eliminaires........................................................... 81
III.1.1Solutions adoucies de Leray........................................ 81
III.1.2Propri´et´es des espaces de Lorentz faibles............................ 81
III.1.3Continuit´e du terme bilin´eaire..................................... 83
´III.2Equivalence Leray/Kato................................................ 87
III.3Solutions a` la Cannone et Planchon..................................... 93
III.3.1Cas g´en´eral........................................................ 93
III.3.2Le cas critique..................................................... 97
´IV Les Equations de Boussinesq 99
IV.1Th´eorie Abstraite ...................................................... 105
IV.1.1Lorentz............................................................105
IV.1.2Pseudo-mesures ................................................... 107
IV.2Solutions Auto-Similaires...............................................111
IV.2.1Introduction.......................................................111
IV.2.2Existence..........................................................113
IV.2.3Comportement.....................................................116
´V Les Equations de la magn´eto-hydrodynamique 121
V.1 Application de la th´eorie abstraite......................................127
V.2 Solutions faibles de Leray-Hopf.........................................131
V.3 Estimations en temps et espace.........................................133
V.4 Solutions Mild dans les espaces de Besov ............................... 139
V.5 Crit`ere de Serrin ....................................................... 143
V.6 Unicit´e et r´egularit´e dans BMO et Besov...............................149
V.7 Unicit´e et R´egularit´e dans les Besov mix´es..............................159
Conclusion 169Annexes 173
A Le projecteur de Leray................................................. 175
B Le noyau de la chaleur..................................................177
C Interpolation r´eelle..................................................... 179
Bibliographie 180Introduction
9

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