Un exemple de mathématiques chinoises non triviales : les formules sommatoires finies de Li Shanlan (1811-1882) - article ; n°1 ; vol.43, pg 81-98

Jean -Claudemartzloff

Description

Revue d'histoire des sciences - Année 1990 - Volume 43 - Numéro 1 - Pages 81-98
RÉSUMÉ. — Les œuvres mathématiques de Li Shanlan (1811-1882) contiennent l'énoncé non démontré d'une difficile formule combinatoire connue pour avoir attiré l'attention de plusieurs mathématiciens au cours du XXe siècle. Dans le présent article, nous nous demandons comment il se peut que les mathématiques chinoises traditionnelles contiennent des résultats non triviaux alors même qu'a priori il semblerait que tout distingue ces mathématiques de ce que l'on considère habituellement comme telles.
SUMMARY. — A difficult combinatorial formula known for having attracted the attention of several twentieth-century mathematicians appears without proof in the mathematical works of Li Shanlan (1811-1882). In this article we ask ourselves how traditional Chinese mathematics can contain non-trivial results, even though a priori it would seem that everything distinguishes these mathematics from what it is usually considered to be.
18 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES
• Publié le: 01 janvier 1990
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Extrait

M Jean Claude Martzloff
Un exemple de mathématiques chinoises non triviales : les
formules sommatoires finies de Li Shanlan (1811-1882)
In: Revue d'histoire des sciences. 1990, Tome 43 n°1. pp. 81-98.
Résumé
RÉSUMÉ. — Les œuvres mathématiques de Li Shanlan (1811-1882) contiennent l'énoncé non démontré d'une difficile formule
combinatoire connue pour avoir attiré l'attention de plusieurs mathématiciens au cours du XXe siècle. Dans le présent article,
nous nous demandons comment il se peut que les mathématiques chinoises traditionnelles contiennent des résultats non triviaux
alors même qu'a priori il semblerait que tout distingue ces de ce que l'on considère habituellement comme telles.
Abstract
SUMMARY. — A difficult combinatorial formula known for having attracted the attention of several twentieth-century
mathematicians appears without proof in the mathematical works of Li Shanlan (1811-1882). In this article we ask ourselves how
traditional Chinese mathematics can contain non-trivial results, even though a priori it would seem that everything distinguishes
these mathematics from what it is usually considered to be.
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Martzloff Jean Claude. Un exemple de mathématiques chinoises non triviales : les formules sommatoires finies de Li Shanlan
(1811-1882). In: Revue d'histoire des sciences. 1990, Tome 43 n°1. pp. 81-98.
doi : 10.3406/rhs.1990.4157
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1990_num_43_1_4157Un exemple
de mathématiques chinoises non triviales :
les formules sommatoires finies
de IiShanlan (1811-1882)
RÉSUMÉ. — Les œuvres mathématiques de Li Shanlan (1811-1882) contien
nent l'énoncé non démontré d'une difficile formule combinatoire connue pour
avoir attiré l'attention de plusieurs mathématiciens au cours du xxe siècle. Dans
le présent article, nous nous demandons comment il se peut que les mathématiques
chinoises traditionnelles contiennent des résultats non triviaux alors même qu'a
priori il semblerait que tout distingue ces mathématiques de ce que l'on considère
habituellement comme telles.
SUMMAR Y. — A difficult combinatorial formula known for having attracted
the attention of several twentieth-century mathematicians appears without proof
in the mathematical works of Li Shanlan (1811-1882). In this article we ask ourselves
how traditional Chinese mathematics can contain non-trivial results, even though
a priori it would seem that everything distinguishes these mathematics from what it is
usually considered to be.
I. — Remarques générales
SUR LES MATHÉMATIQUES CHINOISES TRADITIONNELLES
On sait depuis longtemps que les mathématiques chinoises
contiennent des résultats non triviaux. Actuellement, bien rares
sont les manuels de théorie des nombres qui omettent de baptiser
du nom suggestif de théorème chinois un ingénieux théorème relatif
aux systèmes de congruences simultanées (*) ; on signale souvent
aussi la valeur de тс égale à 355/113 en en attribuant la découverte
à Zu Chongzhi (vers -f 500), célèbre calculateur, astronome, calen-
(*) Sur ce, voir U. Libbrecht, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, the
Shu-shu chiu-chang of ChHn Chiushao (Cambridge, Mass. : mit Press, 1973), 555 p.
Rev. Hist. Sri., 1990, XLIII/1 82 Jean-Claude Martzloff
dériste et constructeur de mécanismes ingénieux (2). Cependant,
le plus souvent, ces résultats et d'autres du même ordre fort propres
à susciter l'émerveillement sont présentés de telle sorte qu'il
semble presque toujours s'agir de faits miraculeux. Or, étant donné
que les rares textes chinois qui sont parvenus jusqu'à nous ne
contiennent, pour la plupart, que des recettes brutes, bien des
historiens des mathématiques chinoises (Van Hée (3), Van der
Waerden (4)), ont souvent eu tendance à considérer a priori qu'en
matière de chinoises, tout devait s'expliquer uni
quement en termes d'emprunts ou d'influences extérieures. Cette
attitude vis-à-vis des phénomènes chinois a toujours reçu d'autant
plus de crédit que, comme on l'a souvent remarqué, les résultats
que contiennent ces mathématiques sont massivement attestés, à
époque comparable, dans d'autres cultures.
Sans nier l'importance peut-être cruciale des difficiles questions
d'influence, il devient donc de plus en plus clair qu'il serait fru
ctueux d'aborder aussi l'histoire des mathématiques chinoises sous
d'autres angles, celui des modes de raisonnement notamment.
C'est ainsi que des recherches récentes, centrées essentiellement
sur des commentaires méconnus du Jiuzhang suanshu [Neuf cha
pitres sur l'art du calcul — dynastie des Han, très approximati
vement] ont montré que les mathématiques chinoises antiques
contiennent aussi des raisonnements et des justifications logiques,
et pas seulement des règles toutes faites. Ces raisonnements,
qui s'appliquent parfois à des problèmes ardus (volume de la
sphère ou de la pyramide, détermination des décimales successives
du nombre тс, par exemple), utilisent des procédés qui, visiblement,
ne sont pas dans leur ensemble, du même ordre que ceux de la
tradition grecque (5).
Mais bien sûr, pour tout ce qui concerne soit l'Antiquité, soit
(2) Cf. Yan Dunjie, Zhongguo suanjia Zu Chongzhi jigi yuanzhoulu zhi yanjiu
(Le mathématicien Zu Chongzhi et ses recherches sur тс), Xue Yi (1936), vol. 4, n° 1,
37-50. (Noue citons cet article de préférence à d'autres plus récents car, sur ce sujet
précis, il s'agit toujours de l'un des meilleurs qui existent.)
(*) Cf. Jean-Claude Martzloff, Histoire des Mathématiques chinoises (Paris : Masson,
1987), p. 4. C.r. : N. Sivin, China Quarterly (1989), 117, 173-174.
(*) Cf. Van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (Berlin :
Springer, 1983). Cet auteur с diffusionniste » explique que toutes les mathématiques
ont leur origine dans d'hypothétiques mathématiques prébabyloniennee.
(5) Sur ce, voir J.-C. Martzloff, op. cit., chapitre sur les modes de raisonnement,
p. 66 sq. Des mathématiques non triviales 83
le Moyen Age, il s'agit toujours de mathématiques qui ne présentent
maintenant pratiquement plus qu'un intérêt purement historique.
Pour les périodes plus tardives, on insiste souvent à la fois sur le
déclin des mathématiques chinoises et sur leur immersion supposée
dans la tradition grecque à partir des premiers contacts avec les
sciences européennes, à partir du début du xvne siècle (e). En
fait, cette présentation contient des éléments de vérité, mais il
s'en faut de beaucoup pour qu'elle rende compte de manière satis
faisante d'une situation autrement complexe. Même au xixe siècle,
on rencontre, dans le corpus des mathématiques chinoises, des
secteurs originaux qui ne doivent certainement pas grand-chose
aux sciences de l'Europe. Pour illustrer notre propos, on peut
citer, notamment, l'œuvre mathématique de Li Shanlan. Certains
résultats contenus dans cette œuvre ont en effet, au xxe siècle,
retenu l'attention de mathématiciens professionnels, non pas pour
leur aspect historique, mais au contraire, à cause de leur intérêt
mathématique intrinsèque.
II. — Le cas de li shanlan
En 1867, Li Shanlan, qui est surtout connu en tant que traduc
teur d'ouvrages scientifiques d'origine européenne (7), faisait
paraître à Nankin la collection de ses propres œuvres mathémat
iques, en treize volumes, intitulée Zeguxi zhai suanxue [Les
mathématiques du studio Zeguxi] (8). Dans cette collection, il traitait
à la fois de sujets mathématiques inspirés par la tradition occi
dentale (logarithmes, sections coniques, séries infinies, etc.) et par
la tradition chinoise (algèbre médiévale de « l'unité primordiale
(•) Cf. J.-C. Martzlofl, op. cit., p. 23 sq.
(7) Li Shanlan a traduit, notamment : Les Elements of Analytical Geometry and
of the Differential Calculus d'E. Loomis (New York : Harper & Brothers. 1" éd., 1851 ;
cet ouvrage a connu par la suite plus d'une vingtaine de rééditions) ; les Elements of
Algebra d'A. de Morgan (Londres : J. Taylor, 1835) ; la partie non encore traduite en
chinois à son époque des Eléments ďEuclide (livres 7 et suivante).
(8) L'expression Zeguxi [prendre les Anciens pour modèles] est extraite du cha
pitre 1 du Liji [le rituel]. Cf. S. Couvreur, Mémoires sur les bienséances et le