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• Langue: English

Extrait

UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE
AIX{MARSEILLE II
Faculte des Sciences de Luminy
ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE E.D. 184
THESE
presentee pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universite de la Mediterranee
Specialite : Mathematiques
par
Alexey ZYKIN
sous la direction de
Michael A. TSFASMAN
et
Serge VLADUT
Titre :
PROPRIETES ASYMPTOTIQUES DES CORPS GLOBAUX
soutenue publiquement le 4 juin 2009
Rapporteurs :
M. Marc HINDRY Professeur, Universite Paris Diderot
M. Rene SCHOOF Professeur, Universit a di Roma Tor Vergata
JURY
M. Michel BALAZARD Charge de Recherches CNRS, I.M.L. Examinateur
M. Marc HINDRY Professeur, Universite Paris Diderot Rapporteur
M. Gilles LACHAUD Directeur de Recherches CNRS, I.M.L.
M. Emmanuel ROYER Professeur, Universite Blaise Pascal Examinateur
M. Michael TSFASMAN Directeur de Recherches CNRS, Poncelet Codirecteur
M. Serge VLADUT Professeur, Universite de la Mediterranee DirecteurRemerciements
Je veux commencer mes remerciements par le temoignage de mon in nie gratitude envers
mon directeur de these Michael A. Tsfasman, dont la gentillesse, la sollicitude et les connais-
sances ont ete pour moi d’une valeur inestimable. C’est lui qui m’a fait decouvrir la theorie des
corps globaux et qui m’a o ert la possibilite de venir a Marseille pour mon tres grand plaisir
intellectuel et culturel.
Je tiens egalement a exprimer ma reconnaissance a mon codirecteur de these Serge Vl adut ,
dont l’etendue des connaissances et la disponibilite m’ont permis de mener a bien ce travail.
Je remercie chaleureusement Gilles Lachaud et Christophe Ritzenthaler qui m’ont temoigne
de l’amitie des mes premiers jours a l’IML et gr^ ace a qui je me suis retrouve dans une ambiance
scienti que sans pareil. Collaborer avec eux fut une experience des plus precieuses.
Je tiens a exprimer ma gratitude a Michel Balazard pour ses conseils mathematiques, tou-
jours in niment utiles.
Ma gratitude va egalement a Philippe Lebacque qui a su eveiller en moi la force d’approcher
les questions de theorie analytique des nombres qui m’auraient e raye et repousse auparavant.
Nos conversations furent toujours aussi interessantes qu’animees.
Je remercie egalement le personnel de l’Institut de Mathematiques de Luminy, en particu-
lier Yves Aubry, Stephane Louboutin, Stephane Ballet, Fran cois Rodier, David Kohel, Michel
Laurent, Alain Couvreur, Tammam Alasha, Sa a Haloui, Christophe Arene, Frederic Edoukou,
Stephanie Dib pour nos discussions, mathematiques ou non, qui ont rendu plus agreables les
annees de ma these.
Finalement, il me serait impossible de ne pas remercier Marc Hindry et Rene Schoof d’avoir
accepte la lourde t^ache de rapporteurs et Michel Balazard, Gilles Lachaud, Emmanuel Royer
qui siegeront dans le jury.
34Table des matieres
I Proprietes asymptotiques des fonctions z^eta et L 11
1 Les theoremes de Brauer{Siegel et Tsfasman{Vladut pour les extensions des
corps de nombres presque normaux 13
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Demonstration du theoreme 1.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 D du theoreme 1.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Derivees logarithmiques des fonctions z^eta dans des familles de corps globaux
(avec P. Lebacque) 19
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Demonstration du theoreme 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 D du theoreme 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 La somme sur les premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Les termes archimediens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 La somme sur les zeros : le terme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4 La sur les zeros : le terme d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.5 La somme sur les zeros : la partie di cile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Demonstration du theoreme 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Sur les generalisations du theoreme de Brauer{Siegel 33
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Le cas des corps globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Varietes sur des corps globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Demonstration du theoreme de Brauer{Siegel pour des varietes . . . . . . . . . . 39
4 Sur l’equirepartition de zeros des fonctions L des formes modulaires 43
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Demonstration du theoreme 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Proprietes asymptotiques des fonctions z^eta sur les corps nis 47
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Fonctions z^eta et L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.2 Formules explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Familles de fonctions z^eta et L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3.1 De nitions et proprietes basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Les inegalites fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
55.4.1 L’inegalite fondamentale pour des fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 L’inegalitetale pour des f z^eta . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Les resultats de type Brauer{Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.1 Fonctions z^eta limites et le theoreme de Brauer{Siegel . . . . . . . . . . . 61
5.5.2 Le comportement au point central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 Distribution de zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6.1 Les resultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.7 Questions ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
II Varietes abeliennes de dimension 3 73
6 Jacobiennes parmi les varietes abeliennes de genre 3 : la formule de Klein et
une question de Serre (avec G. Lachaud et C. Ritzenthaler) 75
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.1 Theoreme de Torelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.2 Courbes de genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Formes modulaires de Siegel et de Teichmuller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1 Formes modulaires de Siegel geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.2 Uniformisation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.3 Formes modulaires de Teichmuller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.4 Action d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Formes modulaires et invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.1 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.2 Invariants geometriques pour les courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.3 Formes modulaires comme invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.4 Le cas du genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.1 La formule de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.2 Jacobiennes parmi les varietes abeliennes de genre 3 . . . . . . . . . . . . 88
6.4.3 Au del a du genre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6Introduction
Deux parties principales constituent le sujet de cette these. La premiere partie est consacree
a l’etude des proprietes asymptotiques des fonctions z^eta, des fonctions L, des corps globaux et
des varietes sur ces corps. Le but de la deuxieme partie est l’etude des jacobiennes parmi les
varietes abeliennes de dimension 3: La thematique etant large nous allons donner une description
detaillee du contenu de chaque partie et de chaque chapitre.
Premiere partie.
La theorie asymptotique des corps globaux a ete developpee dans les annees 1990 par M.
Tsfasman et S. Vl adut, d’abord pour les corps de fonctions puis pour les corps de nombres. La
theorie avait pour origine le probleme suivant : etant donne un nombre entier positif g et une
puissance d’un nombre premierq; trouver le nombre maximal de points sur une courbe de genre
g sur le corps ni F : Le probleme s’avere tres di cile et la reponse complete n’est connue queq
pour g = 1 et g = 2: Il y a aussi des resultats partiels pour g = 3; qui sont ob