Concepts et notations de la théorie des ensembles

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Cours - Pierre Lavaurs - DEUG MIAS - Unit´e d’enseignement 11 - Universit´e Lyon I - Ann´ee 2001-2002 1
Chapitre 1 - Concepts et notations de la th´eorie des ensembles
Le cours va commencer de fa¸con bien abstraite, par une ´enum´eration peut-ˆetre un peu indigeste de
non-d´efinitions (il faut bien des mots non d´efinis pour entamer les premi`eres d´efinitions...), de notations, de
d´efinitions. Qu’on se le dise, tout est essentiel pour la suite!
1 - Ensembles
Non-d´efinition 1-1-1: Le mot ensemble ne sera pas d´efini. Intuitivement, un ensemble est un paquet de
choses (qui sont elles-mˆemes des ensembles, mais glissons la` dessus), non rang´ees, sans r´ep´etition possible.
Cette explication intuitive est particuli`erement d´eficiente: la th´eorie des ensembles s’est d´efinitivement
constitu´ee au d´ebut du (XX`eme) si`ecle lorsqu’on a pris conscience que certains paquets ne pouvaient
d´ecemment ˆetre appel´es “ensembles”. Mais il me faut savoir me taire pour pouvoir avancer.
Non-d´efinition 1-1-2: Le verbe appartenir ne sera pas d´efini. Intuitivement, on dit quea appartient `a
un ensemble A lorsqu’il fait partie des choses dont l’ensemble A est un paquet.
D´efinition 1-1-1: Pour tous a et A, on dit que a est´el´ement de A lorsque a appartient `a A.
Notation 1-1-1: On note a∈A pour “a appartient `a A”, et a6∈A pour“a n’appartient pas a` A”.
Non-d´efinition 1-1-3: L’expression est ´egal `a ne sera pas d´efinie. Intuitivement... vous savez bien ce que
¸ca veut dire!
Notation 1-1-2: On note a=b pour “a est ´egal a` b”.
D´efinition 1-1-2: On dit que deux objetsa etb sont distincts ou diff´erents lorsqu’ils ne sont pas ´egaux.
Notation 1-1-3: On note a=b pour “a est distinct de b”.
Non-d´efinition 1-1-4:L’ensemble videneserapasd´efini.Intuitivement,c’estunensemblequin’aaucun
2´el´ement, par exemple l’ensemble des solutions r´eelles de l’´equation x =−1.
Notation 1-1-4:∅ d´esigne l’ensemble vide.
Au-del`a de ces non-d´efinitions, j’utiliserai un certain nombre de propri´et´es intuitives de ces diverses
notions sans me risquer a` les ´enoncer. Par exemple si je sais que trois r´eelsx,y etz v´erifientx=y ety =z,
j’en d´eduirai que x=z sans m’expliquer davantage. Et d’autres manipulations, parfois un peu plus subtiles
mais qui ne devraient pas poser de probl`eme.
Notation 1-1-5: Pour un certain nombre d’objetsa ,a ,...,a , on notera{a ,a ,...,a } l’ensemble dont1 2 n 1 2 n
les ´el´ements sont exactement a ,a ,...,a .1 2 n
C¸a a l’air simple, mais il y a d´ej`a des pi`eges possibles parmi ces notions non d´efinies, il faut donc se
concentrer un peu.
Question: les notations{1,3} et{3,1} d´esignent-elles le mˆeme ensemble d’entiers? R´eponse: oui, bien
sur,ˆ le premier ensemble poss`ede 1 et 3 pour ´el´ements, le second poss`ede 3 et 1. L’intuition qu’on peut avoir
du mot “et” nous fait affirmer comme ´evident que ce sont les mˆemes.
Question : la notation {2,2,2} est-elle licite, et si oui que d´esigne-t-elle exactement? R´eponse: ben,
oui,onnevoitpascequil’interdirait;c’estl’ensembledontles´el´ementssont2,2et2.Vucequ’oncomprend
du mot “et” c’est une fa¸con compliqu´ee de parler de l’ensemble{2}, ensemble a` un seul ´el´ement: l’entier 2.
La remarque paraˆıt stupide, mais il arrive effectivement qu’on note des ensembles de cette fa¸con ap-
paremment tordue: par exemple, l’´enonc´e suivant est vrai:
2Pour tous r´eels a (non nul), b et c tels que b −4ac ≥ 0, l’ensemble des solutions r´eelles de l’´equation
(d’inconnue x):
2ax +bx+c=0
est l’ensemble: √ √
2 2−b+ b −4ac −b− b −4ac
{ , }.
2a 2a
2Or lorsqu’on ´ecrit une v´erit´e si notoire, dans le cas particulier ou` b −4ac=0 on a r´ep´et´e deux fois le mˆeme
´el´ement!
Question : Combien d’´el´ements poss`ede l’ensemble {{{3,6}}}? R´eponse: un seul bien suˆr! C’est par
d´efinition l’ensemble poss´edant l’unique ´el´ement{{3,6}}.
Concepts et notations de la th´eorie des ensembles2
Question : Les notations∅,{∅},{{∅}} d´esignent-elles le mˆeme ensemble? R´eponse: non, certainement
pas! Le premier de ces trois ensembles —l’ensemble vide— n’a aucun ´el´ement, le second et le troisi`eme en
ontunseuletsontdoncdistinctsdel’ensemblevide.Ilssontaussidistinctsl’undel’autre,parcequel’unique
´el´ement de{∅} est vide, alors que l’unique ´el´ement de{{∅}} ne l’est pas.
Reprenons le cours de nos notations.
Notation 1-1-6: On note{x | p(x)} l’ensemble form´e des ensembles x qui v´erifient la propri´et´e p(x).
2Par exemple, {x | x ∈ R et ax +bx+c = 0} est l’ensemble des solutions r´eelles d’une ´equation du
second degr´e.
Notation 1-1-7: Pour un ensemble A, on note{x∈A | p(x)} l’ensemble{x | x∈A et p(x)}.
2Par exemple, on notera plutˆot{x∈R | ax +bx+c=0}ble de l’exemple pr´ec´edent.
D´efinition 1-1-3: On dit qu’un ensembleA est inclus dans un ensembleB (ou queA est une partie de
B,ou que B contient A) lorsque la propri´et´e suivante est r´ealis´ee: pour tout x, si x appartient a` A, alors
x appartient `aB. (Pour le redire en termes moins formalistes: lorsque tous les ´el´ements deA sont ´el´ements
de B).
Notation 1-1-8: On note A⊂B pour “A est inclus dans B”.
Remarques: il est facile de se convaincre que pour tout ensemble A, l’inclusion A⊂A est vraie; il peut
paraˆıtre un peu plus bizarre que l’inclusion∅⊂A le soit aussi, mais c’est bien vrai.
Notation 1-1-9: On note parfois A(B pour “A est inclus dans B, mais distinct de B”.
D´efinition1-1-4:Onappelle r´eunion dedeuxensemblesAetB l’ensembledes´el´ementsquiappartiennent
a` A ou appartiennent a` B.
Notation 1-1-10: On note A∪B cette r´eunion.
D´efinition 1-1-5 : On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble des ´el´ements qui
appartiennent a` A et appartiennent a` B.
Notation 1-1-11: On note A∩B cette intersection.
D´efinition 1-1-6: On appelle diff´erence de deux ensemblesA etB l’ensemble des ´el´ements deA qui ne
sont pas ´el´ements de B.
Notation 1-1-12: On note A\B cette diff´erence.
D´efinition 1-1-7: Quand B est inclus dans A, la diff´erence A\B est appel´ee le compl´ementaire de B
dans A.
Notation1-1-13:Lecompl´ementaireestnot´eavecunsymbolequejenesaispasobtenirdemontraitement
de textes.
Je n’´enum`ererai pas ici les multiples relations tr`es simples a` v´erifier entre r´eunions, intersections, etc...
(un exemple: pour tous ensembles A, B et C, (A∪B)∪C =A∪(B∪C)).
2 - Ensemble des parties d’un ensemble
Sicettenotionadroitalafaveurd’unnum´erodesectionparticulier—alorsqu’elleserangeparfaitement
dans la suite de la litanie qui pr´ec`ede— c’est parce que je sais qu’elle est moins bien maˆıtris´ee et qu’il s’agit
simplement d’attirer votre attention sur la n´ecessit´e de la connaˆıtre, et, id´ealement, de la comprendre.
D´efinition 1-2-8: On appelle ensemble des parties d’un ensemble A l’ensemble dont les ´el´ements sont
les parties de A.
Notation 1-2-14: L’ensemble des parties de A est not´eP(A).
Exemple: Pour a et b deux objets, l’ensemble des parties de{a,b} est{∅,{a},{b},{a,b}}. Il poss`ede donc
`“`a premi`ere vue” quatre ´el´ements. A seconde vue, il en poss`ede quatre si a et b sont distincts, et deux si a
et b sont ´egaux.
En d´etraquant subitement l’ordre logique du cours, et en faisant intervenir des entiers avant d’en avoir
parl´e, illustrons la notion d’“ensemble des parties” en comptant ses ´el´ements; plusieurs preuves en sont
possibles, j’ai choisi d’´ecrire la preuve par r´ecurrence, peu palpitante, parce qu’elle donne l’occasion d’´ecrire
m´ethodiquement une preuve justement sans surprise.
Proposition1-2-1:PourtoutensemblefiniA,sind´esignelenombred’´el´ementsdeA,lenombred’´el´ements
ndeP(A) est 2 .
D´emonstration: On va proc´eder a` une d´emonstration par r´ecurrence sur l’entier n.
• Cas particulier ou` n vaut 0.Cours - Pierre Lavaurs - DEUG MIAS - Unit´e d’enseignement 11 - Universit´e Lyon I - Ann´ee 2001-2002 3
0Dans ce cas, l’ensemble A est vide. Son ensemble des parties est alors {∅}, qui poss`ede bien 1 = 2
´el´ement.
• Soit n un entier fix´e (n≥ 0). Supposons la proposition vraie pour tous les ensembles a` n ´el´ements et
prouvons la pour un ensemble A fix´e poss´edant n+1 ´el´ements.
Puisque n+1 vaut au moins 1, A n’est pas vide. Soit a un ´el´ement de A. Notons B l’ensemble A\{a}
(en clair, l’ensemble form´e des autres ´el´ements de A). Ainsi B est un ensemble qui poss`ede n ´el´ements.
LespartiesdeAsesubdivisentendeuxcat´egories:cellesdontaestun´el´ement,etlesautres.Commenc¸ons
npar examiner les autres, pour nous apercevoir que ce sont exactement les parties de B. Il y en a donc 2 ,
par application de l’hypoth`ese de r´ecurrence.
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