Conjecture-Page Cours

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Extrait

Vous avez dit conjecture? 1
VOUS AVEZ DIT CONJECTURE ?
nombres impairs sont également TABLEAU II
par: André Ross
décomposables en une somme d’une n Somme
Professeur de mathématiques
4 puissance de deux et d’un nombre pre- 29 2 + 13
Cégep de Lévis-Lauzon 3 31 2 + 23mier. C’est assez exaltant! En se ba-
4 33 2 + 17sant sur des calculs de cette nature, le
5 Cet article vise à illustrer ce qu’est une conjecture et le 35 2 + 3
mathématicien français A. de Polignac
5 37 2 + 5rôle qu’elle joue dans la construction des connaissances.
a fait une généralisation par induction 5 39 2 + 7Les conjectures présentées ici portent sur les nombres.
pour énoncer la conjecture suivante 2 41 2 + 37
L’observation de résultats d’opérations sur des nombres
5 sur les nombres impairs. 43 2 + 11
va nous permettre de déceler des comportements régu- 5 45 2 + 13
liers. En généralisant ces comportements à l’ensemble des 4 47 2 + 31Tout nombre impairsupérieur ou égal
5 nombres, nous allons formuler des conjectures décrivant 49 2 + 17à 3 est la somme d’une puissance de
cette régularité et l’étendant à l’ensemble des nombres. 2 et d’un nombre premier.
Nous allons ensuite tester la conjecture en vérifiant d’autres
cas particuliers que ceux à partir desquels la conjecture a Une conjecture est l’énoncé d’une propriété qui semble
été énoncée. Cette vérification ne constituera pas une plausible, compte tenu des observations effectuées. Cet
énoncé de Polignac semble tout à fait plausible, comptepreuve même si chaque cas pour lequel la conjecture est
vraie rendra celle-ci plus plausible ou plus crédible. La tenu des observations réalisées. Cependant, énoncer une
dernière étape de la démarche sera la recherche d’une conjecture ne signifie pas que l’on a découvert une vérité.
preuve. Nous tenterons alors de démontrer la validité des La conjecture peut être vraie, mais elle peut aussi être
conjectures énoncées. fausse, comment savoir ? Un sceptique peut toujours nous
dire « vous n’avez pas essayé tous les cas! Il existe peut-
OBSERVATION, INDUCTION ET CONJECTURE être un nombre impair qui n’est pas décomposable de
cette façon. Qui peut savoir ? »En s’amusant à exprimer les nombres
TABLEAU I
entiers par des sommes de nombres en-
n Somme
On peut être tenté, pour répondre aux critiques, de fairetiers, on peut obtenir, entre autres, les 132 + 1
un plus grand nombre de vérifications.expressions du tableau I ci-contre. 152 + 3 TABLEAU III
Par exemple, on peut faire les décom-
172 + 5 n Somme
En observant ces expressions, on cons- positions du tableau III. On constate 5 2 51 2 + 1992 + 5
tate que chacun des entiers impairs de 3 que certains nombres impairs peuvent 3 3 51 2 + 4311 2 + 3
à 27 peut s’exprimer comme la somme s’exprimer de deux façons comme 4 53 2 + 373 13 2 + 5
d’une puissance de deux et d’un nombre somme d’une puissance de deux et 3 3 55 2 + 4715 2 + 7
premier. C’est une constatation intéres- d’un nombre premier, c’est le cas du 4 57 2 + 412 17 2 +13
sante qui soulève la question suivante : nombre 51. Mais que peut-on dire de 4 4 59 2 + 4319 2 + 3
plus sur la validité de la conjecture 5 4 61 2 + 2921 2 + 5
Est-ce que tous les nombres impairs après avoir fait ces vérifications ? Plus 5 63 2 + 314 23 2 + 7
supérieurs ou égaux à 3 sont le nombre de cas vérifiant la conjec- 2 3 65 2 + 6125 2 + 17
décomposables en somme d’une puis- ture est grand, plus on est porté à con- 6 67 2 + 34 27 2 + 11
sance de deux et d’un nombre premier ? sidérer que la propriété est plausible 6 69 2 + 5
mais l’accumulation des cas particu- 6 71 2 + 7
Poursuivons nos investigations, en tentant d’exprimer les
liers vérifiant l’énoncé ne constituent 5 73 2 + 41
nombres impairs de 29 à 49 comme somme d’une puis-
pas une démonstration. Lors de la pré-
sance de deux et d’un nombre premier. On obtient alors
sentation de sa conjecture, Polignac
les décompositions du tableau II et on constate que ces
déclara avoir fait la vérification pour2 Vous avez dit conjecture?
tous les nombres impairs inférieurs à 3 millions. Il s’est
Il est important de remarquer que même si Polignac avaitdonc donné la peine de faire un grand nombre de vérifica-
eu raison pour les nombres impairs plus petits que troistions et tenait la conjecture pour très plausible. Il aurait
millions, l’accumulation des cas particuliers n’aurait passouhaité que sa conjecture puisse être acceptée comme
démontré la validité de sa conjecture. Rien ne permet depropriété générale des nombres impairs, mais toutes ces
conclure qu’il n’y a pas de contre-exemple si on n’a pasvérifications ne démontrent pas que la propriété énoncée
essayé tous les cas. C’est la faiblesse d’une propositiondans la conjecture est vraie. En mathématiques, le nombre
obtenue par induction.de vérifications effectuées ne constitue pas une preuve. Et
si Polignac s’était trompé ?
Définition
ConjectureDans ses calculs, Polignac avait certainement oublié le
nombre 127 dont les décompositions comme somme de Une conjecture est une proposition dont la valeur de
vérité n’est pas connue.nombres comportant une puissance de 2 sont les suivan-
tes :
0127 = 1 + 126 = 2 + (2 ¥ 63) Pour déterminer la valeur de vérité d’une conjecture il
faut :127 = 2 + 125 = 2 + (5 ¥ 25)
2127 = 4 + 123 = 2 + (3 ¥ 41) • construire un contre-exemple, auquel cas on peut con-
3 clure que la conjecture est fausse;127 = 8 + 119 = 2 + (7 ¥ 17)
4127 = 16 + 111 = 2 + (3 ¥ 37) • construire une preuve, auquel cas on peut conclure que la
5127 = 32 + 95 = 2 + (5 ¥ 19) conjecture est vraie.
6127 = 64 + 63 = 2 + (3 ¥ 21)
Ce sont les seules décompositions du nombre 127 com- Définition
portant une puissance de deux. Ce nombre, quoiqu’im- Généralisation par induction
pair, ne peut donc s’exprimer comme somme d’une Une généralisation par induction est la démarche qui
puissance de deux et d’un nombre premier. Il nous faut consiste à énoncer une conjecture à partir de l’obser-
donc conclure que la conjecture de Polignac est fausse, les vation d’un nombre limité de cas particuliers.
nombres impairs ne peuvent pas tous s’exprimer comme
somme d’une puissance de deux et d’un nombre premier.
CARRÉ D’UN NOMBRE
TABLEAU IVL’exemple de l’impossibilité d’exprimer 127 comme Considérons un autre cas en calculant
2somme d’une puissance de deux et d’un nombre premier le carré de nombres entiers. (Tableau 1 = 1
2constitue une démonstration mathématique. C’est ce qu’on IV). En observant les résultats, on re- 3 = 9
2appelle une démonstration par contre-exemple. En effet, marque que, dans les cas considérés, le 5 = 25
2cet exemple démontre que la conjecture de Polignac est carré d’un nombre impair est égale- 7 = 49
Polignac. Le contre-exemple permet donc de porter un ment un nombre impair alors que le
2jugement définitif sur cette conjecture. Le nombre 127 carré d’un nombre pair est également 2 = 4
2 est-il le seul nombre impair ne pouvant pas s’exprimer un nombre pair. Cette constatation ne 4 = 16
2comme somme d’une puissance de deux et d’un nombre vaut cependant que pour les cas consi- 6 = 36
2premier ? Il importe peu de le savoir, car un seul contre- dérés. 8 = 64
exemple est suffisant pour dire que la conjecture est fausse.
Il faut donc conclure que :
Avant d’induire quoi que ce soit, il est pertinent de vérifier
Les nombres impairs ne sont pas tous décomposables d’autres cas, comme les données du tableau V.
en somme d’une puissance de 2 et d’un nombre pre-
mier.Vous avez dit conjecture? 3
Puisqu’un nombre impair est toujours obtenu en addition-Ces nouveaux cas particuliers nous en-
TABLEAU V
nant 1 à un nombre pair, on peut poser la définitioncouragent à procéder à une généralisa- 2 9 = 81
suivante :tion par induction. La généralisation aura 211 = 121
la forme d’une propriété des nombres 213 = 169
Définitionentiers et pourrait s’énoncer :
Nombre impair210 = 100
Le carré d’un nombre entier impair est Un nombre entier n est impair s’il est de la forme212 = 144
un nombre entier impair. n =2 k + 1 où k est un nombre entier.2 = 19614
et :
Le carré d’un nombre entier pair est Avant d’aller plus loin, le lecteur doit s’assurer que cette
un nombre entier pair. définition décrit bien ce qu’est un nombre pair et un
nombre impair. S’il accepte cette définition, si elle distin-
On peut regrouper ces deux énoncés en un seul, ce qui gue bien un nombre pair d’un nombre impair, on peut s’en
donne :
servir dans une démonstration.
Le carré d’un nombre entier a la mêm