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Vous avez dit conjecture? 1VOUS AVEZ DIT CONJECTURE ?nombres impairs sont également TABLEAU IIpar: André Rossdécomposables en une somme d’une n SommeProfesseur de mathématiques4 puissance de deux et d’un nombre pre- 29 2 + 13Cégep de Lévis-Lauzon 3 31 2 + 23mier. C’est assez exaltant! En se ba-4 33 2 + 17sant sur des calculs de cette nature, le5 Cet article vise à illustrer ce qu’est une conjecture et le 35 2 + 3mathématicien français A. de Polignac5 37 2 + 5rôle qu’elle joue dans la construction des connaissances.a fait une généralisation par induction 5 39 2 + 7Les conjectures présentées ici portent sur les nombres.pour énoncer la conjecture suivante 2 41 2 + 37L’observation de résultats d’opérations sur des nombres5 sur les nombres impairs. 43 2 + 11va nous permettre de déceler des comportements régu- 5 45 2 + 13liers. En généralisant ces comportements à l’ensemble des 4 47 2 + 31Tout nombre impairsupérieur ou égal5 nombres, nous allons formuler des conjectures décrivant 49 2 + 17à 3 est la somme d’une puissance decette régularité et l’étendant à l’ensemble des nombres. 2 et d’un nombre premier.Nous allons ensuite tester la conjecture en vérifiant d’autrescas particuliers que ceux à partir desquels la conjecture a Une conjecture est l’énoncé d’une propriété qui sembleété énoncée. Cette vérification ne constituera pas une plausible, compte tenu des observations effectuées. Ceténoncé de Polignac semble tout à fait plausible, comptepreuve même ...

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Vous avez dit conjecture? 1
VOUS AVEZ DIT CONJECTURE ?
nombres impairs sont également TABLEAU II
par: André Ross
décomposables en une somme d’une n Somme
Professeur de mathématiques
4 puissance de deux et d’un nombre pre- 29 2 + 13
Cégep de Lévis-Lauzon 3 31 2 + 23mier. C’est assez exaltant! En se ba-
4 33 2 + 17sant sur des calculs de cette nature, le
5 Cet article vise à illustrer ce qu’est une conjecture et le 35 2 + 3
mathématicien français A. de Polignac
5 37 2 + 5rôle qu’elle joue dans la construction des connaissances.
a fait une généralisation par induction 5 39 2 + 7Les conjectures présentées ici portent sur les nombres.
pour énoncer la conjecture suivante 2 41 2 + 37
L’observation de résultats d’opérations sur des nombres
5 sur les nombres impairs. 43 2 + 11
va nous permettre de déceler des comportements régu- 5 45 2 + 13
liers. En généralisant ces comportements à l’ensemble des 4 47 2 + 31Tout nombre impairsupérieur ou égal
5 nombres, nous allons formuler des conjectures décrivant 49 2 + 17à 3 est la somme d’une puissance de
cette régularité et l’étendant à l’ensemble des nombres. 2 et d’un nombre premier.
Nous allons ensuite tester la conjecture en vérifiant d’autres
cas particuliers que ceux à partir desquels la conjecture a Une conjecture est l’énoncé d’une propriété qui semble
été énoncée. Cette vérification ne constituera pas une plausible, compte tenu des observations effectuées. Cet
énoncé de Polignac semble tout à fait plausible, comptepreuve même si chaque cas pour lequel la conjecture est
vraie rendra celle-ci plus plausible ou plus crédible. La tenu des observations réalisées. Cependant, énoncer une
dernière étape de la démarche sera la recherche d’une conjecture ne signifie pas que l’on a découvert une vérité.
preuve. Nous tenterons alors de démontrer la validité des La conjecture peut être vraie, mais elle peut aussi être
conjectures énoncées. fausse, comment savoir ? Un sceptique peut toujours nous
dire « vous n’avez pas essayé tous les cas! Il existe peut-
OBSERVATION, INDUCTION ET CONJECTURE être un nombre impair qui n’est pas décomposable de
cette façon. Qui peut savoir ? »En s’amusant à exprimer les nombres
TABLEAU I
entiers par des sommes de nombres en-
n Somme
On peut être tenté, pour répondre aux critiques, de fairetiers, on peut obtenir, entre autres, les 132 + 1
un plus grand nombre de vérifications.expressions du tableau I ci-contre. 152 + 3 TABLEAU III
Par exemple, on peut faire les décom-
172 + 5 n Somme
En observant ces expressions, on cons- positions du tableau III. On constate 5 2 51 2 + 1992 + 5
tate que chacun des entiers impairs de 3 que certains nombres impairs peuvent 3 3 51 2 + 4311 2 + 3
à 27 peut s’exprimer comme la somme s’exprimer de deux façons comme 4 53 2 + 373 13 2 + 5
d’une puissance de deux et d’un nombre somme d’une puissance de deux et 3 3 55 2 + 4715 2 + 7
premier. C’est une constatation intéres- d’un nombre premier, c’est le cas du 4 57 2 + 412 17 2 +13
sante qui soulève la question suivante : nombre 51. Mais que peut-on dire de 4 4 59 2 + 4319 2 + 3
plus sur la validité de la conjecture 5 4 61 2 + 2921 2 + 5
Est-ce que tous les nombres impairs après avoir fait ces vérifications ? Plus 5 63 2 + 314 23 2 + 7
supérieurs ou égaux à 3 sont le nombre de cas vérifiant la conjec- 2 3 65 2 + 6125 2 + 17
décomposables en somme d’une puis- ture est grand, plus on est porté à con- 6 67 2 + 34 27 2 + 11
sance de deux et d’un nombre premier ? sidérer que la propriété est plausible 6 69 2 + 5
mais l’accumulation des cas particu- 6 71 2 + 7
Poursuivons nos investigations, en tentant d’exprimer les
liers vérifiant l’énoncé ne constituent 5 73 2 + 41
nombres impairs de 29 à 49 comme somme d’une puis-
pas une démonstration. Lors de la pré-
sance de deux et d’un nombre premier. On obtient alors
sentation de sa conjecture, Polignac
les décompositions du tableau II et on constate que ces
déclara avoir fait la vérification pour2 Vous avez dit conjecture?
tous les nombres impairs inférieurs à 3 millions. Il s’est
Il est important de remarquer que même si Polignac avaitdonc donné la peine de faire un grand nombre de vérifica-
eu raison pour les nombres impairs plus petits que troistions et tenait la conjecture pour très plausible. Il aurait
millions, l’accumulation des cas particuliers n’aurait passouhaité que sa conjecture puisse être acceptée comme
démontré la validité de sa conjecture. Rien ne permet depropriété générale des nombres impairs, mais toutes ces
conclure qu’il n’y a pas de contre-exemple si on n’a pasvérifications ne démontrent pas que la propriété énoncée
essayé tous les cas. C’est la faiblesse d’une propositiondans la conjecture est vraie. En mathématiques, le nombre
obtenue par induction.de vérifications effectuées ne constitue pas une preuve. Et
si Polignac s’était trompé ?
Définition
ConjectureDans ses calculs, Polignac avait certainement oublié le
nombre 127 dont les décompositions comme somme de Une conjecture est une proposition dont la valeur de
vérité n’est pas connue.nombres comportant une puissance de 2 sont les suivan-
tes :
0127 = 1 + 126 = 2 + (2 ¥ 63) Pour déterminer la valeur de vérité d’une conjecture il
faut :127 = 2 + 125 = 2 + (5 ¥ 25)
2127 = 4 + 123 = 2 + (3 ¥ 41) • construire un contre-exemple, auquel cas on peut con-
3 clure que la conjecture est fausse;127 = 8 + 119 = 2 + (7 ¥ 17)
4127 = 16 + 111 = 2 + (3 ¥ 37) • construire une preuve, auquel cas on peut conclure que la
5127 = 32 + 95 = 2 + (5 ¥ 19) conjecture est vraie.
6127 = 64 + 63 = 2 + (3 ¥ 21)
Ce sont les seules décompositions du nombre 127 com- Définition
portant une puissance de deux. Ce nombre, quoiqu’im- Généralisation par induction
pair, ne peut donc s’exprimer comme somme d’une Une généralisation par induction est la démarche qui
puissance de deux et d’un nombre premier. Il nous faut consiste à énoncer une conjecture à partir de l’obser-
donc conclure que la conjecture de Polignac est fausse, les vation d’un nombre limité de cas particuliers.
nombres impairs ne peuvent pas tous s’exprimer comme
somme d’une puissance de deux et d’un nombre premier.
CARRÉ D’UN NOMBRE
TABLEAU IVL’exemple de l’impossibilité d’exprimer 127 comme Considérons un autre cas en calculant
2somme d’une puissance de deux et d’un nombre premier le carré de nombres entiers. (Tableau 1 = 1
2constitue une démonstration mathématique. C’est ce qu’on IV). En observant les résultats, on re- 3 = 9
2appelle une démonstration par contre-exemple. En effet, marque que, dans les cas considérés, le 5 = 25
2cet exemple démontre que la conjecture de Polignac est carré d’un nombre impair est égale- 7 = 49
Polignac. Le contre-exemple permet donc de porter un ment un nombre impair alors que le
2jugement définitif sur cette conjecture. Le nombre 127 carré d’un nombre pair est également 2 = 4
2 est-il le seul nombre impair ne pouvant pas s’exprimer un nombre pair. Cette constatation ne 4 = 16
2comme somme d’une puissance de deux et d’un nombre vaut cependant que pour les cas consi- 6 = 36
2premier ? Il importe peu de le savoir, car un seul contre- dérés. 8 = 64
exemple est suffisant pour dire que la conjecture est fausse.
Il faut donc conclure que :
Avant d’induire quoi que ce soit, il est pertinent de vérifier
Les nombres impairs ne sont pas tous décomposables d’autres cas, comme les données du tableau V.
en somme d’une puissance de 2 et d’un nombre pre-
mier.Vous avez dit conjecture? 3
Puisqu’un nombre impair est toujours obtenu en addition-Ces nouveaux cas particuliers nous en-
TABLEAU V
nant 1 à un nombre pair, on peut poser la définitioncouragent à procéder à une généralisa- 2 9 = 81
suivante :tion par induction. La généralisation aura 211 = 121
la forme d’une propriété des nombres 213 = 169
Définitionentiers et pourrait s’énoncer :
Nombre impair210 = 100
Le carré d’un nombre entier impair est Un nombre entier n est impair s’il est de la forme212 = 144
un nombre entier impair. n =2 k + 1 où k est un nombre entier.2 = 19614
et :
Le carré d’un nombre entier pair est Avant d’aller plus loin, le lecteur doit s’assurer que cette
un nombre entier pair. définition décrit bien ce qu’est un nombre pair et un
nombre impair. S’il accepte cette définition, si elle distin-
On peut regrouper ces deux énoncés en un seul, ce qui gue bien un nombre pair d’un nombre impair, on peut s’en
donne :
servir dans une démonstration.
Le carré d’un nombre entier a la même parité que le
nombre.
Pour démontrer que le carré d’un nombre impair est éga-
lement un nombre impair, il faut donc montrer qu’en
On sait maintenant que l’accumulation des cas vérifiant
élevant au carré un nombre de la forme n = 2k + 1, on
l’énoncé ne constitue pas une preuve, on ne s’entêtera
obtient un nombre de la même forme, c’est-à-dire un
donc pas à faire d’autres vérifications. On peut chercher
nombre qui peut être obtenu en multipliant un entier par 2
un contre-exemple et ne pas en trouver. Cela ne signifie
et en additionnant 1 au résultat du produit.
pas qu’il n’en existe pas.
Essayons plutôt de démontrer la conjecture. Que signifie
Théorème
démontrer ? Démontrer signifie construire une argumen-
2Si n est un entier impair alors n est un entier impair.tation en utilisant des termes clairement définis et des
propriétés acceptées avec ou sans démonstration mais
Démonstration
reconnues comme évidentes.
Soit n un entier impair quelconque. Par la définition de
nombre impair, il existe alors un entier k tel que n =2 k+1.
Cette conjecture porte sur les nombres pairs et les nom-
En élevant au carré, on a :bres impairs, mais qu’est-ce qu’un nombre pair ? Qu’est-
2 2 2n = (2k + 1) = 4k +4k + 1
ce qu’un nombre impair ? Il faut clarifier ces termes pour
Il faut montrer que le nombre obtenu est impair. Or,
en avoir une compréhension acceptée par tous. Ce préala-
24k +4 k est un nombre pair puisque :ble est indispensable pour que les raisonnements et les
2 24k +4k = 2(2k +2 k )
conclusions de l’argumentation soient également acceptés
de tous. Puisqu’un nombre pair est toujours le double d’un
2 2Par conséquent 4k +4k + 1 = 2(2k +2k ) + 1 est un
autre nombre, on peut poser la définition suivante :
nombre impair. Le carré d’un nombre impair quelconque
est donc un nombre impair. Puisque n est un nombre
Définition
impair quelconque, le résultat est valide pour tous les
Nombre pair
nombres impairs, c’est-à-dire que le carré de tout nombre
Un nombre entier n est pair s’il est de la forme n = 2k impair est un nombre impair.
○○○○○○
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où k est un nombre entier.4 Vous avez dit conjecture?
2n – n = n(n – 1) = 2r(n –1)Une étape de la démonstration mérite qu’on s’y arrête.
et puisque r(n – 1) est un nombre entier, notons-le k, ilNous avons fait appel à une propriété des nombres entiers.
existe donc un entier k tel que :C’est le fait que la somme de deux nombres entiers est un
2n – n = 2knombre entier et le produit de deux nombres entiers est un
2et n – n est pair lorsque n est pair.nombre entier. On y a fait allusion de la façon suivante :
2 Si n est impair, alors n – 1 est pair et il existe un entier s« Le nombre 2k + 2k est un nombre entier car le résultat
tel que n – 1 = 2s, on a donc:de produits et de sommes de nombres entiers est un
2n – n = n(n – 1) = 2nsnombre entier. »
et puisque ns est un nombre entier, notons-le k, il existe
donc un entier k tel que :Il faut également que les propriétés utilisées dans la dé-
2n – n = 2kmonstration soient acceptées de tous. Sinon, la preuve
2et n – n est pair lorsque n est impair.sera rejetée et la conjecture ne sera pas admise comme
théorème. Nous croyons que le lecteur n’aura aucune
Puisque n est un entier quelconque, cette propriété estdifficulté à démontrer l’autre partie de la conjecture.
vraie pour tout nombre entier et on peut conclure que : si
2n est un nombre entier, alors n – n est divisible par 2.
○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○
PRODUIT DE NOMBRES CONSÉCUTIFS
Considérons maintenant un autre exem- TABLEAU VI
CONJECTURE DE GOLDBACHple en théorie des nombres. En effec-
1 ¥ 2 = 2 TABLEAU VIIExaminons une autre conjecture. En
tuant le produit de nombres consécutifs
2 + 2 = 4effectuant la somme de paires de nom-2 ¥ 3 = 6comme au tableau VI, on observe que
bres premiers, on a les données du ta-
le résultat est toujours un nombre pair. 3 ¥ 4 = 12
3 + 3 = 6bleau VII. On constate que les nombres
On peut échafauder une conjecture en
4 ¥ 5 = 20 pairs de 4 à 14 peuvent être exprimés
généralisant cette constatation par in- 3 + 5 = 85 ¥ 6 = 30 comme somme de deux nombres pre-
duction. En représentant les nombres
miers. De plus, pour n > 4, ces deux6 ¥ 7 = 42
consécutifs par n –1 et n, le produit 3 + 7 = 10nombres premiers sont impairs. En gé-
2 7 ¥ 8 = 56s’écrit n – n. néralisant cette observation, Christian
5 + 7 = 128 ¥ 9 = 72 Goldbach (1690-1764) a formulé la
La conjecture peut alors s’écrire : conjecture suivante :9 ¥ 10 = 90
3 + 11 = 14Si n est un nombre entier, alors
10 ¥ 11 = 1102n – n est un nombre pair.
Conjecture
de GoldbachThéorème
2 Si n est un nombre pair plus grand que 4 alors n est laSi n est un nombre entier, alors n – n est divisible
somme de deux nombres premiers impairs.par 2.
Démonstration
Accordons-nous un moment de réflexion pour bien com-Soit n un nombre entier alors par factorisation, on a :
2 prendre le sens de cette conjecture. Il est toujours possiblen – n = n(n –1)
d’exprimer un nombre pair comme somme de deux nom-
On a alors deux possibilités, n est pair ou impair.
bres impairs et ce, de plusieurs manières. La conjecture
Si n est pair, alors il existe un entier r tel que n = 2r, on a
est à l’effet que parmi toutes ces sommes possibles, il en
donc :Vous avez dit conjecture? 5
est au moins une impliquant deux nombres impairs pre- pour lequel la conjecture n’est pas vérifiée. Tant que la
miers. Ainsi le nombre 16 peut s’exprimer de différentes conjecture n’aura pas été démontrée par un argument
façons comme somme de nombres impairs, en effet : déductif, elle ne sera pas admise par les mathématiciens
16 = 1 + 15 = 3 + 13 = 5 + 11 = 7 + 9 dans le paradis des théorèmes. Elle risque donc d’errer
Parmi toutes ces sommes, il en est au moins une compor- dans les limbes des conjectures pour l’éternité.
tant deux nombres premiers impairs. En effet,
3 + 13 et 5 + 11 CONJECTURE DE FERMAT
sont des sommes dont les deux termes sont des nombres
Examinons une dernière conjecture qui, à elle seule, cons-
premiers impairs.
titue l’un des problèmes les plus célèbres des mathémati-
ques modernes. Son origine remonte à l’Antiquité et elleOn peut poursuivre la vérification de TABLEAU VIII
vient tout juste d’être démontrée.la conjecture dans d’autres cas particu- 16 = 5 + 11
liers pour lui assurer une plus grande = 3 + 13
crédibilité. On obtient alors les don- Comme vous le savez déjà, dans un triangle rectangle, le
nées du tableau VIII. Ces nouveaux 18 = 5 + 13 carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des
cas particuliers augmentent la plausi- = 7 + 11 deux autres côtés: c’est un des résultats dont la démons-
bilité de la conjecture mais ne consti- tration est attribuée à Pythagore (vers 550 av. J.-C.). Mais
20 = 7 + 13tuent pas une démonstration. Pythagore n’était certes pas le premier à réfléchir là-
= 3 + 17Poursuivons nos investigations sans dessus. Des tablettes babyloniennes datant de 1 000 ans
faire une liste exhaustive. Essayons, avant la naissance de ce célèbre Grec montrent plusieurs
22 = 3 + 19
par exemple, d’exprimer le nombre 80 triplets pythagoriciens c’est-à-dire des nombres entiers
= 5 + 17
2 2 2comme somme de nombres premiers distincts respectant l’équation x + y = z .= 11 + 11
impairs. On trouve alors :
Après Pythagore, plusieurs mathématiciens se sont inté-
80 = 3 + 77 mais 77 n’est pas premier ressés aux solutions entières de ce genre d’équations. Le
80 = 5 + 75 mais 75 n’est pas premier Grec Diophante d’Alexandrie (200-284) en parle dans
80 = 7 + 73 , 7 et 73 sont premiers
son volume intitulé L’Arithmétique.
On peut donc exprimer 80 comme somme de deux nom-
À la Renaissance, les travaux de plusieurs Grecs revivent,
bres premiers impairs et la conjecture est vérifiée dans ce
egrâce à des traductions arabes. C’est ainsi, qu’au XVIIcas également. Ce n’est pas la seule façon d’exprimer 80
siècle, le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-comme somme de deux nombres impairs premiers, on a
1665) prend connaissance des écrits de Diophante. Ceégalement :
80 = 13 + 67 = 19 + 61 = 37 + 43 fondateur de la théorie des nombres prend plaisir à lire
L’Arithmétique de Diophante et à l’annoter. En marge
Est-il possible de trouver un nombre pair pour lequel la d’un problème traitant des triplets pythagoriciens, il écrit :
conjecture ne serait pas vraie? Peut-on, par exemple, «D’autre part, un cube n’est jamais la somme de deux
exprimer 592 comme somme de deux nombres premiers
cubes, une puissance quatrième n’est jamais la somme de
impairs? Par essais et erreurs, on peut trouver :
deux autres puissances quatrièmes et plus généralement,
592 = 113 + 479,
aucune puissance supérieure à 2 n’est la somme de deux
où 113 et 479 sont des nombres premiers
puissances analogues. » Il venait d’énoncer son théorème
: il est impossible de trouver des nombres entiers non nulsLa conjecture de Goldbach a été formulée il y a plus de
x, y, z et n, n étant supérieur à 2, qui vérifient l’équation250 ans mais n’a pu être démontrée jusqu’à maintenant. Il
n’a pas non plus été possible de trouver un nombre pair6 Vous avez dit conjecture?
n n n considéré respectera la régularité remarquée dans les pre-x + y = z . Dans la marge il écrit, en latin, une note qui
mières situations observées. Pour démontrer un résultatpeut être traduite par : « ... j’en ai découvert une démons-
mathématique, il faut construire une argumentation pourtration véritablement merveilleuse que cette marge trop
montrer déductivement que la propriété énoncée dans laétroite ne peut contenir. »
conjecture découle des caractéristiques propres aux objets
sur lesquels porte la conjecture et des propriétés préala-Faute de preuve mathématique, cette proposition demeura
blement démontrées de ces objets. Il y a en mathémati-conjecture durant trois siècles. Il y eut cependant quel-
ques une démarche de validation appelée « inductionques mathématiciens comme les Allemands Euler (1707-
mathématique » ou « démonstration par récurrence » qui1783) et Kummer (1810-1893) qui la prouvèrent pour
est un processus utilisable pour les propriétés impliquantcertains entiers n, mais sans pour autant la prouver pour
les nombres naturels.tous les entiers supérieurs à 2. L’avènement des ordina-
teurs permit de pousser davantage les vérifications pour
des entiers de plus en plus grands, mais la proposition
BIBLIOGRAPHIEn’était pas démontrée pour autant. Ce n’est qu’en juin
Colette, Jean-Paul, Histoire des mathématiques, Montréal, Édi-1993, que le mathématicien britannique Andrew Wiles
tions du Renouveau Pédagogique, 1979, 2 vol.présente une preuve de la conjecture de Fermat devant une
cinquantaine de spécialistes réunis à l’Université de Cam-
Davis, j. Philip, Hersh, Reuben et Marchisotto, Elena Anne, The
bridge.
Mathematical Experience, Boston, Birkhäuser, 1995, 487 p.
CONCLUSION
Devlin, Keith, The Language of Mathematics, making the invi-
La recherche est faite d’essais et d’erreurs et il ne faut pas
sible visible, New York, W.H. Freeman and Company,
craindre de remettre en question nos convictions premiè-
1998, 344 p.
res à la lumière de faits nouveaux. C’est ce que nous avons
fait en rejetant la conjecture de Polignac malgré le grand Dunham, William, The Mathematical Universe, New York,
nombre de cas satisfaisant la conjecture. Il faut se rappeler John Wiley & Sons, 1994, 314 p.
que la généralisation à partir de cas particuliers ne donne
Hilton, Peter, Holton, Derek, Pederson, Jean, Mathematicalpas automatiquement une propriété ou une théorie vraie.
Reflections, In a room with many mirrors, New York,Un grand nombre de vérifications nous permet de dire
Springer-Verlag,1997, 351 p.qu’une conjecture est très plausible mais ne constitue
jamais une démonstration. Il suffit d’un cas pour lequel la
conjecture n’est pas vérifiée, ou d’un contre-exemple,
EXERCICES
pour acquérir la conviction que la conjecture est fausse et
1. Comment peut-on savoir si une conjecture est vraiele fait de ne pas avoir trouvé de contre-exemple ne signifie
ou fausse?
pas qu’un tel contre-exemple n’existe pas.
2. Si on vérifie une conjecture dans un grand nombre dePour qu’une conjecture plausible soit acceptée comme
cas et si on ne peut s’imaginer de cas où elle seraitthéorème, il faut que celle-ci soit démontrée et l’accumu-
fausse, peut-on conclure qu’elle est toujours vraie?lation des observations satisfaisant la conjecture n’est pas
une démonstration car rien ne garantit que le prochain cas
3. Démontrer la conjecture suivante :
2Si n est un entier pair alors n est un entier pair.Vous avez dit conjecture? 7
4. Démontrer la conjecture suivante : 13. Vérifier la conjecture suivante : si n est un nombre
3Si n est un entier pair alors n est un entier pair. 2entier plus grand que 1 alors n est divisible par 5 ou
2 2n – 1 est divisible par 5 ou n + 1 est divisible par 5.
5. Démontrer la conjecture suivante : Démontrer cette conjecture.
3Si n est un entier impair alors n est un entier impair.
514. Montrer que : si n est un nombre entier alors n – n est
6. Démontrer que : divisible par 30.
2Si n est un multiple de 3 alors n es un multiple de 3.
15. Montrer que : si n est de la forme 6k + 5 alors il est de
7. Démontrer que : la forme 3k – 1. Montrer que la réciproque n’est pas
3Si n n es un multiple de 3. vraie.
8. Montrer que le produit de deux nombres entiers con- 16. Montrer que le carré d’un entier est de la forme 3k où
sécutifs est un nombre pair. 3k + 1 mais jamais de la forme 3k + 2.
9. Soit le tableau suivant : 17. Montrer que le carré de tout nombre entier de la
forme 5k +1 est de la même forme.
2 2nn n – 1
399 – 1 = 8 = 1 ¥ 8
18. Montrer que : si p est un nombre premier et que p
5725 – 1 = 24 = 3 ¥ 8
divise le produit de nombres entiers ab alors p divise74949 – 1 = 48 = 6 ¥ 8
98181 – 1 = 80 = 10 ¥ 8 a ou p divise b.
a)Q uelle observation faites-vous à partir de ce ta-
19. Déterminez si les nombres suivants sont des carrés de
bleau? nombres entiers. Justifiez votre réponse.
b) Échafaudez une conjecture généralisant cette ob- a) 3195671765913
servation.
b) 1234567654321
c)D émontrez cette conjecture. c) 2483979248397
8. Montrer que tous les entiers sont de la forme 3k ou de 20. On demande de déterminer les valeurs de chiffres a et
la forme 3k + 1 ou de la forme 3k + 2. b dans le nombre de cinq chiffres a679b , sachant que
ce nombre est divisible par 72.
9. Montrer que le produit de trois nombres entiers con-
sécutifs est divisible par 6.
10. Montrer que : le produit de quatre nombres entiers
consécutifs est divisible par 24.
311. Montrer que : si n est un nombre entier alors n – n est
divisible par 6.
12. Montrer que tous les entiers sont de la forme 5k ou de
la forme 5k + 1 ou de la forme 5k + 2 ou de la forme
5k + 3 ou de la forme 5k + 4.