cours-Chap3-Ordre-Valeur absolue

Olivier

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Seconde Chap C : Ordre – Valeur absolue 1. Comparaison de nombres. 1.1. Critère d'ordre. Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b – a est positive ou nulle. On écrit : a < b équivaut à b – a > 0 1.2. Quelques règles de comparaison. Règle 1 : Pour comparer deux nombres, on peut calculer leur différence : • Si a – b > 0 alors a > b • – b < 0 alors a < b 6 17 Exemple : Sans calculatrice, comparer et . 7 20 Règle 2 : a, b, c désignent des nombres réels positifs a b• et (c > 0) sont rangés dans le même ordre que a et b. c cc c• et (a > 0 et b > 0) sont rangés dans l'ordre contraire de a et b. a b Exemples : Sans calculatrice, comparer les nombres suivants : 5 5• et 1,253 1,25425 23• et 21 218 23• et 7 21 Règle 3 : Comparaison à un nombre intermédiaire a, b, c désignent des nombres réels Si a < b et b < c alors a < c 31 28 30 31 31 29 Exemples : Classer par ordre croissant les nombres suivants : ; ; ; ; ; 30 31 31 28 29 31 Règle 4 : Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. • Si a > b alors a + c > b + c BERTAUD MH – Seconde 5 – 25 ex – page 1 • Si a > b alors a – c > b – c Règle 5 : Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l'ordre. • Si a > b et c > 0 alors ac > bc a b• Si a > b et c ...

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Seconde  ChapC : Ordre – Valeur absolue 1.Comparaison de nombres. 1.1. Critère d'ordre. Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b – a est positive ou nulle. On écrit : ab équivaut à b – a0 < > 1.2. Quelques règles de comparaison. Règle 1: Pourcomparer deux nombres, on peut calculer leur différence : ·> balors a– b > 0Si a ·< balors a– b < 0Si a 6 17 Exemple: Sans calculatrice, compareret . 7 20 Règle 2: a,b, c désignent des nombres réelspositifs a b ·> 0) sont rangés dans le même ordre que a et b.et (c c c c c ·et (a> 0 et b > 0) sont rangés dans l'ordre contraire de a et b. a b Exemples: Sans calculatrice, comparer les nombres suivants : 5 5 ·et 1,253 1,254 25 23 ·et 21 21 8 23 ·et 7 21 Règle 3: Comparaisonà un nombre intermédiaire  a,b, c désignent des nombres réels  Sia < b et b < calors a < c 31 28 30 31 31 29 Exemples; ; ; ; ;: Classer par ordre croissant les nombres suivants : 30 31 31 28 29 31 Règle 4: Ajouter(ou soustraire) un nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre. ·Si ab alorsa + cb + c > > BERTAUD MH – Seconde 5 – 25 ex –page 1

·b alorsSi ac ba –– c > > Règle 5(ou diviser) par un nombre: Multiplierstrictement positifconserve l'ordre. ·b etSi a0c > alors acbc > > a b ·Si ab etc > 0 alors >> c c Règle 6: Multiplier(ou diviser) par un nombrestrictement négatifchangel'ordre. ·b etSi a0c < alors acbc > < a b ·Si ab etc < 0 alors > < c c Exemple 1: Sans calculatrice, comparer les nombres suivants : ·3 –2et 2 –2 2 2 ·et 4 3 5 ·–2pet –p 2 Exemple 2: On donne 3,14 <p< 3,15. Comparer les nombres suivants :p+ 7 ; 10,15 ; 10,14 ; p+ 7,1. 3 1.3. Comparaison dea,a² etalorsque a est positif. Théorème 3 ·Sia> 1 alorsa<a² <a 3 ·Si0 <a< 1 alorsa<a² <a Démonstration : A retenirMultiplier par un nombre entre 0 et 1 diminue: Multiplier par un nombre supérieur à 1 augmente la valeur.la valeur. 4 2 Exemple9 – 3: Comparer5et 9–35; même question pouret 9 3

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2.Intervalles deIR  aet b sont deux nombres réels tels que a < b. ·L'intervalleFERME [a ; b]est l'ensemble des réelsxtel que :a x b < < -¥  ab +¥ ·L'intervalleOUVERT ]a ; b[est l'ensemble des réelsxtel que :a < x < b -¥  ab +¥ ·L'intervalle noté [b ; +¥[ est l'ensemble des réelsxx btels que : > -¥  b +¥ ·L'intervalle noté ]¥; a] est l'ensemble des réelsxtels que :x a < -¥  a +¥ Remarques: –¥("moins l'infini") et +¥("plus l'infini") ne sont pas des nombres; ce sont des symboles.  Ducôté de –¥ou +¥le crochet est toujours ouvert, par convention.  L'ensembledes réelsse note aussi ]–¥; +¥[. Y ExemplesRésoudre l'inéquation 3 :x –25x3. Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de cette + < inéquation etécrire cet ensemble à l'aide d'intervalle.  Mêmequestion pour les inéquations suivantes : 6x+1  2(x–3)–(x+4)>x–6x– 2 < 5  SoitI et J deux intervalles de. Y  L'intersectionde I et de J est l'ensemble des réels appartenant à la fois à I et à J.  Onle note IÇJ (On lit : I inter J).  Laréunionde I et de J est l'ensemble des réels appartenant à l'un ou l'autre des intervalles.  Onle note IÈJ (On lit : I union J). Exemples:Déterminer la réunion ou l'intersection des intervalles suivants. On pourra s'aider d'un graphique.

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[ 2; 3]È]1;5[ = [ 2; 3]Ç]1;5[ = ]- ¥;3]È]0 ;6[ = ]- ¥;3]Ç]0 ;6[ = [ 2; 3]È]3; 7] = [ 2; 3]Ç]3; 7] =

3.Valeur absolue. ¾®  Soitune droite munie d'un repère (O;i ).  Toutréelxest l'abscisse d'un point M de cette droite graduée.  Lavaleur absolue dexest la distance OM. x= OM. ConséquencesLa valeur absolue étant une distance, la valeur absolue de tout nombre :xest positive ou nulle.  Deuxnombres opposés ont la même valeur absolue :–x=x 4. Distance entre deux réels. Soit a et b deux réels. Par définition, la distance entre a et b est la valeur absolue de leur différence :  AB= b– a On a bien–sûr :b – a= a– b . 5 Exemple: Placer sur une droite graduée d'origine 0, les points A, B, C, D et E d'abscisses 2, 1, 5, 3, 2  DéterminerOA, OB, AE, DC, BD Exercice: Trouver tous les nombresxtels quex 4= 3. Même question pourx= 1.+ 2

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