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• Publié par: Vyom
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• Langue: Français

Extrait

Chapitre 6
Fonctions affines.
I Une introduction.
1 Une étude de cas, l’espérance de vie des hommes en France depuis 1994.
On a relevé l’espérance de vie en France pour les hommes entre 1994 et 2009 (une estimation pour 2009).
Source : Institut Nationnal de la Statistique et des Études Économiques ,
http ://www.insee.fr/fr/themes/tableau.asp?reg_id=0&ref_id=NATTEF02221
année 1994 1995 1996 1997 199 1999 2000 2001
espérance de vie 73,6 73,8 74,1 74,5 74,7 74,9 75,2 75,4
année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
espérance de vie 75,7 75,8 76,7 76,7 77,1 77,4 77,6 77,8
Comment connaitre l’espérance de vie pour les hommes en 2020?
Les idées du groupe.







5758 CHAPITRE 6. FONCTIONS AFFINES.
2 L’espérance de vie des femmes en France depuis 1994.
On a relevé l’espérance de vie en France pour les femmes entre 1994 et 2009 (une estimation pour 2009,
source : Institut Nationnal de la Statistique et des Études Économiques).
année 1994 1995 1996 1997 199 1999 2000 2001
espérance de vie 81,8 81,9 82 82,3 82,4 82,5 82,8 82,9
année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
espérance de vie 83 82,9 83,8 83,8 84,2 84,4 84,3 84,5
Déterminer de même l’espérance de vie des femmes en 2020 (à faire sur votre cahier).
3 Peut-on gagner trois mois par an indéfiniment?
Le graphique ci-dessous illustre les changements de rythme mesurés par la pente (en %) des droites d’ajus-
tement. Une pente de 10% signifie que l’espérance de vie augmente d’un dixième d’année chaque année; 20%
un cinquième d’année; 33% un tiers d’année.
(Source : Institut Nationnal des Études Démographiques :
http ://www.ined.fr/fichier/t_publication/1521/publi_pdf1_pes473.pdf)I. UNE INTRODUCTION. 59
Que penser de l’évolution de l’espérance de vie sur une longue durée?
Réponse argumentée.







Résumé de l’article de Jacques Vallin et France Meslé.
Dans un article paru en 2002 dans la revue Science, James Oeppen et James Vaupel, observant que les re-
cords d’espérance de vie avaient progressé linéairement depuis 1841 au rythme constant de 3 mois par an, en
concluaient qu’il y avait toute raison de croire que cela continuerait encore longtemps. Un réexamen critique des
données et une vue plus longue sur le passé indiquent, au contraire, que les rythmes de croissance de l’espérance
de vie ont varié avec le temps, au fur et à mesure que les ressorts essentiels du progrès sanitaire ont eux-mêmes
changé. En particulier, le rythme caractérisant l’étape la plus récente, la révolution cardiovasculaire, a été moins
rapide que celui de la période précédente, celle de la victoire sur les maladies infectieuses. Plus l’espérance de
vie augmente, plus sa progression exige un recul massif de la mortalité à des âges de plus en plus élevés. La
suite dépendra d’innovations à venir dont on ne peut connaître aujourd’hui le rythme d’accomplissement. Une
espérance de vie de 100 ans n’est certainement pas hors de portée mais nul ne peut encore dire à quelle échéance.7
7
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60 CHAPITRE 6. FONCTIONS AFFINES.
II Fonctions affines.
Dans toute la suite de la feuille, a et b sont des nombres réels.
1 Définition et cas particuliers.
Définition 1 Une fonction affine est une fonction f définie surR du type f : x→ ax+b.
Exercice 1. Complétez les phrases suivantes par "est" ou "n’est pas une fonction affine" :
• La fonction f définie surR par f : x→− 3x+5 ....................................................1 1
• La fonction f définie surR par f : x→ x−2 .......................................................2 2
2• La fonction f définie surR par f : x→ x +5 ......................................................3 3 √
• La fonction f définie surR par f : x→− 3x−1 ..................................................4 4
2x+5• La fonction f définie surR par f : x→ .....................................................5 5
3
3• La fonction f définie surR par f : x→ .....................................................6 6
2x+5
Cas particulier.
• La fonction k : x→ 2 est-elle une fonction affine? ....................................................
n que vaut le nombre a? a =
Si oui :
que vaut le nombre b? b =
• La fonction m : x→− 3x est-elle une fonction affine? ................................................
n que vaut le nombre a? a =
Si oui :
que vaut le nombre b? b =
• Les fonctions du type x→ b s’appellent fonctions constantes. C’est un cas particulier de fonction
affine.
Définition 2 • Les fonctions du type x→ ax s’appellent fonctions linéaires. C’est un cas particulier de fonction
affine.
2 Représentation graphique d’une fonction affine.
~ ~Une fonction affine est représentée dans un repère (O,i,j) par une droite (qui n’est pas verticale). On reverra
pourqui dans le prochain chapitre.
Exercice 2. Sur le repère ci-dessous, dessinez les représentations graphiques des fonctions f, g, k et m vues
précédemment après avoir rempli les tableaux de valeurs suivants :
x 0 2 3 x −2 2 3
f (x) f (x)1 2
x −2 2 5 x −2 0 2
k(x) m(x)7
II. FONCTIONS AFFINES. 61
5
4
3
2
1
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
1. Quelle est la particularité de la représentation graphique de la fonction k?
........................................................................................................
2. Quelle est la particularité de la représentation graphique de la fonction m?
........................................................................................................
◦ ◦Exercices sur le livre : faire les exercice n 22 à n 25 page 61.
3 La propriété fondamentale des applications affines.
f(x )−f(x )2 1♠ Propriété 1Soitlafonctionaffinef : x→ ax+b.Quelsquesoientlesnombresréelx etx :1 2 = a
x −x2 1
Preuve: On fait la preuve de cette propriété. La fonction f est définie surR par f(x) = ax+b. On a alors :
On peut énoncer cette propriété en disant que :
l’accroissement f(x )−f(x ) est proportionnel à l’accroissement x −x .2 1 2 17
7
7
7
7
62 CHAPITRE 6. FONCTIONS AFFINES.
Exercice 3. Dans les trois cas suivants, déterminer le nombre a de la fonction affine f : x→ ax+b :
x −1 3 x 0 2 x 1 2
a) b) c)
f(x) 2 −6 f(x) −1 5 f(x) −2 2
a = = a = = a = =
Retour sur l’introduction. À qui correspond ce nombre a pour l’évolution de l’espérance de vie des
hommes, des femmes au cours de la période 1994-2009?


◦ ◦Exercices sur le livre : faire les exercices n 33 à n 37 page 61.
4 Déterminer une fonction affine.
◦ ◦Exercices sur le livre : faire les exercices n 33 à n 37 page 61.
III Sens de variation d’une fonction affine.
1 Observation des variations de quelques fonctions affines.
1. Tracer dans le repère ci dessous les droites représentant les fonctions affines :
f : x→− 2x+3 ; g : x→ 3x−1 ; h : x→− x ; k : x→− 2
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4
3
2
1
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−47
7
7
7
7
III. SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION AFFINE. 63
2. Complétez, en faisant une lecture graphique, les phrases suivantes à l’aide des motscroissante, décrois-
sante, constante :
• La fonction f est ;
• La fonction g est ;
• La fonction h est ;
• La fonction k est ;
3. Quelrelationpeut-onobserverentrelesigneducoefficientde xetlesensdevariationdelafonctionaffine?


2 La règle pour déterminer le sens de variation d’une fonction affine.
Rappel: Donner la définition d’une fonction strictement croissante sur l’intervalle I :

Donner la définition d’une fonction strictement décroissante sur l’intervalle I :

′ ′Rappel: x et x sont deux nombres réels tels que x < x .
′1. ◮ Si a est strictement positif, alors ax < ax .
′◮ Si a est strictement négatif, alors ax > ax .
′2. x+b < x +b.
♣ Théorème 1 Soit f : x→ ax+b une fonction affine.
◮ Si a est strictement positif, alors f est strictement croissante.
◮ Si a est strictement négatif, alors f est strictement décroissante.
′ ′Preuve: x et x sont deux nombres réels tels que x < x .
′◮ Si a est strictement positif, alors ax < ax . Il suffit ensuite d’additionner b aux deux membres de l’inéga-
′ ′lité : ax+b < ax +b. Ainsi f(x) < f(x ). f est donc strictement croissante.
◮ à vous de faire de même dans le cas où a < 0.
........................................................................................................
........................................................................................................
Exercice 4. Déterminer le sens de variation des fonctions affines suivantes :
f : x→− x−3 ; g : x→− 2x+1 ; h : x→ x−4 ; k : x→− x