Cours-FI-III

Description

Chapitre 3Elements de la theorie desmartingales3.1 De nitions et proprietes3.1.1 CaracterisationsDe nition 3.1.1 Une martingale est un processus aleatoire M = (M ) , ak 0knvaleurs reelles, de ni sur un espace probabilise ltr e ( ; (F ) ;P), et veri antk 0knla propriete suivante80 k < n E(M j F ) = Mk+1 k kOn dit aussi qu’un processus aleatoire reel M = (M ) est une sous-martingalek 0kn(resp. une sur-martingale), s’il veri e les inegalites suivantes80 k < n E(M j F ) M (resp. E(M j F ) M )k+1 k k k+1 k kLes proprietes de martingales que nous avons introduites precisent les tendances locales d’unprocessus aleatoire. Plus precisement, on note que tout processus aleatoire M = (M )k 0knpeut se mettre sous la formekXM = M + M avec M = (M M )k 0 k k k k 1l=1La propriete de martingale (resp. sous-martingale, ou sur-martingale), exprime le fait que lesaccroissements conditionnels moyens et previsibles, sont nuls (resp. positifs, ou negatifs).Supposons par exemple que M represente l’evolution aleatoire de la fortune d’un joueur.kDans ce cas, la propriete de martingale exprime le fait que le jeu est equitable en moyenne, en81 82 CHAPITRE 3. ELEMENTS DE LA THEORIE DES MARTINGALESce sens ou le joueur ne peut accro^ tre ou diminuer son esperance de gain (M M ), a l’aidek+1 kdes information precedentesE(M M jF ) = 0k+1 k kOn remarquera dans ce cas que le fortune moyenne du joueur reste ...

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Extrait

Chapitre 3

 Elementsdelatheoriedes martingales

3.1Denitionsetproprietes 3.1.1 Caracterisations

Denition 3.1.1sulaetapnorecssoireUnitramenutseelagM= (M k ) 0kn ,a valeursreelles,denisurunespaceprobabiliseltre( ,(F k ) 0kn ,P)tnairevte, laproprietesuivante ∀0k < nE(M k+1 | F k ) =M k Onditaussiqu’unprocessusaleatoirereelM= (M k ) 0kn est une sous-martingale (resp.unesur-martingale),s’ilverielesinegalitessuivantes ∀0k < nE(M k+1 | F k )M k (resp.E(M k+1 | F k )M k )

Les proprietes de martingales que nous avons introduites precisent les tendances locales d’un processus aleatoire. Plus precisement, on note que tout processus aleatoireM= (M k ) 0kn peut se mettre sous la forme k M k =M 0 + X
M k avec
M k = (M k   M k   1 ) l=1 La propriete de martingale (resp. sous-martingale, ou sur-martingale), exprime le fait que les accroissementsconditionnelsmoyensetprevisibles,sontnuls(resp.positifs,ounegatifs). Supposons par exemple queM k r.euuojnu’denutrofalitnolaetaioeredresentel’evoluper Dans ce cas, la propriete de martingale exprime le fait que le jeu est equitable en moyenne, en 81

82 DE LA TH  EMENTS EL CHAPITRE 3. DES MARTINGALES  EORIE ulejoueurnepeutaccroˆtreoudiminuersonesperancedegain(M k+1   M k ,)deail’a ce sens o  des information precedentes E(M k+1   M k | F k ) = 0 On remarquera dans ce cas que le fortune moyenne du joueur reste constante ∀0knE(M k ) =E(M 0 ) Laproprietedesousmartingalecorrespondaunjeufavorableaujoueuravecdesgains conditionnels certains ∀0k < nE(M k+1   M k | F k )0 conduisantalacroissanceenmoyennedesafortune E(M 0 ). . .E(M k )E(M k+1 ). . .E(M n ) Terminonscettesectionparunecaracterisationpratiquedelaproprietedemartingale,enterme de processus transformes. Nous utiliserons cette caracterisation dans le chapitre concernant les mathematiquesnancieres,lorsquenous“neutraliserons”desmarchesnanciers. Proposition 3.1.1Soit(M k ) 0kn spacepronisuruneioerdesulaetatleeribabsilussecorpn ( ,(F k ) 0kn ,P). Le processus(M k ) 0kn est une martingale si, et seulement si, pour tout processusprevisible(U k ) 0kn no,palaroprietesuivanet E
l= Xn 0 U k
M k ! =E(U 0 M 0 ) Preuve: (M k ) 0kn est une martingale, alors on a clairement Si = X E
l= Xn 0 U k
M k ! l= n 0 E(U k
M k ) n =E(U 0 M 0 ) + X E(E(U k
M k | F k   1 )) l=1 n =E(U 0 M 0 ) + X E(U k E(
M k | F k   1 )) =E(U 0 M 0 ) l=1 Pourmontrerlareciproque,oncommenceparnoterquel’onanecessairement ∀0knE(M k ) =E(M 0 ) Pourveriercetteassertion,ilsutdechoisirleprocessusprevisibleconstantU k = 1. En eet, dans cette situation, nous avons k k M k = X
M l = X U l
M l l=0l=0

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3.1.D  EFINITIONSETPROPRI  ET  ES D’apres nos hypotheses, on obtient k E(M k ) =E( X U l
M l ) =E(U 0 M 0 ) =E(M 0 ) l=0 SoitTune v.a. positive entiere, telle que les evenements{Tk}sivieprntiesoeridatse’c,selb 1 {Tk} ∈ F k   1 . On a clairement T n M T = X
M k = X U k
M k k=0k=0 avecleprocessusprevisibleU k = 1 Tk ∈ F k   1 . D’apres nos hypotheses, nous obtient que E(M T ) =E(U 0 M 0 ) =E(M 0 ) On associe a tout evenementA∈ F k val,.e.ainteer T=k1 A + (k+ 1) 1 Ac Par construction, les evenements {Tl}=    A c si si l l  = k k+ 1 ∅sil >(k+ 1) sontprevisibles.D’autrepart,nousavonslesdecompositions M T =M k 1 A +M k+1 1 Ac =M k 1 A +M k+1 (1   1 A ) =M k+1   1 A
M k+1 D’apresladiscussionprecedente,onobtient ∀A∈ F k (E(M T ) =)E(M k+1 )   E(1 A
M k+1 ) =E(M 0 ) Compte tenu du fait queE(M k+1 ) =E(M 0  que), ceci entraˆne ∀A∈ F k E(1 A
M k+1 ) = 0 D’apres les proprietes des esperances conditionnelles, on en conclut que E(
M k+1 | F k ) = 0 En repetant ces raisonnement, pour tous les indicesk∈ {0, . . . , n}, on montre que le processus M k oi.nsotirppoedalueevlapreveiach.Cecelagnitramenutneemirsaesecnste

84 DES MARTINGALES  EORIE EMENTS  DE LA THCHAPITRE 3.  EL 3.1.2 Compensateurs Soit (M k ) 0kn  surune martingale denie e un espace probabilise ltr ( ,(F k ) 0kn ,P) Le processus aleatoire forme des carres (M k 2 ) 0kn est une sous martingale sur ( ,(F k ) 0kn ,Pteet)C.eustreirerppotdelemenimplltesaCedetilageni’zrtwach-Shyuc E(M k 2 1+ |F k )E(M k+1 |F k ) 2 =M k 2

Denition 3.1.2ssaneicoOngtiealunaarem(M k ) 0kn nespsuruorabcapeseibil ( ,(F k ) 0kn ,P)sible,lssecorpeiverpsu(hMi k ) 0kn deinapr k k hMi k = X [E(M l 2 | F l   1 )   M l 2   1 ] = X E([M l   M l   1 ] 2 | F l   1 ) l=0l=0 Leprocessusaleatoire(hMi k ) 0kn e,epelstaple compensateur, la variation quadratique previsible, ou encorele processus croissantitramalaelagn,aeiocss (M k ) 0kn .

Dansladenitionprecedente,nousavonsutiliselaconventionE([M 0   M   1 ] 2 | F   1 ) =E(M 02 ), lorsquel= 0. L’importance de ce processus resulte de la proposition suivante.

Proposition 3.1.2Soit(M k ) 0kn  surune martingale reelle denie un espace probabiliseltre( ,(F k ) 0kn ,P)otaeerisueslsaLe.ocpr M k 2  hMi k estunemartingaleparrapportalaltration(F k ) 0kn .

Preuve: Pourverierlapremiereassertion,onobserveque E(M k 2 +1 | F k ) =E([M k + (M k+1   M k )] 2 | F k ) =M k 2 + 2M k E((M k+1   M k )|F k ) +E((M k+1   M k ) 2 | F k ) =M k 2 +E((M k+1   M k ) 2 | F k ) Onendeduitladecompositionsuivante [M k+1 2  hMi k+1 ]   [M k 2  hMi k ] = [M k1+ 2   M k 2 ]   [hMi k+1  hMi k ] = [M k1+ 2   M k 2 ]   E((M k+1   M k ) 2 | F k ) = [M k 2 1+   M k 2 ]   [E(M k 2 1+ | F k )   M k 2 ]

3.1.D  EFINITIONSETPROPRI  ET  ES Il est alors clair que la propriete de martingale est satisfaite E(M k1+ 2  hMi k+1 | F k ) =M k 2  hMi k

Denition 3.1.3ngtiesaleeresllsociOnascnuoeuameralpde(M k ) 0kn et (N k ) 0kn lteer,surunmˆemeepscapeorabibils( ,(F k ) 0kn ,P), le processus previsible(hM, Ni k ) 0kn aripd,en k k hM, Ni k = X [E(M l N l | F l   1 )   M l   1 N l   1 ] = X E(
M l
N l | F l   1 ) l=0l=0 avec la conventionE([M 0   M   1 ][N 0   N   1 ]| F   1 ) =E(M 0 N 0 ), lorsquel= 0.

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Le prochain theoreme est une extension de la proposition precedente a des produits quelconques de martingales.

Theoreme 3.1.1Soit(M k ) 0kn et(N k ) 0kn , un couple de martingales reelles, et deniessurunmˆceprobabiliseltre( ,(F k ) 0kn ,P). Dans cette situation, eme espa lesprocessusaleatoiresdenipar M k N k   [M, N] k etM k N k  hM, Ni k sont des martingales par rapp(F k ) 0kn ortalaltration

Preuve: D’apreslaformuled’integrationparparties(2.4),nousavonsladecomposition k k M k N k = X M l   1
N l + X N l   1
M l + [M, N] k l=1l=1 D’autre part, nous avons vu dans l’exercice 3.1.5 que les processus k k X M l   1
N l et X N l   1
M l l=1l=1 sont des martingales. On en conclut que k k M k N k   [M, N] k =M 0 N 0 + X M l   1
N l + X N l   1 l=1l=1