Cours.nMb196-97

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• Publié par: Thion
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• Langue: Français

Extrait

´MATHEMATIQUES.
Le Petit Larousse Illustr´e 1994 donne la d´efinition suivante :
Math´ematique (de mathˆema = science en grec) : nom s. ou pl. 1. Science qui ´etudie par le
moyenduraisonnementd´eductiflespropri´et´esd’ˆetresabstraits(nombres,figuresg´eom´etriques,
fonctions, espaces, etc.) ainsi que les relations qui s’´etablissent entre eux.
´1. PROPRIETES et ENSEMBLES.
Les ˆetres abstraits de la d´efinition du P.L.I. sont aussi dits objets (d’´etude math´ematique);
ils sont caract´eris´es par leurs propri´et´es et faire des math´ematiques consiste a` trouver les
propri´et´es qui en d´ecoulent logiquement (= par le raisonnement d´eductif).
1.1. Propri´et´es. Une propri´et´e (math´ematique) est une qualit´e (= condition) concernant
les objets qui est telle qu’un objet la v´erifie (= l’a, = la poss`ede) ou sinon ne la v´erifie pas.
Ces propri´et´es ont ´et´e d´ecouvertes et mises en valeur peu a` peu lors du d´eveloppement des
math´ematiques depuis l’antiquit´e.
ˆExemples. Etre un entier relatif pair; ˆetre une fonction continue; ˆetre une isom´etrie lin´eaire
du plan.
´Remarques. 1) Etant donn´ee une propri´et´e, on d´efinit la propri´et´e oppos´ee (= contraire)
par : “un objet la v´erifie si et seulement si (not´e s.s.si) il ne v´erifie pas la propri´et´e initiale”.
´2) A partir d’un certain nombre (fini ou infini) de propri´et´es, on d´efinit deux autres propri´et´es
par :
i) avoir toutes ces propri´et´es;
ii) avoir au moins une de ces propri´et´es.
3) La propri´et´e contraire de “avoir toutes ces propri´et´es” est “avoir la propri´et´e oppos´ee d’au
moins une de ces propri´et´es” et la propri´et´e oppos´ee de “avoir au moins une de ces propri´et´es”
est “avoir toutes les propri´et´es contraires de ces propri´et´es”.
1.2. Ensembles. Un ensemble est la collection de tous les objets ayant en commun la mˆeme
propri´et´e (qui peut ˆetre d´efinie par plusieurs propri´et´es). Ces objets s’appellent (= sont dits)
les ´el´ements (= les points) de l’ensemble.
Remarque. Un ensemble est lui-mˆeme un objet math´ematique.
Exemples. Le plan est l’ensemble de ses points et on peut consid´erer l’ensemble des plans de
l’espace.
´2. Les MATHEMATIQUES.
Elles s’´ecrivent et se lisent (on appelle ´enonc´e d’un probl`eme, d’un exercice, d’un th´eor`eme,
l’´ecriture de celui-ci). L’ordre suivant lequel on les ´ecrit est tr`es important.
2.1. Symboles. Pour condenser l’´ecriture, ce qui facilite grandement la compr´ehension et le
raisonnement, on note (= on repr´esente, = on d´esigne) en g´en´eral les objets par des symboles
(lettres, chiffres, ...) ´ecrits souvent en italiques.
1a) Certains symboles d´esignent toujours le mˆeme objet (math´ematique) :
i) les chiffres arabes (indiens) : 0,1,3,...;Z b
ii) ,∈,⊆,∃,∀, etc. (voir ci-apr`es).
a
b) Certains ensembles, parfaitement d´efinis (= uniquement d´etermin´es par leurs propri´et´es)
sont not´es par un symbole fix´e :
Ø d´esigne l’ensemble vide (= qui n’a aucun ´el´ement);
N d´esigneble des entiers naturels;
Z d´esigne l’ensemble des entiers relatifs;
Q d´esigneble des nombres rationnels;
R d´esigne l’ensemble des nombres r´eels;
C d´esigneble des nombres complexes.
Lorsque qu’une ´etude est valable pourR ouC, on d´esigne, parfois, parK l’un ou l’autre de ces
ensembles.
c) En ce qui concerne les autres symboles, ils peuvent repr´esenter n’importe quel objet. Si dans
un bloc math´ematique (une d´efinition, un´enonc´e, une d´emonstration...) un symbole repr´esente
un objet, on l’introduit (= le d´efinit), en g´en´eral, de la fa¸con suivante :
“Soit (= consid´erons, = donnons-nous) E un ensemble (un objet) ayant telle (ou telles)
propri´et´e”, ou bien, “posons E = ...”.
On dit alors que E est d´efini (on dit mˆeme bien d´efini), en insistant sur le fait qu’il n’y a pas
d’ambigu¨ıt´e sur l’objet (ou type d’objet) repr´esent´e par E. Tout au long du bloc math´emati-
que, E conserve cetted´efinition (= qualit´e) chaque fois qu’on l’utilise de sorte que ce que l’on
d´eduit de ce bloc est vrai (= valable) pour tout objet ayant les mˆemes propri´et´es que E.
On peut repr´esenter une propri´et´e par : “Soit la propri´et´e P d´efinie par ...”). Si c’est le cas,
“non P” repr´esente la propri´et´e oppos´ee de P.
On peut mˆeme repr´esenter une phrase math´ematique par un symbole : ((*) “...”).
2.2. Ensembles. Soient E un ensemble et x un objet :
1) en ´ecrivant “x∈ E”, on lit et on signifie “x appartient a` (= est un ´el´ement (quelconque)
de) E”, dans certains cas (voir ci-apr`es) on lit “x est une variable (ind´ependante) dans E” ou
“x est une inconnue dans E ou “x est un indice (ou un param`etre) dans E”;
2) en ´ecrivant “x∈/ E”, on lit et on signifie “x n’appartient pas a` E;
3)en´ecrivant“soit x∈E”,ond´efinitlesymbole xcommerepr´esentantun´el´ementquelconque,
fix´e dans la suite du bloc math´ematique, de (l’ensemble) E, introduit pr´ec´edemment;
2 24)en´ecrivant“soit,pour(tout) x∈R ,f(x) = x +1” (=“posons f(x) = x +1(x∈R)”)on
introduit la fonction f d´efinie surR. Dans cette expression x est une variable (= une inconnue)
dans R (on dit aussi que x parcourt R). Le symbole x n’est pas fix´e (on n’a pas dit “soit
2x∈R”!) de sorte que l’on a aussi “pour A∈R,f(A) =A +1”.Z b
´Exemple. Etudions les symboles dans “posons I = f(t)dt”. Ceux qui ont duˆ ˆetre d´efinis
aZ
avant sont a,b,f, ,dt, celui qui est d´efini par cette phrase est I et enfin celui qui est une
variable est t (on peut remplacer t par x ou tout autre symbole sans changer I).
2Si un ensemble X est d´efini par certaines propri´et´es, on ´ecrit X = {x : x (est un objet) ayant
ces propri´et´es} qui se lit, et signifie, ensemble des x tels que x v´erifie (= a) ces propri´et´es. Dans
cette´ecriture x est, ici aussi, une variable non fix´ee (= non d´efinie) et on peut la remplacer par
y (ou par A, ou ...).
2.3. D´efinitions. Puisque les math´ematiques ´etudient les propri´et´es, un grand bloc de
math´ematique (branche, livre, chapitre, paragraphe, ...) commence par des d´efinitions, du
type “on dit qu’un objet est ...s’il a les propri´et´es ...”(*), qui consistent a` donner un nom
(propre = particulier) `a :
1) une propri´et´e (bien d´efinie); exemples : “pair”, “continu”, “isom´etrie”, ... ;
2) un type d’objets (bien d´efinis); exemples : “un (nombre) r´eel”, “un entier naturel”,... ;
3) une structure (math´ematique) c.`a.d. un ensemble fini ou infini de propri´et´es, dit ensemble
des axiomes de la structure math´ematique ainsi nomm´ee; exemples : “structure de groupe”,
“structure d’espace vectoriel”,... ; un ensemble E a (= est muni de = v´erifie les axiomes de)
cette structure s’il a ces propri´et´es et l’int´eret de la structure est qu’alors E v´erifie d’autres
propri´et´es int´eressantes.
Souvent, par abus de langage, on dit par exemple “soit G un groupe” a` la place de “soit G
un ensemble v´erifiant les axiomes d’une structure de groupe” (on dira que G, ainsi d´efini, est
un objet stuctur´e) et on dit que les propri´et´es v´erifi´ees par tout groupe sont des “propri´et´es
des groupes”.
2.4. Quantificateurs . Ils sont utilis´es (dans la pratique courante des math´ematiques) pour
abr´eger, encore plus, l’´ecriture (bien qu’on puisse ne jamais les utiliser), on les consid`ere comme
des symboles fix´es une fois pour toutes :
1) le symbole ∀... est mis pour “quelque soit ...” (= “ pour tout ...”) et est suivi, en
g´en´eral, de “on a ...” (= “il est vrai que ...”); exemple :“∀x ∈ E, on a ...”, ou` E est un
ensemble d´ej`a d´efini et x est une variable dans E;
2) le symbole∃... est mis pour “ il existe un ...” (= “on peut trouver un ...”, = “on peut
construire un ...”) et est suivi, en g´en´eral, de “ tel que ...” (= “qui v´erifie ...”); exemple :
“∃x∈ E, tel que ...”; ici x est, en g´en´eral, fix´e;
/3) le symbole∃ ...est mis pour “il n’existe pas de” (= “il n’existe aucun ...” = “on ne peut
trouver aucun ...”) et est suivi, en g´en´eral, de “tel que ...”;
4) le symbole ∃! ...est mis pour “il existe un ...et un seul” (= “il existe un unique ...”)
et est suivi, en g´en´eral, de “tel que ...”.
L’ordre dans lequel ces quantificateurs sont ´ecrits est tr`es important (`a voir en exercice).
Le contraire de “∀x∈ E, on a ...” est : “∃x∈E, tel que l’on n’a pas ...”.
Le contraire de “∃x∈ E, tel que ...” est“