Cours sur la variatétés de dimension

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6Chapitre 1Vari´et´es de dimension 3 et 4,invariants classiques1.1 Vari´et´es `a bord, recollementOn rappelle qu’une vari´et´e topologique de dimension n est un espace topologiques´epar´e d´enombrable `a l’infini, dont tout point a un voisinage hom´eomorphe `a un ouvertn n n−1de R . En rempla¸cant R par le demi-espace ]−∞,0]×R on obtient la notion devari´et´e `a bord.Exercice 1.1.1. a) Montrer que la dimension est bien d´efinie : une vari´et´e de dimensionn n’est pas hom´eomorphe `a une vari´et´e de dimension m =n.b) D´efinir le bord d’une vari´et´e et montrer que c’est une vari´et´e de dimension n−1.Exercice 1.1.2. a)Montrerquetoutevari´et´ecompacteseplongedansunespaceeuclidienNR .∞ nb) Montrer plus g´en´eralement que toute vari´et´e se plonge dansR = lim R (pr´ecisern−→∞la topologie surR ).Une vari´et´e lisse est une vari´et´e munie d’un atlas maximal dont les changements de∞carte sont de classe C . Dans ce cours nous consid´ererons le plus souvent des vari´et´eslisses.Remarque 1.1.3. Lesvari´et´estopologiquesdedimensioninf´erieureou´egale`a3admettentune structure lisse unique `a diff´eomorphisme pr`es.Nous envisagerons ´egalement des vari´et´es avec structure PL (lin´eaires par morceaux);une structure PL est une classe d’´equivalence de triangulations, deux triangulations´etant ´equivalentes si et seulement si elles admettent une subdivision commune. Unestructure lisse d´efinit une structure PL repr´esent´ee par n’importe quelle triangulation1de ...

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Extrait

Chapitre 1

Vari´et´esdedimension3et4, invariants classiques

1.1Varie´t´es`abord,recollement Onrappellequ’unevarie´t´etopologiquededimensionnest un espace topologique s´epar´ede´nombrablea`l’infini,donttoutpointaunvoisinagehome´omorphea`unouvert n nn−1 deRE.ntcaa¸plemnrRpar le demiespace ]− ∞,0]×Ron obtient la notion de varie´t´e`abord. Exercice1.1.1.snemnoialeuqreroisnemidntMoa)ra´inuveedidtee´biennestnie:d´efi nherpun`am´homoeose’nsaptnsione´edidemvera´item6=n. b)D´efinirlebordd’unevari´ete´etmontrerquec’estunevarie´t´ededimensionn−1. Exercice1.1.2.´erivatepaomect´olpesetcusnadegnnespaceeuclidiennortaM)teuoreuq N R. ∞n b)Montrerplusge´n´eralementquetoutevarie´te´seplongedansR= lim n Riserr´ec(p −→ ∞ la topologie surR). Unevarie´t´elisseestunevari´et´emunied’unatlasmaximaldontleschangementsde ∞ carte sont de classeCvunesuosavirdtse´erensidleplronsuocecsnaocsuonsrt´´ees.D lisses. Remarque1.1.3.ntteetdm3a`aleage´uoerueire´fnuqseedidemsnoiinri´et´estopologiLavse unestructurelisseunique`adiff´eomorphismepre`s. Nousenvisagerons´egalementdesvari´et´esavecstructurePL(lin´eairesparmorceaux); une structureP Lationgultriacedeugalirnauetxsnd,tuesclnesontiviuqnelaessae´’d e´tante´quivalentessietseulementsiellesadmettentunesubdivisioncommune.Une structurelissede´finitunestructurePLrepr´esente´eparn’importequelletriangulation 1 de classeCe´fnueirsneminoi].WhdiEn[tee´tuvera´ile`a6,toreou´egaP Ladmet une structurelisse,uniquea`diff´eomorphismepr`es. 1

Etantdonn´edeuxvari´ete´sa`bordM 1 etM 2 de dimensionn, etf:∂M 2 →∂M 1 undiff´eomorphisme,onde´finitlerecollementM=M 1 ∪ f M 2 comme l’espace topolo gique quotient de l’union disjointeM 1 ∐M 2 nceevaledr´engentaoiraleqeiudn´’rlparape x 2 ∼f(x 2 ) pour toutx 2 ∈∂M 2 . Exercice1.1.4.quepourtoutevari´et´elissMe`naobrotrrdeM, il existe un collier : un plongement lissec:]−1,0]×∂M→Mtel quec(0, .) = Id ∂M . Proposition 1.1.5.a) Le recollementM=M 1 ∪ f M 2 ougtisqeuede´ttepoloenavire´ dimensionn. b)Meledcdleteneseisi´quctruelurutemtsendaM 1 etM 2 iff´ee`adniqu,uemsihpromo pre`sdesupportunvoisinagearbitrairedulieuderecollement. c) SiM 1 etM 2 sontoirne´tee,steisfrenverse l’orientation, alorsM´ee,ientrotse Remarque1.1.6.te´dimrellocsreituuclireunnetressiseruelsspe´rcerecolnUeredpeia lementM. Onpeutfairecetteconstructiondanslecasou`f:A→M 1 est un plongement d’une sousvari´et´e`abordA⊂∂M 2 . Exercice1.1.7.ocereleuptnemellrqrentMor´ec´edentedt´orubd’dnuseuosavire´lelong admet une structure lisse. D´efinition1.1.8.´eeti´arevnu’d)essil(etnaieambtopieisoa)UnNest une application (lisse) h: [0,1]×N→N (t, x)7→h(t, x) =h t (x) telle que :h 0 =Id N . b) Deux plongementsf, g:A→Nsont isotopes si et seulement s’il existe un isotopie htelle que :g=h 1 ◦f. Exercice1.1.9.Montrer que sif, g:A→∂M 1 sont des plongements isotopes, alors les vari´ete´srecoll´eesM=M 1 ∪ f M 2 etM=M 1 ∪ g M 2 e´moromoshtnoesph.

1.2Constructiondevarie´t´es 1.2.1Premiersexemplesdevari´et´esdedimension3 3 21 13 S,S×S, Σ g ×S,RP.

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1.2.2 Recollementde tores plein Ç å r q PourA=∈SL 2 (Z:)o,dne´nfiti s p 1 11 21 12 1 f A :−(S×S) =∂(S×D)→S×S=∂(D×S) q p ′r′s′ (z, z)7→(z, zz z) 2 11 2 M A =D×S∪ f A S×D . Lesvarie´te´sM A ndioesecrauproblt´eressesaiscfitae`emedlcirotnoss.eet´enins’vaOn vari´et´es,qu’onappellera3varie´t´esdegenre1,a`diffe´omorphisme(resp.diffe´omorphisme oriente´)pr`es. Exercice1.2.1.1. Calculerle groupe fondamental et l’homologie deM A . Ç åÇ å ′ r qr q ′ 2.De´montrerqueA= etAentdnissri´eesva=´dfieest´M A et ′ s ps p M A ffid)moe´evittnem(sipoorphes. ′ 3 21 3.Montrerquetoutevarie´t´edegenre1quin’estpasdiffe´omorphe`aSouS×S Ç å r q est(positivement)diff´eomorphea`unevari´et´eM A avecA0= ,< q < p. s p On noteraL(p, qire´´t(eseapecelnticulaire).vateet)c

Courbesferm´eessimplessurletore;diffe´otopiesdutoreetdu tore plein [R, Ch2]

1.2.3 Chirurgiesur un noeud 2 13 Soitg:D×S→SunplongetbeitnnuemtnO.onor´entieareveti´isnenodee´mide 3 : 3 21 12 ˚ M= (S−g(D×S))∪S×D . g g 1 1 |S×S Lavari´ete´M g bteniteorchiuepasedtliso(odeoeunpaudgruruseinelrdueoarlle´il´s)e d´efiniparg. 2 1 Iciunnoeudsolide(ounoeudparalle´lise´)estuneplongementdutorepleinD×S, leplussouventconside´re´a`isotopiepr`es. Proposition 1.2.2.deuqalee´dednepi`dr´sffeole,vomaprihmsApeobtenuenari´et´e classe d’isotopie deg. Proposition 1.2.3.iraval,se`rpemsid´neueenbteot´´eependquedelaorph´eomAdiff 1 + classed’isotopiedel’ˆamedunoeudsolide:l=g(0×S), et de l’entierf=lk(l, l). 3