COURS SUR LES NOMBRES COMPLEXES Bac Pro

Lopez

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GGG^Jhttp://maths-sciences.fr Bac Pro indus NOMBRES COMPLEXES NOMBRES COMPLEXES Un peu d'histoire Au XVIe siècle, l'italien Cardan lève une interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes. Deux siècles plus tard, le suisse Euler utilise la lettre « i » en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë « −1 ». Le nombre i est un nombre imaginaire, dans le sens où il ne peut être un nombre réel ! Depuis, la théorie sur les nombres complexes n'a cessé de progresser et de trouver des applications dans divers domaines tels que l'électricité, l'électronique, ... Leonhard Euler, mathématicien suisse (1707-1783) Remarque : La lettre j est souvent préférée à i afin d'éviter, lors d'applications en électricité, toute confusion avec l'intensité du courant. I) Présentation des nombres complexes 1) Définition Il existe un ensemble noté dont les éléments, appelés nombres complexes, sont de la forme : za= +jb où a et b sont des nombres réels et j² = -1. a est la partie réelle et b est la partie imaginaire. Remarque : a + jb est la forme algébrique de z. 2) Représentation graphique Dans le plan muni d'un repère, le nombre complexe z = a + jb est représenté par le ...

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Extrait

http://maths-sciences.fr BacPro indus NOMBRES COMPLEXES Un peu d'histoire Au XVIe siècle, l'italien Cardan lève une interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes. Deux siècles plus tard, le suisse Euler utilise la lettre «i» en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë « −1 ». Le nombrei estun nombre imaginaire, dans le sens où il ne peut être un nombre réel ! Depuis, la théorie sur les nombres complexes n'a cessé de progresser et de trouver des applications dans divers domaines tels que l'électricité, l'électronique, ... Leonhard Euler, mathématicien suisse (1707-1783) Remarque : La lettrejest souvent préférée àiafin d'éviter, lors d'applications en électricité, toute confusion avec l'intensité du courant. I) Présentation des nombres complexes 1) Définition Il existe un ensemble noté ^  dontles éléments, appelés nombres complexes, sont de la forme :z=a+jb  oùa etb sont des nombres réels et j² = -1. a est la partie réelle et b est la partie imaginaire. Remarque : a + jb est la forme algébrique de z . 2)Représentation graphique Dans le plan muni d'un repère, le nombre complexe z= a + jb est représenté par le point M JJJJG  a  de coordonnées(a, b)ou le vecteur:OM   b   On dit queMest l'image dezou quezest l'affixe deM. b M(z) Axe imaginaire Axe réel G v G O a u Cours sur les nombres complexes1/4

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3)Egalité Deux nombres complexesz=a+jbetz=a+jbsont égaux s'ils ont même partie réelle 1 11 22 2 et même partie imaginaire : z=z alors a=a et b=b 1 21 21 2 En particulier : si z = a + jb = 0 ,alors a=b=0 4)Conjugué Si z=a+jb , le nombre a−jb est appelé conjugué de z et est noté z . z=a+jb⇔z=a−jb On remarque que ( z ) =z . II) Opérations On admet que les règles de calcul pour l’addition et la multiplication sont les mêmes dans ^ que dans\(en utilisant j ² = -1 ). 1)Somme Si z = a + jb et z '= a '+ jb ', alors z + z '=( a + a ')+ j ( b + b '). 2)Produit Siz=a+jbetz'=a'+jb', alorszz'=(aa'−bb')+j(ab'+ba'). 3)Inverse et quotient 1 L’inverse d'un nombre complexez, peut être mis sous la forme, notéa+ jben utilisant le z 1z conjugué := z z z z zz' Il en est de même pour le quotient de deux nombres complexeszetz' (z' non nul) := z' z'z' III) Forme trigonométrique 1)Module G G Dans un plan de repèreO,u,v, soit un pointMson affixe etz=a+jb .La norme du ( ) JJJJG JJJJG vecteur OM est :OM=OM=a²+b² b M(z) ρ G θ v G O u a Cours sur les nombres complexes2/4

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On appellemoduledezle nombre réel positif :z=a²+b² Le module peut aussi être désigné par les lettresρour. On remarque que : 2 z z= ( a+jb ) ( a−jb ) =a²+b² d'où z z=z 2)Argument On appelleargumentde z , pourz≠0, et on noteargz,une mesure à2 π près de l'angle θ . a b arg z= θcos, avecθ = et sinθ = ρ ρ Remarques - Le nombre z = 0 n'a pas d'argument carθn'est pas défini. - Le tableau ci-dessous donne les valeurs trigonométriques exactes des angles remarquables. π π  0 6 4 3 2 1 2 3 sin 1 0 2 2 2 1 3 2 cos  10 2 2 2

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3)Forme trigonométrique d’un nombre complexe La forme trigonométrique d’un nombre complexe est : z=ρ ( cosθ+jsinθ ) . π  π  j est le nombre complexe de module 1 et d’argument: j=1, .   2  2  4)Opération et forme trigonométrique (z≠0 etz'≠0) a) Produit zz'=ρρ'cos ( θ+θ' ) +jsin ( θ+θ' )    Ce qui peut s’écrire : zz'=z z'  ou [ ρ,θ ] × [ ρ',θ' ] = [ ρρ',θ+θ' ]  argzz'=argz+argz'   b) Conjugué z=ρ ( cosθ−jsinθ ) =ρcos ( −θ ) +jsin ( −θ )    Ce qui peut s’écrire :  z=z   ouz= [ ρ,−θ ]  argz= −argz   c) Inverse 1z z ρ ( cosθ−jsinθ )1 = == = ( cos−jsinθ ) 2 z z z ρ²ρ z Ce qui peut s’écrire : 1  1  =, -   zρ   d) Quotient ρ θ z [ ,  1   ρ  = = [ ρ,θ ] ×, -θ'=,θ−θ'    z' [ ρ',θ' ] ρ'ρ'   

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