envoi4-cours

Thierry Gallouet

Description

**7.2 Mesure produitOn rappelle ici qu’un espace mesur´e (E,T,m) est "-fini (on dit aussi que m est "-finie) si il existe unefamille (A ) &T t.q. E =' A et m(A )< +(, pour tout n#N. L’espace mesur´e (R,B(R),!)n n!N n!N n nest "-fini (prendre, par exemple, A =[)n,n]). Il existe, par contre, des mesures non finies. L’exemplenle plus simple sur (R,B(R)) consiste `a prendre m(A)=( pour tout A#B(R), A =+. Un exemple plusint´eressant (intervenant pour certains probl`emes) consiste `a se donner un bor´elien non videB deR (BChapter 7peut ˆetre, par exemple, r´eduit `a un point) et `a d´efinirm par m (A)=( si A#B(R) et A,B =+ etB Bm (A) = 0 si A#B(R) et A,B =+.BD´efinition 7.1 (Tribu produit) Soient (E ,T ) et (E ,T ) des espaces mesurables. On pose E =1 1 2 2Produits d’espaces mesur´esE1!E2. On appelle tribu produit la tribu sur E engendr´ee par T1!T2 ={A1!A2, A1#T1, A2#T2}.Cette tribu produit est not´ee T $T .1 2Un exemple fondamental est (E ,T ) = (E ,T ) = (R,B(R)). On va montrer que, dans ce cas, B(R)$1 1 2 22B(R)=B(R ).7.1 MotivationNProposition 7.1 (Tribu B(R ))Au chapitre 1, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des bor´eliens de R (not´ee B(R)), ce N"1 NPour tout N - 2, on a B(R )$B(R)=B(R ).qui nous a permis d’exprimer la notion de longueur d’une partie (bor´elienne) deR. On peut se poser2la question de savoir s’il existe une mesure sur une tribu convenable deR qui exprimerait la notion deDemonstra´ tion : La d´emonstration est ...

Informations

• Publié par: Nepher
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Catalan

Extrait

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