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Etude de l'endommagement pendant la mise en forme à froid de tôles d'aluminium

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Chapitre V Modèle microstructural d’endommagement V.1. Introduction Le modèle microstructural d’endommagement présenté ici a été réalisé de manière à pouvoir prendre en compte et reproduire les observations expérimentales des chapitres précédents. Il reprend notamment, en les complétant, les travaux de Favier[FAV95] et de Lebensohn[LEB96]. Il décrit l’apparition et la croissance de porosité associée aux particules de secondes phases, à partir d’un critère d’endommagement des particules. Le principe de l’homogénéisation/localisation, ici mis en œuvre dans le cadre d’un schéma auto-cohérent en formulation affine, présenté au chapitre I et en annexe A, permet de décrire les interactions entre la matrice d’aluminium et les inclusions ainsi que l’endommagement porté par les particules. Il permet ainsi d’évaluer les contraintes et déformations au sein de chaque phase, au cours d’un chargement donné. De manière à pouvoir fonctionner en schéma auto-cohérent, le matériau est vu comme un agrégat de différentes phases caractérisées par une fraction volumique, un type (matrice, porosité ou particule), un état (endommagé ou non). La matrice elle-même est donc traitée en grains tous identiques (et non en agrégat de monocristaux). Dans son principe notre modèle calcule, à partir d’un matériau sain, l’endommagement atteint correspondant à un état de chargement multiaxial, en fonction de l’état de contraintes atteint dans les particules (puisqu’elles sont supposées à ...

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Chapitre V Modèle microstructural d’endommagement
V.1. Introduction Le modèle microstructural d’endommagement présenté ici a été réalisé de manière à pouvoir prendre en compte et reproduire les observations expérimentales des chapitres précédents. Il reprend notamment, en les complétant, les travaux de Favier[FAV95] et de Lebensohn[LEB96]. Il décrit l’apparition et la croissance de porosité associée aux particules de secondes phases, à partir d’un critère d’endommagement des particules. Le principe de l’homogénéisation/localisation, ici mis en œuvre dans le cadre d’un schéma auto-cohérent en formulation affine, présenté au chapitre I et en annexe A, permet de décrire les interactions entre la matrice d’aluminium et les inclusions ainsi que l’endommagement porté par les particules. Il permet ainsi d’évaluer les contraintes et déformations au sein de chaque phase, au cours d’un chargement donné. De manière à pouvoir fonctionner en schéma auto-cohérent, le matériau est vu comme un agrégat de différentes phases caractérisées par une fraction volumique, un type (matrice, porosité ou particule), un état (endommagé ou non). La matrice elle-même est donc traitée en grains tous identiques (et non en agrégat de monocristaux). Dans son principe notre modèle calcule, à partir d’un matériau sain, l’endommagement atteint correspondant à un état de chargement multiaxial, en fonction de l’état de contraintes atteint dans les particules (puisqu’elles sont supposées à l’origine de l’endommagement) et du dépassement du seuil de rupture attribué à celles-ci.  Dans ce chapitre, le fonctionnement du modèle est tout d’abord présenté en détaillant la manière dont la microstructure est prise en compte. Les propriétés des particules au regard de leur endommagement sont déterminées sur les essais de traction. Enfin, les résultats obtenus sur les alliages 5182 et 3103 sont analysés pour trois trajets de chargement monotones radiaux : traction, traction plane et gonflement.
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Chapitre V Modèle microstructural d’endommagement
V.2. Description du modèle
V.2.1. Principes En l’état utilisé, le code permet de décrire pour une matrice élasto-plastique et des particules élastiques endommageables, l’évolution des états de contraintes et de déformations dans les différentes phases. La loi d’écoulement plastique de la matrice, supposée isotrope, est de type loi puissanceσ=σ0+ kεpnoù contrainte et déformation équivalente sont utilisées. En se limitant aux chargements radiaux, on utilise une formulation de type Hencky-Mises : εij=Dσijεσeqqe Davec le déviateurσ = σ −3Trσ. La prise en compte de l’anisotropie de comportement de la matrice provenant de l’écrouissage et de la texture n’a pas été étudiée dans ce travail concentré sur l’endommagement. Les différents types de particules peuvent s’endommager pendant le chargement créant ainsi de la porosité dans ce matériau composite. Cette porosité vient affecter les sections effectives dans les différents plans principaux de la tôle. La porosité exprime un endommagement global et les sections effectives un dommage microstructural porteur d’anisotropie.  S’agissant d’étudier la pertinence de la description microstructurale de l’endommagement, la modélisation globale est donc restée limitée aux chargements monotones radiaux [la modélisation permet de réaliser par étape des trajets brisés en redéfinissant les états microstructuraux atteints sur le premier chemin de déformation suivi comme nouveaux états initiaux pour le deuxième chemin de déformation. Faute de données de ce type, nous n’avons pas engagé les essais]. Notre modélisation n’a pas pour but de décrire le comportement du matériau après striction ni jusqu’à la rupture finale, mais surtout la première phase de l’endommagement. Si l’intérêt principal d’un code de formabilité est la prédiction de la striction localisée, l’apparition de la striction est liée à l’histoire antérieure de l’endommagement. Le niveau de porosité reste très bas avant la striction. Selon la procédure numérique mise en place, l’estimation de l’endommagement se fait itérativement à chaque état de sollicitation à partir du matériau sain. A la première itération, la fraction volumique de particules cassées est celle hors-charge qui prend en compte l’endommagement initial. A
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partir de la seconde itération, elle est celle pilotée par l’état de contrainte atteint et on itère jusqu’à stationnarité. Une particule est supposée pouvoir s’endommager de deux façons : rupture selon un ou plusieurs plans orthogonaux ou décohésion de l’interface avec la matrice. La rupture de la particule dépend de l’état de contrainte dans la particule. La décohésion a été décrite de deux façons différentes : soit comme une rupture, soit comme une porosité matricielle. Dans ce deuxième cas, elle est régie par la contrainte dans la matrice et est traitée comme une porosité matricielle.  Le principe de l’évolution de l’endommagement dans la modélisation est le suivant : la fraction volumique de particules endommagées croit à mesure que la contrainte dans les particules saines augmente, selon la loi d’endommagement retenue. A une population de particules saines décrites par une particule unique de fraction volumique correspondante, on associe une particule endommagée. A mesure que la fraction volumique de particules endommagées croit en fonction de la contrainte équivalente dans la particule saine de référence, la fraction volumique de particules saines correspondantes décroît d’autant. Le fait que toutes les particules ne rompent pas en même temps est décrit par la dispersion de seuil de rupture dans la loi de type Weibull qui constitue le critère d’endommagement. L’orientation de l’endommagement des particules est déterminée à partir des contraintes principales dans la particule saine de référence. La présence de particules endommagées à l’état initial du matériau peut être prise en compte de différentes manières précisées par la suite.  Le code permet de connaître les contraintes dans les différentes phases en fonction de la contrainte macroscopique. Toutes les simulations réalisées sont pilotées en contrainte sauf en traction plane où la déformation transverse est imposée nulle. Pour différentes contraintes macroscopiques imposées, les contraintes et déformations dans les différentes phases sont calculées. Figure V-1, nous avons tracé la contrainte équivalente dans la matrice et dans les particules en fonction de la déformation équivalente lors d’un essai de traction. Nous voyons qu’il y a un rapport 2 environ entre la contrainte équivalente matricielle et la contrainte équivalente dans les particules sphériques dans ce cas. Nous avons fait varier la fraction volumique de particule de 1% à 5%. On vérifie bien que la courbe de comportement se raidît. Figure V-2, dans le cas d’une matrice renforcée de 3% de particules s’endommageant ou pas, on vérifie que pour un fort endommagement le comportement s’adoucit. Le code suit le taux de vide résultant de la rupture des particules. Le cas illustré est volontairement celui
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Chapitre V Modèle microstructural d’endommagement d’un fort endommagement supérieur aux données expérimentales dans le but de faire apparaître les différences de comportement global en cas d’endommagement « important ». On note également que le modèle ne prédit pas de forte accélération de l’endommagement résultant d’une possible coalescence.
 mat 1% 1000 mat 2%  mat 3% 900 mat 4%  mat 5%  fe 1% 800 fe 2% 700 fe 3%  fe 4% 600 fe 5% σeq500 400 300 200 100 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 e1  Figure V-1 Renfort selon fraction volumique de particules, comportement matrice et contraintes dans les particules dites « riches en fer » symbolisées fe. 400 2.0% 350 1.8% 1.6% 300 1.4% 250 1 2% . σ1200 1.0%fp 150 0.8% 0.6% 100 comportement sain com rtement endommagé 0.4% po 500.2% fraction de vide 0 0.0% 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 e1 Figure V-2 Adoucissement par endommagement.
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  V.2.2. Caractéristiques élastiques et géométriques des particules Chaque famille de particules est caractérisée par son tenseur des modules d’élasticité, sa forme moyenne, son orientation moyenne, sa fraction volumique. Les propriétés mécaniques intrinsèques des particules étant difficilement connues, nous avons traité toutes les particules observées comme une seule phase. Les caractéristiques retenues sont donc une moyenne de celles des particules observées. Les modules élastiques n’ont pas été mesurés. Nous nous sommes basés sur des résultats de la littérature pour les estimer (Tableau V–1). Les particules sont supposées élastiquement isotropes en l’absence de dommage.   Type de particule E GPaν Reférences Phases au Fe 250 0,21 [HIR82] Al7Cu2Fe 167 [PET95] Fe3 [NAG02]Al 205 Fe3Al 141 [LIU93] Fe3 0,3 [MUK97]Al 164 Fe3AlC0,5175 [SAN97],[BAL98] FeAl 250 [BAK97] FeAl 260 0,3 [SBA00] FeSi 142 [MIL02] FeSi2108 [MIL02] Phases au Si 161 0,2 [KIS96] Phases au Si 177 0,2 [WOR96] Phases au Si 165 0,22 [SIM71] dans du 6061 137 0,28 [BEC94] AlSiGe 134 0,36 [KOE96] Mg2 [PET95]Si 99 Mg2 [ZHA00]Si 120 Mg2 [MIL02]Si 76 Tableau V–1 Modules élastiques des particules dans la littérature. 149
Chapitre V Modèle microstructural d’endommagement
 V.2.2.1. Criticité des modules élastiques des particules Dans ces illustrations préliminaires, les particules sont supposées sphériques. Le comportement de la matrice est celui de l’alliage 5182 avec E = 70 GPa etν = 0,3.Nous avons testé différentes valeurs du module d’Young E et du coefficient de Poissonνdes particules. Elles sont rappelées dans le Tableau V–2 ci dessous :  
E MPaν λ µ λ+ 2µ 130 000 0,3 75 000 50 000 175 000 200 000 0,3 145 953 75 188 296 329 70 000 0,3 51 084 26 316 103 715 130 000 0,1 14 773 59 091 132 955 130 000 0,2 36 111 54 167 144 444 Tableau V–2 Modules élastiques testés. 
 Les niveaux de contraintes atteints dans les particules saines et dans la matrice sont tracés Figure V-3 en fonction de la déformation vraie longitudinale. Nous vérifions bien dans le régime élastique que la contrainte dans les particules ayant les mêmes modules élastiques que la matrice est la même que celle dans la matrice. Nous voyons également que dans le régime élastique, le niveau de contrainte atteint augmente avec le module d’Young. Ensuite dans le régime plastique, quelle que soit la valeur de E, les particules se chargent sensiblement autant par rapport à la contrainte matricielle. Les contraintes dans les particules sont affectées par un changement deνélastique mais dans le régime plastique,dans le régime les particules se chargent également sensiblement autant par rapport à la contrainte matricielle. Les propriétés élastiques des particules influencent donc peu les contraintes dans les particules dans le régime plastique. Ce sont les paramètres d’écrouissage de la matrice qui guident principalement la contrainte dans les particules. Plus les particules sont rigides, plus la matrice se déforme à déformation macroscopique imposée. La connaissance précise du module d’Young et du coefficient de poisson dans les particules n’est donc pas trop critique. Les valeurs E = 130 GPa etν0,3 ont été retenues pour la suite des calculs.=
150
    
1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
0
matrice E = 200GPaν= 0,3 E = 70GPaν= 0,3 E = 130 GPaν= 0,3 E = 130 GPaν= 0,1 E = 130 GPaν 0,2 =
 
300 250 200 150 100 50 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 e1 Figure V-3 Contrainte dans les particules selon leurs modules élastiques.
0.01 0.3
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Chapitre V Modèle microstructural d’endommagement   V.2.2.2. Criticité de la forme des particules  La forme des particules influence d’avantage les niveaux de contraintes atteints dans les particules. Soient 1, 2 et 3 les axes de la particule ellipsoïdale. Les particules sphériques ⎯ ⎯ ⎯ sont notées (10,10,10), et des particules plus allongées dans la direction de traction 1 sont notées (X, 10, 10). Figure V-4, les contraintes équivalentes dans les particules en forme de cigare d’allongement variable, rapportées à la contrainte équivalente dans la matrice, sont tracées. Le niveau de contrainte atteint dans le régime élastique n’est pas notablement influencé par la forme des particules. Par contre, dans le régime plastique, la contrainte équivalente augmente fortement avec le rapport d’aspect des particules.    
4 3.5 3 2.5 2 10 10 10 1.5 15 10 10 1 20 10 10 0.5 25 10 10 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% e1  Figure V-4 Contraintes équivalentes dans les particules normalisées par la contrainte équivalente matricielle selon l’élancement des particules.
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V.2.3.Mécanismes d’endommagement: Rupture des particules L’homogénéisation permet, dans son principe de localisation, d’estimer l’état de contrainte dans les particules correspondant à un état de contrainte macroscopique. Lorsque la contrainte équivalente dans la particule atteint un seuil critique (à expliciter), la particule sendommage[EST99].  Plusieurs types de rupture sont alors autorisés (simple, double ou triple) selon les contraintes principales maximales atteintes dans les particules saines et leurs signes. Les axes 1, 2 et 3 sont désignés tels que les contraintes principales soient dans l’ordre ⎯ ⎯ ⎯ suivant :1|>|σ2|>|σLes conditions suivantes sont explicitées pour déterminer le type de3|. rupture:  
Conditions σ1σ2 σ(sre) ériatR seutpuuppls 3 men - - - aucune        1 + - --2 + -- - +3 - + +σ2 σ32,3 ⎯ ⎯ - + +σ2(β*σ3)2    + - +σ1 σ31,3 ⎯ ⎯ + - +σ1 *σ31  + + -σ1 σ21,2 ⎯ ⎯  + + -σ1 *σ21 + + +σ1 σ2 σ31,2,3   ⎯ ⎯ ⎯  + + +σ1(β*σ2)1 ⎯ ⎯ + + +σ2(β*σ3)1,2   Tableau V–3 Type de rupture selon les signes des contraintes principales. 
 Le ratioβ afixé à 2 de façon arbitraire. Une détermination expérimentale de ce été paramètre semble délicate. Ce ratio est cependant d’influence non négligeable pour des chargements non équibiaxiaux. Il correspond à une transition rupture simple / rupture double.  
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Chapitre V Modèle microstructural d’endommagement
Lorsque le seuil critique de nucléation en contrainte équivalente est atteint, la nature de la rupture s’apprécie ensuite en fonction des valeurs relatives des contraintes principales. Lorsque la particule est rompue transversalement à une direction, cela est traduit dans la modélisation par une chute des modules élastiques Cijkl relativement à cette direction [FAV95]. Les modules ne sont pas mis exactement à zéro, essentiellement pour des raisons numériques, mais à une valeurη.Cij , oùη  1010. Par exemple consécutivement à une rupture normale à l’axe 1, le tenseur d’élasticité prend la forme suivante:  
η.C11η.C12η.C13   η.C12C22.(σo/σeq) C23.(σo/σeq) η.C13C23.(σo/σeq) C33.(σo/σeq)  C44.(σo/σeq)     η.C55      η.C66 Tableau V–4 Tenseur délasticité dune particule rompue de rupture normale à laxe 1. 
 On note que les modules transverses aux contraintes menant à la rupture chutent à zéro mais qu’également, les autres modules sont diminués pour tenir compte du fait que la particule endommagée est un biphasé vide/particule. Dans une première approximation de type laminé dans la direction de rupture, la décroissance de module devrait alors être proportionnelle à (1-f) où f est la fraction de vide dans la particule même. La modélisation au sens numérique ne permettant pas l’usage simple de ce correctif, il a été remplacé par le ratio (σo/σeq) par pure commodité. Consécutivement à une double rupture normales aux axes 1 et 2, le tenseur ⎯ ⎯ d’élasticité prend la forme suivante:  
η.C11η.C12η.C13   η.C12η.C22η.C23   η.C13η.C23C33.(σo/σeq)    η.C44      η.C55      η.C66 ⎯ ⎯ Tableau V–5 Tenseur délasticité dune particule rompue de double  rupture normales aux axes1 et 2.  Une fois endommagées, les particules vont se déformer, selon certaines directions, comme des domaines peu résistants. Par souci de simplicité, les cas de multi-endommagements successifs ne sont pas autorisés. Ils demanderaient de subdiviser les
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familles en sous-groupes aussi riche que le multi-endommagement apparaissant. Par ailleurs, le multi-endommagement progressif unidirectionnel n’a pas été envisagé avec ce type de modélisation puisque le module élastique devient quasiment zéro dès une première fracture. Il s’agit de fait d’inclusions homogènes équivalentes aux particules endommagées. On suppose qu’elles restent de forme ellipsoïdale, leurs demi-axes étant dans le repère principal des déformations. Pour l’endommagement d’une famille unique de particules, la fraction de particules endommagées f ramenée à la fraction totale de particules ft, sans pré-endommagement, est décrite par une loi de type Weibull:  
σF=ftf=1-expkσ0qe1n siσeq≥ σ0et F=0 sinon, V-1 Eq.
 La contrainte équivalente dans les particules saines est la variable mécanique qui pilote lendommagement.  Toutes les particules ne s’endommageant pas expérimentalement pour une même déformation macroscopique, cette progressivité de l’endommagement est représentée par les paramètres k et n. Ainsi, pour la contrainte critiqueσ0, la fraction volumique de particules endommagées ne passe pas brutalement de zéro à un. Cette progressivité masque l’instantanéité de la chute des modules élastiques.  Mécanisme de décohésion  L’état de contrainte et de déformation dans une interface particule-matrice est très inhomogène et ne peut pas se simplifier en un état moyen (contrairement à l’état de contrainte dans la particule). En effet, il y a toute une distribution de contraintes le long de l’interface entre le pôle face à la contrainte maximale macroscopique et l’équateur correspondant. Dans notre modélisation, il paraît délicat de traduire cette complexité. Un critère propre de décohésion devrait faire intervenir de façon couplée les états de contraintes et de déformations dans les particules et la matrice et impliquer une contrainte critique d’interface. Pour simplifier, une première possibilité est de décrire la loi de décohésion de manière similaire à la loi de rupture. Cette solution a été utilisée précédemment par Favier [FAV95]. Il
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