Etude de l'endommagement pendant la mise en forme à froid de tôles d'aluminium

Grenier Jean-Christophe

Description

ANNEXE B : Iso-contrainte et Iso-déformation théoriques Expression de ε pour les différents trajets correspondant une iso contrainte σ , dans un L Lcas référence de comportement homogène isotrope. Représentations CLF. nSoit une loi puissance σ = σ + k(ε ) représentant le comportement macroscopique eq 0 eqd’un matériau homogène. On peut écrire, en admettant la porosité assez petite pour que tr(ε) ≈0, pour les différents types de sollicitation dans le plan d’une tôle qui couvrent le domaine des CLF: 1⎡ ⎤L 2 ⎢ ⎥ε = 2 / 3 ε 2(1+a +a ) avec ε = ε a = Dε , a∈(-1,1) eq L ⎢ ⎥⎢ ⎥− (1+a)⎣ ⎦ 1⎡ ⎤2 ⎢ ⎥σ = σ 1−b +b avec σ = σ b , eq L L ⎢ ⎥⎢ ⎥0⎣ ⎦b∈(-1,1) 2 −b⎡ ⎤⎢ ⎥et Dσ = (σ /3) 2b −1 . L ⎢ ⎥⎢ ⎥− (b +1)⎣ ⎦ L représente la direction de laminage et correspond simultanément à la déformation maximale et à la contrainte maximale. Ceci permet d’écrire : 1/n 1/n2⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ 1−b+b −σσ −σ 3/ 2 L 3/ 2eq 0⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ε = = L ⎜ k ⎟ 2 ⎜ k ⎟ 21+a +a 1+a +a⎝ ⎠⎝ ⎠211 Annexe B Il vient, en se plaçant à une même valeur de σ quel que soit le trajet (iso σ ) : L L 1/n2( 1−b +b −C) ε (σ ) ≡ E(a,b,C,n) = , L L21+a +a1/n2( 1−b +b )et si C = (σ /σ ) est « assez petit » : ε (σ ) ≅ E (a,b,n) = 0 L L L 021+a +a . L’expérience donne, pour les alliages considérés : 1 < 1/n < 2. En conséquence, ces iso-contraintes maximales sont encadrées par : 22 21−b +b −C ( 1−b +b −C)1 1 2 2 ε (σ ) ≡ E (a,b,C) = et ε ...

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• Langue: Français

Extrait

ANNEXE B : Isocontrainte et Isodéformation théoriques Expression deε L pour les différents trajets correspondant une iso contrainteσ L , dans un cas référence de comportement homogène isotrope. Représentations CLF. n Soit une loi puissanceσ eq  =σ 0 k( +ε eq ) représentantle comportement macroscopique d’un matériau homogène. On peut écrire, en admettant la porosité assez petite pour que tr(ε) ≈ dans le plan d’une tôle qui couvrent le0, pour les différents types de sollicitation domaine des CLF: ⎡ 1 ⎤ L 2 ⎢ ⎥ ε eq = 2/ 3 ε 2(1+a+a) avecε=ε L a = Dε, a∈(1,1) ⎢ ⎥ ⎢ −(1+a) ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 ⎤ 2 ⎢ ⎥ σ eq =σ L 1−b+b  avecσ=σ L b , ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ b∈(1,1) ⎡ 2−b ⎤ ⎢ ⎥ et Dσ= (σ L /3) 2b−1 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −(b+1) ⎣ ⎦ L représente la direction de laminage et correspond simultanément à la déformation maximale et à la contrainte maximale. Ceci permet d’écrire : 1/n 1/ n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 σ eq −σ 3 / 2 σ L 1−b+b−σ 0 3 / 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟  ε L = = ⎜ k ⎟ ⎜ k ⎟ 2 2 1+a+a1+a+a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Annexe B

Il vient, en se plaçant à une même valeur deσ L quel que soit le trajet(isoσ L ) : 1 /n 2 ( 1−b+b−C ) ε L (σ L )≡E(a,b,C,n) =, 2 1+a+a 1 /n 2 ( 1−b+b ) et si C = (σ 0 /σ L ) est «assez petit » :ε L (σ L )≅E 0 (a,b,n) = 2 1+a+a  . L’expérience donne, pour les alliages considérés :1 < 1/n < 2. En conséquence, ces isocontraintes maximales sont encadrées par : 2 2 2 1 1 1−b+b−C 2 2 ( 1−b+b−C )  ε L (σ L )≡ E(a,b,C) =etε L (σ L )≡ E(a,b,C) =, 2 2 1+a+a1+a+a et, lorsque que C est assez petit pour être négligé (ce n’est généralement pas le cas) : 2 2 1 1 1−b+b 2 2 1−b+b  ε L (σ L )≅E (a,b,0) == etε L (σ L )≅(a,b,0) = E. 2 2 1+a+a1+a+a Selon le tableau des valeurs de a et b pour les sollicitations «fondamentales »du 1 2 diagramme CLF, on obtient les valeurs correspondantes des 2 fonctions Eet E. 1 2  a bE E 2 Cis 11 3 C( 3C) 2 Tr 0.50 2(1C)/ 32(1C) /3 2 Tr Pl0≈ 0.5 ( 3/2)C ((3 /2)C) 2 Tr B1 1 (1C)/ 3(1C) /3

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Pour chaqueε L associéedéformation transverse, on a ensuite laε T = aε L , ce qui permet de représenter ces isocontours dans un diagrammeε T ,ε L . 1 2 La figure cidessus reporte les fonctionsE (a,b,C) et E (a,b,C)pour C=0 et C=1/2, avec la forme elliptique de l’isodeformation (ou isocontrainte) equivalente, tandis que la droite horizontale pointillée indique une isodeformation maximale, et les droites pointillées obliques, ensemble, une isodeformation normale, en valeur absolue|ε N |= ε N =ε L +ε T . 1 2 Ces fonctions E , Ene représentent donc qu’une forme type pour les iso contraintes maximalesε L (σ L ).

1 , 5

1

0 , 5

0  1 , 5 1 0 , 50 0, 51 1, 5

 0 , 5

 1

n = 1 ,C = 0 n = 0 , 5 ,C = 0  n = 1 ,C = 1 /2  n = 0 , 5 ,C = 1 /2

 1 , 5 On constate qu’à mesure queσ L augmente, donc que le terme C diminue, la forme des iso contraintes maximales s’éloigne du forme «en V», càd d’une déformation critiqueε L plus faible en tractionplane. Toutefois, les valeurs usuelles deσ 0 plutot telle que à sont rupture, on atteindune valeur de C de l’ordre de 1/2, guère inférieure. Si la loi puissance ici utilisée est supposée représenter le comportement local réel du matériau en l’absence de dommage, on observera, en présence d’un dommage une loi modifiée reliant contraintes et déformations apparentes,σetε.

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Annexe B

Dans un cas simple de dommage scalaire D, on a doncσ=(1D)σetε=ε/(1D). Mais dans la représentation cidessus, d’iso contrainte maximale vrai, seule la déformation est à modifier, et l’on s’attend à oberver la loi : ε L (σ L ) =ε L (σ L )/(1D) dans laquelle D sera une fonction du trajet de sollicitation, c’est à dire de a et/oude b. Ceci illustre que selon l’expression du dommage en fonction des contrainte ou des déformations dansle matériau, les différentes formes d’isocontours cidessus seront modifiées de manières différentes. Si le dommage est une fonction de l’une des contraintes ou déformations cidessus considérées, les isocontours relatifs à cette même contrainte ou déformation resteront de forme inchangée, mais les autres changeront de forme.

α(σ −σ) exp eq c −1 Par exemple, si D est seulement fonction deσ eq exemple D, par≈ ,on α(σ −σ) exp eq c aura : α(σ −σ) ε L (σ L ) =ε L (σ L ) exp eq c 1 /n 2 ( 1−b+b−C ) α(σ1−b+b2−σ) ≡ exp c L 2 1+a+a Le terme correctif est, du fait de b, plus faible selon la traction plane que selon à la fois la traction simple et la traction biaxiale. La présence du dommage, et la dépendance de celuici, plutôt en contrainte équivalente, devrait conduire à des isocontraintes maximales se creusant en V, par une plus faible déformation apparente ε L  ,en traction plane que selon les autres trajets.

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