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Etude de l'interaction roue-diffuseur dans une pompe centrifuge

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Chapitre 1 : Etude bibliographique Chapitre 1 Etude bibliographique 1.1. Introduction Les pompes et les compresseurs centrifuges ont atteint des niveaux d'efficacité de l’ordre de 90% et des puissances de quelques watts à quelques mégawatts. Les roues centrifuges à aubes équipant les pompes et les compresseurs font partie des machines les plus complexes jamais construites, dont le développement le plus rapide s’est produit dans les 60 dernières années. Le premier dispositif censé avoir fonctionné comme roue centrifuge aubée a été découvert à San Domingos au Portugal. C’est une roue avec 10 aubes en bois à double courbure, elle date approximativement du cinquième siècle ème(Engeda 1998). Au 16 siècle, des ventilateurs centrifuges avaient été utilisés pour la ventilation des mines. Il est admis que l'origine de la roue à aubes centrifuge est attribué au physicien et inventeur français Denis Papin en 1689. Sa contribution se situe dans la compréhension du concept de créer, à l'aide d’un aubage, un vortex dans une enveloppe circulaire ou spirale. Le mathématicien Leonhard Euler a présenté dans un mémoire en 1754 une application théorique la loi de Newton dans le cas de la roue centrifuge à aubes. Cette application théorique est à l’origine de ce qui est maintenant universellement connu comme l’équation d'Euler. La publication de son équation a stimulé le développement des turbines hydrauliques au 18ème siècle. Juste avant la publication d'Euler, John ...

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Chapitre 1 : Etude bibliographique  
Chapitre 1
 
Etude bibliographique
 
1.1. Introduction Les pompes et les compresseurs centrifuges ont atteint des niveaux d'efficacité de l’ordre de 90% et des puissances de quelques watts à quelques mégawatts. Les roues centrifuges à aubes équipant les pompes et les compresseurs font partie des machines les plus complexes jamais construites, dont le développement le plus rapide s’est produit dans les 60  dernières années. Le premier dispositif censé avoir fonctionné comme roue centrifuge aubée a été découvert à San Domingos au Portugal. C’est une roue avec 10  aubes en bois à double courbure, elle date approximativement du cinquième siècle (Engeda 1998). Au 16 ème  siècle, des ventilateurs centrifuges avaient été utilisés pour la ventilation des mines. Il est admis que l'origine de la roue à aubes centrifuge est attribué au physicien et inventeur français Denis Papin en 1689 . Sa contribution se situe dans la compréhension du concept de créer, à l'aide d’un aubage, un vortex dans une enveloppe circulaire ou spirale. Le mathématicien Leonhard Euler a présenté dans un mémoire en 1754  une application théorique la loi de Newton dans le cas de la roue centrifuge à aubes. Cette application théorique est à l’origine de ce qui est maintenant universellement connu comme l’équation d'Euler. La publication de son équation a stimulé le développement des turbines hydrauliques au 18ème siècle. Juste avant la publication d'Euler, John Smeaton a présenté en 1752  l'utilisation des modèles dans l'étude de turbomachine. La commercialisation en 1818  de pompes centrifuges par un fabriquant de pompes du Massachusetts aux Etats-Unis a représenté un tournant dans l'histoire des roues centrifuges. La pompe du Massachusetts, conçue selon la théorie de Papin, avait une roue ouverte avec des aubes tangentielles droites tournant dans une enveloppe de section rectangulaire loin de ressembler aux volutes actuelles.  
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Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
Après la théorie de Papin, Combos a présenté en 1838  un travail traitant les aubes incurvées et l'effet de la courbure, qui s'est plus tard avéré être un facteur important dans le développement de la roue centrifuge. En 1839 , W. Andrews a présenté l'enveloppe volute appropriée et en 1846 , il a utilisé une roue à aubes entièrement enveloppée. James Thomson, en 1850 , a suggéré l'utilisation d'une chambre de tourbillon, qui a permis à la pompe centrifuge en un seul étage d'être utilisée économiquement pour des hauteurs d’aspirations plus élevées. Pendant la grande exposition de l'Angleterre en 1851 , plusieurs conceptions de pompes ont été présentées et comparées. La pompe d'Appold avec les aubes incurvées a montré une efficacité de 68% , trois fois mieux que n'importe quelle pompe présentée. La conception d'Appold a attiré beaucoup d'attention en raison de sa simplicité, compacité, et son rendement élevé. Depuis, le développement de la pompe centrifuge s’est accéléré. La première étude complète de l'écoulement dans une roue aubé est celle de K. Fischer et D. Thoma (Investigation of the Flow Condition in a Centrifugal Pump, « Transactions of the ASME , Vol. 54, 1932 » , dans laquelle ils ont prouvé que pratiquement toutes les conditions de l'écoulement pour un fluide réel étaient différentes de celles théoriquement dérivées pour un fluide parfait. Les roues centrifuges sont actuellement employées dans un large éventail de pompes, de petites turbines à gaz, de turbocompresseurs, et de réfrigérateurs, et sont utilisées intensivement dans les industries. Les applications de pompes peuvent être classifiées en quatre secteurs principaux : Production d'électricité, approvisionnement en eau, utilisations environnementales, et applications industrielles, semi- industrielles et générales. Aujourd'hui, une pompe centrifuge avec une hauteur de 850  m d’eau  par étage, correspondant à une vitesse tangentielle d'environ de 135 m/s  est disponible. Les roues centrifuges à rendement élevé de compresseur peuvent réaliser des rapports de pression au-dessus de 10 par étage. Le fonctionnement de la roue d'une turbomachine est fortement influencé par son environnement. Pour une machine centrifuge, la présence d'un diffuseur aubé en aval de la roue est à l'origine d'une distorsion non négligeable de l'écoulement du fait de l’interaction des deux rangées d'aubes. Elle entraîne une dégradation du fonctionnement des deux éléments.
 
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Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
L'écoulement confiné à la turbomachine est intrinsèquement instationnaire. Le mouvement turbulent des particules fluides constitue la première source d'instationnarités. De plus, il existe en turbomachine un certain nombre de caractéristiques supplémentaires propres à rendre l'écoulement instationnaire. Parmi celles-ci nous pouvons citer la vibration de structures, les déformations mécaniques, le mouvement des roues aubées et les variations de la vitesse de rotation. La compressibilité du fluide est également un facteur de modification du comportement instationnaire de l'écoulement en circuit. Ces phénomènes instationnaires sont d'origines très différentes et on distingue trois classes de régimes (Bert 1996) : 1. Les régimes purement instationnaires associés à des phénomènes transitoires et non-périodiques en temps. 2. Phénomènes instationnaires périodiques présents hors du régime nominal. 3. Phénomènes instationnaires périodiques indépendants du régime de fonctionnement.
1.1.1. Les régimes purement instationnaires non périodiques en temps et associés à des phénomènes transitoires On peut observer ce type d’instationnairité lorsqu’il y a un changement dans les conditions de fonctionnement, par exemple la variation des conditions en amont et/ou en aval, ou la modification de la vitesse de rotation. Ces régimes de durée très faible, affectent énormément les caractéristiques des machines.
1.1.2. Phénomènes instationnaires périodiques présents hors nominal Ces phénomènes se caractérisent par des pertes de rendement de la machine, lorsque les conditions de fonctionnement de celle-ci s'écartent trop de son point de fonctionnement nominal (Greitzer 1981). Quatre types de phénomènes peuvent alors apparaître : le pompage, le décollement tournant, le flottement et la cavitation.
1.1.3. Phénomènes instationnaires périodiques indépendants du régime de fonctionnement Ces phénomènes instationnaire sont souvent désignés par le terme « d'interaction rotor-stator », leur présence est liée soit au profil des aubages, soit au déplacement relatif des différentes rangées d'aubages (Giles 1989). On observe deux types d'instationnarités :
 
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Les phénomènes instationnaires établis dans le repère de la roue où ils sont crées. Les phénomènes stationnaires dans un repère lié à une rangée d'aubes, mais qui deviennent instationnaires par la présence d’autres rangées d’aubes. Tout écoulement local fluctuant autour de l'écoulement moyen devient instationnaire dans un repère en mouvement relatif. Quel que soit le type de turbomachine et son point de fonctionnement, les interactions roue-diffuseur se manifestent sous la forme d'un écoulement instantané secondaire superposé à l'écoulement moyen. On distingue quatre types d'interactions : l'interaction potentielle, l’interaction du tourbillon de Von Karman ,  l'interaction tridimensionnelle visqueuse et l'interaction de sillage.
1.1.3.1. Interaction potentielle Cette interaction est une cause d'instationnarités car la pression dans la région située entre la rangée mobile et la rangée fixe se décompose approximativement en trois parties, une partie stationnaire et uniforme, une partie non- uniforme stationnaire dans le repère de la roue et une partie non- uniforme stationnaire dans le repère du diffuseur. Ce type d'interaction se distingue de l'ensemble des interactions d'aubage car il est indépendant des phénomènes convectifs. Sa direction de propagation est indistinctement l'amont ou l'aval. La déformation des lignes de courant sous l'effet de l’obstacle que constitue le bord d'attaque est essentielle, elle complique énormément les problèmes de couplage pour les machines à faible entrefer. Dring (1982), a étudié l'évolution de la pression instationnaire dans une turbine à basse vitesse en fonction de l'entrefer stator- rotor et pour trois débits différents. L'augmentation du coefficient du débit se traduit par une augmentation de la fluctuation qui est proportionnelle à la distance du bord d’attaque. Cette interaction qui n’est pas d’origine visqueuse génère des efforts et des moments instationnaires non négligeables sur les aubages, et peut être à l’origine de modifications de la portance des aubages dans les machines de faible entrefer (Gallus 1982). Pour une pompe, la fréquence f d des fluctuations observées par le diffuseur dépend de la vitesse de rotation angulaire  de la roue et du nombre d'aubes Z R de celle-ci : f d = Z 2 R π 1. 1
 
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Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
Sur la partie mobile, la fréquence f r  des fluctuations dépend aussi de  et du nombre d'aubes Z D du diffuseur : fZ ⋅ Ω  1. 2 D = r 2 π
1.1.3.2. Interaction de tourbillon Von Karman A l’arrière d’un aubage, il existe dans certains cas des tourbillons analogues au vortex de Von Karman observé derrière un cylindre, dont la fréquence de détachement f  dépend du nombre de Strouhal S t : f S t V  1. 3 = L 0 Ces structures tourbillonnaires sont observées pour un nombre de Reynolds local compris entre 60 et 10 4 avec un Strouhal de 0.21 .   
 
 Figure 1. 1 : Schématisation de l’écoulement 5
 
Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
1.1.3.3. Interaction tridimensionnelle visqueuse Les écoulements secondaires répertoriés dans les canaux inter-aube de turbomachine sont (figure 1.1, exemple d’une machine axiale) : Le tourbillon de passage lié à la déviation de l’écoulement par les aubes. Le tourbillon de coin résultant de l’interaction de la couche limite d’aubage avec celles de ceinture et du plafond. Le tourbillon de jeu présent uniquement dans les machines non carénées.  Dans une pompe centrifuge, le tourbillon de passage est également affecté par la forme coudée du canal de la roue constitue la principale source d’interaction visqueuse.
1.1.3.4. Interaction de sillage Le sillage de l’aubage est un phénomène de nature purement visqueuse. Son origine réside dans le développement des couches limites sur l’aubage. En aval de l’aube mobile, la réunion de la couche limite du coté en dépression et de celle du coté en pression forme le sillage d’aubage. Dans les turbomachines radiales, le développement des couches limites se différentie des turbomachines axiales par le changement de rayon qui conduit à une augmentation des forces centrifuges et de Coriolis liées à la rotation des canaux. Dans une machine radiale, le champ de vitesse sur le côté en pression et sur le côté en dépression est fortement influencé par les forces centrifuges liées à la rotation et à la courbure des lignes de courants. Moore (1973), et Johnston (1976) ont étudié la stabilisation ou la déstabilisation des couches limites sous l’effet conjugué de la courbure et de la rotation, (figure 1.2). Pour une paroi convexe de rayon R 0 ( R 0 est positif si la paroi est convexe et est négatif si la paroi est concave), l’ensemble du fluide tourne avec une vitesse de rotation ( positive si elle tourne dans le sens trigonométrique). Les accélérations centrifuge A c y et de Coriolis A y , selon l’axe y , peuvent être déterminées par : U 2 = A c y R 0 + y  1. 4 A y = 2 U  1. 5  6
Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
et selon l’axe x : A c x = A c y V  1. 6 U A x = − A y V  1. 7 U Dans une couche limite de faible épaisseur, l’accélération selon la direction longitudinale (x) est plus faible que celle dans la direction normale (y), car V << U . L’épaisseur de couche limite pour une paroi concave est moins importante que pour une paroi convexe, mais les gradients de vitesse sont plus importants. Examinons l’effet de la courbure et de la rotation. Si on sépare l’effet de la courbure de l’effet de la rotation, chacune stabilise ou déstabilise l’écoulement dans la couche limite comme conséquence de l’accélération A c y  ou A y  séparément. La figure 1.3 résume la stabilité et l’instabilité de l’écoulement selon l’effet de courbure et l’effet de rotation pris séparément.  
y U e δ U
R 0
x
 Figure 1. 2 : Effet de courbure sur la couche limite
  Dans la couche limite, les paramètres utilisés pour déterminer le signe et le module de l’effet de stabilité sont les nombres de Richardson R i c , R i ⋅Ω : U / 0   = R i c U/R y  1. 8  7
Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
R ⋅Ω =2       1. 9 i U / y Le nombre de Richardson R i c  détermine la stabilité de la couche limite sur une surface convexe ou concave. Pour R i . c > 0 , un faible échange turbulent avec l’écoulement sain conduit à une stabilisation de la couche limite. Pour R i .c < 0 , un mélange turbulent plus important conduit à une instabilité de la couche limite. Le nombre de Richardson R i ⋅Ω représente le rapport entre la force d’inertie 2 U et la quantité U ( U / y ) . Il détermine la stabilité de la couche limite sur une plaque en rotation. Ainsi pour R i ⋅Ω > 0 , la couche limite est stable. Pour R i ⋅Ω 0 , la couche limite est instable. L’épaississement d’une couche limite stable dans la direction de l’écoulement provoque un décollement de cette couche limite.    
  
StableCourbureInstable y y U R 0 <0 U
R 0 >0
Convexe Concave StableRotationInstable
y
U
<0
y
U
>0
  Figure 1. 3 : Effet de courbure et de rotation 8
Chapitre 1 : Etude bibliographique  
ξ b
R b
 
 
R a
 Figure 1. 4 : Lignes des courbures
a
r
 
 
 Les études concernant les machines radiales montrent que l’écoulement interne est fortement tridimensionnel, et un autre décollement des couches limites peut être observé coté ceinture, dû à la décélération de l’écoulement entre l’entrée et la sortie de la roue. La convexité de la paroi de ceinture ajoute un effet stabilisateur sur la turbulence qui diminue les échanges d’énergie et augmente l’épaisseur de couche limite. Au contraire, le plafond, concave, a un effet déstabilisateur et contribue à retarder le décollement. L’analyse des forces qui agissent sur une particule fluide dans un canal en rotation à la vitesse montre que la particule est soumise aux forces suivantes (figure 1.4) (Balje 1978) : La force liée à la courbure de rayon R a  du canal dans le plan aube à aube et à la courbure de rayon R b du canal méridien s’écrit respectivement sous la forme : 2 F 1 = ρ W co R a  1. 10 W 2 1. 11 F co 2 = ρ           R b La force de Coriolis : F ca = 2 ⋅ ⋅ W  1. 12 La force centrifuge : F ce = ρ U 2  1. 13 r 9
 
Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
La force liée au gradient de pression dans le plan aube à aube et le long de la direction méridienne soit : F p = ddpa  1. 14 1 F p 2 = ddpb  1. 15 A un rayon r, l’équilibre dans le plan aube à aube d’une particule fluide au sein de l’écoulement s’exprime par : ddpa =ρWR 2 Ur 2 Sin ξCos ζ + 2 W Sin ξ 1. 16 a En regroupant les termes relatifs au rayon ainsi que les termes relatifs à la vitesse W , on obtient : ddpa =ρWa 2 a a + 2 a Sin ξ 2 r Sin ξCos ζ    R W
dp =ρW 2 ( R + R ) − Ω 2 r Sin ξCos ζda i .c i .      a Dans la direction méridienne, l’équilibre de la particule fluide est donné par : ddbp =ρCr u2 Cos ξW 2 RS b in 2 ζ       ce qui conduit à :       ddp =ρCr u2 Cos ξWb 2 Rb b Sin 2 ζb
1. 17
1. 18 1. 19
1. 20
ddbp =ρCr u2 Cos ξWb 2 Sin 2 ζ ⋅ R i .c  1. 21 La répartition de vitesse du fluide dans le canal inter-aube dépendant essentiellement de la géométrie de la roue et des conditions de fonctionnement : W = 2 Ω ⋅ a Sin ξ+ a  1. 22 W m W m R a
 
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Chapitre 1 : Etude bibliographique   
 
L'équation 1.17 indique que les particules fluides qui se trouvent à un rayon r , sont en équilibre seulement pour une vitesse relative moyenne W m  donnée, les particules dont la vitesse est supérieure à la moyenne auront tendance à se déplacer vers le coté en pression ; par contre, les particules dont la vitesse est inférieure à la moyenne auront tendance à s’accumuler sur le coté en dépression. Dans la direction méridienne, les particules dont la vitesse est supérieure à la moyenne auront tendance à se déplacer vers le plafond (équation 1.20), en revanche, les particules de faible vitesse sont transportées vers la ceinture. L'accumulation des particules d'énergie élevée sur le côté en pression et le plafond augmente la vitesse de l’écoulement, ce qui a pour conséquence de retarder le décollement des couches limites. Par ailleurs, une vitesse relative plus importante sur le côté en pression implique un champ de vitesse qui s’écarte du modèle potentiel pour lequel le gradient de vitesse dans le plan aube à aube est positif du côté en pression vers le côté en dépression. L’accumulation des particules de faible énergie sur le côté en dépression et sur la ceinture diminue la vitesse de l’écoulement, de sorte que la diffusion de l'écoulement est plus prononcée que celle prévue par le modèle potentiel, ce qui accentue la tendance au décollement. Ainsi, la distribution de vitesse entre le côté en pression et le côté en dépression s’écarte du modèle potentiel, et la distribution de l'énergie cinétique devient fortement non uniforme.  
 
W 2.J
β 2
Jet
Particules d'énergie  élevée
Sillage
W 2.S
R 2 Particules de faible énergie
 Figure 1. 5 : Structure jet- sillage 11