étude du signe d'une expression

Costantini

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FICHE MÉTHODE : ÉTUDIER LE SIGNE D'UNE EXPRESSIONEn Mathématiques, on est souvent amené à étudier le signe d'une expression. Cela peut se produire lors de l'étude des variations d'une fonction(car le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction). Cela peut également se produire lors de l'étude de la position d'une courbe parrapport à une autre. Ou, tout simplement, pour établir certaines inégalités.Le problème de l'étude du signe, c'est que, suivant la nature de l'expression, la stratégie n'est pas toujours la même. Tantôt, le signe est immédiat,tantôt on procède à une factorisation puis on dresse un tableau de signes, tantôt on peut obtenir le signe en manipulant des inégalités. L'objectif decette fiche méthode est de vous présenter ces différentes stratégies possibles.Exemple 1 : cas où le signe est immédiatement visible (ou presque !)2 - xSoit ƒ la fonction définie, sur  , par : ƒ(x) = -( x + 2x + 2) ePréciser le sens de variation de la fonction ƒ.SOLUTION :Nous savons que le sens de variation de ƒ est donné par le signe de sa dérivée ƒ'. Calculons donc ƒ'.2ìïux()=-(x +2x+2)La fonction ƒ est du type : ƒ = uv avec í -xïvx()=eîOn a donc : ƒ'= u'v + uv'- x 2 -xCe qui donne : ƒ'(x) = (-2x - 2) e - ( x + 2x + 2) · (- e )-x 2 - xEn factorisant par e , puis en réduisant : ƒ'(x) = x e2 -xOr, on sait que : x  0 et e > 0 pour tout réel xOn a donc : ƒ'(x)  0 pour tout réel xConclusion : la fonction ƒ est strictement croissante sur  ...

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Extrait

FICHE MÉTHODE : ÉTUDIER LE SIGNE D'UNE EXPRESSION En Mathématiques, on est souvent amené à étudier le signe d'une expression. Cela peut se produire lors de l'étude des variations d'une fonction (car le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction). Cela peut également se produire lors de l'étude de la position d'une courbe par rapport à une autre. Ou, tout simplement, pour établir certaines inégalités. Le problème de l'étude du signe, c'est que, suivant la nature de l'expression, la stratégie n'est pas toujours la même. Tantôt, le signe est immédiat, tantôt on procède à une factorisation puis on dresse un tableau de signes, tantôt on peut obtenir le signe en manipulant des inégalités. L'objectif de cette fiche méthode est de vous présenter ces différentes stratégies possibles. Exemple 1 : cas où le signe est immédiatement visible (ou presque !) 2−x Soitla fonction définie, sur, par :(x)=−(x+2x+2)e Préciser le sens de variation de la fonction. SOLUTION : Nous savons que le sens de variation deest donné par le signe de sa dérivée'. Calculons donc'. 2   u(x)= −(x+2x+2)  = La fonctionest du type :uvavec  −x v(x)=e  On a donc :'=u'v+uv' −x2−x Ce qui donne :'(x)=(−2x−2)e−(x+2x+2)×(−e) −x2−x En factorisant pare, puis en réduisant :'(x)=xe 2−x Or, on sait que :x0 etepour tout réel> 0x On a donc :'(x)0 pour tout réelx Conclusion : la fonctionest strictement croissante sur.

Exemple 2 : cas où l'on dresse un tableau de signe −2−2 Résoudre, dans, l'inéquation :+0 2−2x1−2x SOLUTION : Le signe d'un produit ou d'un quotient est généralement plus simple à étudier que celui d'une somme. Nous allons donc, ici, réduire au même dénominateur : −2(1−2x)−2(2−2x) 0 (2−2x)(1−2x) 8x−6 En réduisant le numérateur :0 (2−2x)(1−2x) 4x−3 En simplifiant par 2 :0 (1−x)(1−2x) 4x−3 Et comme (1−x)(1−2x)=(x−1)(2x−1), on a finalement :0 (x−1)(2x−1)

Nous pouvons maintenant dresser un tableau de signes :

1 3 Iax ∞ 1 +∞ 2 4 Signe de 4x−3− − 0 + + Signe dex−1−− − 0 + Signe de 2x−1− 0 ++ + Signe du quotient − + 0 − + 1 3 Conclusion :S=] ; ]∪]1 ;+∞[ 2 4 Fiche méthode : étude de signePage1

Calculs et justifications des signes 3 4x−30⇔x 4 x−10⇔x1 1 2x−10⇔x 2

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Exemple 3 : cas où l'on manipule des inégalités 1 Soitgla fonction définie sur [1 ;+∞[ parg(x)=1,1x+ .Étudier les variations degsur [1 ;+∞[. (BAC ES 2001) x 1 SOLUTION : comme dans l'exemple 1, calculons la dérivéeg'deg:g'(x)=1,1− 2 x 2 1,1x−1 Réduisons au même dénominateur :g'(x)= 2 x On pourrait factoriser le numérateur puis faire un tableau de signes. Mais, il y a plus simple : On sait que :x1 2 On ne change pas le sens de l'inégalité car la fonction En élevant les deux membres "au carré" :x1 2 + x a xest strictement croissante sur. 2 En multipliant par 1,1 :1,1x1,1 > 1 2 D'où :1,1x−1 > 0 On en déduit :g'(xpour tout) > 0x1 La fonctiongest donc strictement croissante sur [1 ;+∞[.

Exemple 4 : inéquation avec logarithmes et second degré

Résoudre l'inéquation :

2 ( lnx ) −lnx−420

SOLUTION : contrainte :x> 0. On poseX=lnxafin de se ramener à une inéquation du second degré enX:

2 X−X−420 2 On calcule le discriminantΔ=b−4ac=169 (a=1 ;b=−1 etc=−42). On obtient deux racines distinctes : −b−− Δb+ Δ X 1 ==−6 etX 2 ==7 2a2a Rappel : lorsqueΔ> 0, on a : 2 D'où la factorisation :X−X−42=(X−7)(X+6) 2 ax+bx+c=a(x−x 1 )(x−x 2 ) Notre inéquation s'écrit :(lnx−7)(lnx+6)0 On conclut avec un tableau de signes : Ax 0 +∞ Calculs et justification des signes −6 7 e e signe de lnx−7 7 − − 0 + lnx−70⇔ lnx7⇔xe −6 signe de lnx+6 − 0 + + lnx+60⇔ lnx−6⇔xe signe du produit+ 0 − 0 +

−6 7 Conclusion :S=]0 ; e ]∪[e;+∞[ Exercices proposés : x 1) Soitϕ la fonction définie surpar :ϕ(x)=e−(x+1) Dresser le tableau de variation deϕ. En déduire le signe de la fonctionϕ. En déduire que la courbe de la fonction exponentielle est situéeau dessusde la droite d'équationy=x+1. (Voir aussi l'exercice proposé n° 1 de la fiche méthode : "positions relatives de deux courbes") x x2x 2) Résoudre,dans, les inéquations : (e−2)(e−3)0 et (x−x)e0.  1  3) Soitla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :(x)= x+ lnx−2x.   x 2 (x−1)(lnx−1) Démontrer que l'on a :'(x)=. En déduire le tableau de variation de. 2 x 2 −t−t 4) Démontrerque, pour toutt∈[1 ; 2], on a :e−e0.

Fiche méthode : étude de signe

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