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- L'analyse de la variance en psychologie - article ; n°1 ; vol.49, pg 341-358

De
19 pages
L'année psychologique - Année 1948 - Volume 49 - Numéro 1 - Pages 341-358
18 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
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J.-M. Faverge
III. - L'analyse de la variance en psychologie
In: L'année psychologique. 1948 vol. 49. pp. 341-358.
Citer ce document / Cite this document :
Faverge J.-M. III. - L'analyse de la variance en psychologie. In: L'année psychologique. 1948 vol. 49. pp. 341-358.
doi : 10.3406/psy.1948.8365
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1948_num_49_1_8365Ill
L'ANALYSE DE LA VARIANCE EN PSYCHOLOGIE
par J.-M. Fäverge
L'analyse de la variance est une méthode statistique servant à
exploiter les résultats d'expérimentations disposées suivant certains
plans. Elle a été conçue par R. A. F'isher dont le livre Statistical
methods for research Workers (lre édition) a paru en 1925. Son champ
d'application initial a été l'expérimentation agricole et, peu à peu,
elle a intéressé les chercheurs travaillant dans d'autres domaines.
Il semble que Grutchfield (12) ait été le premier (1938) à en pro
poser l'utilisation en psychologie. Jusqu'à une période très récente,
on ne rencontre dans la littérature que quelques mémoires destinés
à attirer l'attention des psychologues sur cette méthode. Les rai
sons de la lenteur de l'introduction de l'analyse de la variance sont
nombreuses : publication dans des revues que ne lisent pas les psy
chologues; difficulté pour ces derniers à assimiler une théorie mathé
matique délicate; enfin, nécessité de son adaptation aux recherches
psychologiques.
Mais aujourd'hui l'analyse de la variance est, plus que toute autre
méthode statistique, employée dans les travaux de psychologie
expérimentale américains. Si, par exemple, nous feuilletons les
cinq derniers numéros du Journal of experimental psychology (1948,
nos 5 et 6; 1949, nos 1, 2, 3), nous la retrouvons dans dix-huit articles.
Par contre, dans les revues françaises, la méthode n'a jamais été
utilisée à notre connaissance. Vraisemblablement les psychologues
l'ignorent. Il nous a donc semblé indiqué d'exposer quelques plans
expérimentaux pratiqués par les auteurs américains et de monter
la façon d'exploiter les plus simples et les plus courants.
Nous ne donnerons pas d'explications théoriques et nous n'en
trerons pas dans des considérations générales sur l'adaptation de
la méthode aux problèmes posés en psychologie. Le lecteur trouvera
plus loin une liste de références. .
;
342 NOTES
I. — Un seul facteur de classification.
On a souvent à rechercher si un facteur a une influence sur une
variable. Par exemple :
Les résultats dans une épreuve dans différentes classes scolaires
diffèrent-ils significativement?
Classant des étudiants selon les matières d'enseignement qu'ils
préfèrent, les groupes obtenus répondent-ils différemment à un
questionnaire de libéralisme (32)?
La motivation influe-t-elle sur l'apprentissage (34)?
L'analyse de la variance est alors une généralisation de la méthode
de Student utilisée pour comparer les valeurs d'une variable dans
deux groupes.
Exposons, à propos d'un exemple de Jackson (16), la marche à
suivre pour faire cette analyse.
Exemple. — Les élèves de cinq classes A, B, C, D, E ont passé
un test. Dans le tableau I on trouvera le nombre d'élèves par classes,
le total des notes obtenues dans le test pour chaque classe et le
total des carrés de ces notes.
TABLEAU I
Classes A B G D E Total
Nombre d'élèves. 33 28 31 34 31 157
Total des notes. . 928 760 1.013 1.335 748 4.784 carrés . 28.030 22.750 35.287 56.637 21.336 164.040
Le tableau II résume l'analyse.
TABLEAU II
« Degré de Somme des Carré Source de variation F liberté carrés moyen
Entre les classes .... 4 4.519,3015 1.129,825 12,49
A l'intérieur des classes . 152 13.745,8195 90,433
Total ...... 156 18.265,1210
Expliquons comment on déduit le tableau II du tableau I.
A. Degrés de liberté. — - Le nombre de degrés de liberté entre les
classes est le nombre de classes diminué de 1. FAVERGE. l' J.-M. ANALYSE DE LA VARIANCE 343
Le nombre de degrés de liberté relatif au total est le nombre
d'élèves diminué de 1. Il est le total des deux autres nombres de
la même colonne du tableau.
B. Sommes des carrés. — Entre les classes :
(928)2 (760)2 (1.013)2 (1.335)2 (743)2
(4.784)2
Total : 18.265,1210 = 164.040 —
A l'intérieur des classes :
13.745,8195 = 18.265,1210 — 4.519,3015.
En se référant au tableau I, le lecteur n'aura pas de peine à fo
rmuler les règles pratiques permettant de calculer les sommes de
carrés.
C. Carrés moyens. — Ils s'obtiennent en divisant chacune des
deux premières sommes de carrés par les nombres de degrés de
liberté correspondants.
4-519'3015 1.129,8254 =
4
13.745,8195 90,4330 = 152 "
1 129 825 D. F est le rapport ' = 12,49.
^
Conclusion tirée de V analyse. — On lit dans la table du F de
Snédécor les deux nombres marqués pour 4 et 152 degrés de liberté,
ce sont : 2,49 et 3,56. Si F est supérieur à ces deux nombres, les
différences entre les classes sont très significatives; si F est compris
entre ces- deux nombres, elles sont s'il est inférieur
à ces deux nombres, elles ne sont pas significatives.
Dans le cas présent (12,49 > 3,56), les classes diffèrent de façon
très significative quant aux résultats dans le test. Elles ne sont
donc pas de même niveau.
II. — Plans factoriels orthogonaux.
On peut avoir à étudier les influences de plusieurs facteurs sur
une même variable. R. A. Fisher a montré qu'il y avait intérêt à
faire varier simultanément ces facteurs et à disposer l'expérimen
tation pour qu'il y ait le même nombre de mesures pour toutes 344
les combinaisons factorielles. On dit alors qu'on a un plan factoriel
orthogonal.
Un tel plan est très employé. On le trouve, par exemple, dans
les études suivantes :
Influence de l'intensité du stimulus et de la force du conditionne
ment sur la réponse conditionnée de la paupière à la lumière (27). du résultat que pense obtenir un sujet dans une épreuve
et du résultat qu'il a déjà obtenu, sur l'attrait de cette
pour le sujet (24).
Influence de la longueur des temps de travail et de la longueur
des temps de pause sur l'apprentissage (28).
Nous donnerons un exemple de calcul emprunté à Solomon (33).
Exemple. — Au moyen d'un labyrinthe d'une forme particulière,
on apprend à dix rats à apprécier une distance. Après apprentissage,
on mesure la distance parcourue par chaque rat, huit jours de suite,
en chargeant le rat au moyen de poids un jour sur deux. On a
ainsi un plan factoriel orthogonal. Il y a trois facteurs :
Les rats : 10 éléments.
L'effort avec deux degrés : rat chargé (C) ou non (N).
Les périodes de deux jours consécutifs. Il y a ainsi quatre périodes
également consécutives.
On a une mesure par rat, par degré d'effort et par période. On
obtient le tableau de résultats suivant (la distance correcte est 4
et on constate en général une sous-estimation).
TABLEAU III
Périodes
1
2
3
4
5 Rats 6
7
8
9
10 FAVERGE. l'aNALYSE DE LA VARIANCE 345 J.-M.
Le tableau d'analyse de la variance est le suivant :
TABLEAU IV
Degré Somme Carré Source de variation F des carrés de liberté moyen
9 41,112 4,57 Rats 16,4 TS
Efforts 1 13,612 13,61 48,8 TS
Périodes 3 6,937 2,31 8,3 TS
Inleraclions.
Rats x efforts. . . 9 5,013 0,56 2,0 NS x périodes . . 27 17,438 0,65 2,3 TS
Efforts x périodes. 3 0,338 0,11 0,4 NS
Erreur 27 7,537 0,28
Total. . . . . 79 91,987
j
Voici comment on déduit le tableau IV du tableau III.
a) Degrés de liberté. — Les nombres de degrés de liberté relatifs
aux trois premières lignes s'obtiennent en retranchant une unité
aux nombres de rats, de situations d'effort, de périodes.
Les de degrés de liberté relatifs aux interactions s'ob
tiennent en faisant les produits deux à deux des nombres relatifs aux
trois premières lignes. Par exemple, pour l'interaction rat X effort,
on fait le produit 9x1.
Le nombre de degrés de liberté relatif au total est le nombre
total de mesures, diminué de 1. Il est le total des nombres placés
au-dessus de lui.
b) Sommes des carrés. — Calculer le total des 80 mesures :
T2
T = 249, puis - = = 775,013.
1. Faire le total des 8 mesures de chaque rat, puis la somme
des carrés des 10 nombres obtenus. On obtient 6.529. En divisant
6.529 par le nombre de mesures pour chaque rat (soit 8), on obtient
T2
816,125. Retrancher — • = 775,013 de ce nombre. On obtient ainsi
41,112 qui est la somme des carrés relative aux rats. Même méthode
pour obtenir les sommes de relatives aux efforts et aux
périodes.
2. Faire le total des 4 mesures sur chaque rat, dans les deux
conditions d'effort. On obtient le tableau suivant : NOTES 346
TABLEAU V
Efforts
N C
1 14 12
16 2 16
3 17 13
4 14 7
5 15 14 Rats 6 15 10
7 7 4
8 15 13
9 13 8
10 15 11
où le premier nombre 14 est la somme des 4 mesures du tableau I
(3 + .3 -j- 4 -f- 4) correspondant au rat n° 1 et à la condition
d'effort N. Faire les carrés des nombres du tableau V et les ajouter.
On obtient 3.339. Diviser ce nombre par 4 parce qu'on a fait les
sommes de 4 mesures. On obtient 834,750. Ajouter à ce nombre — ■
834,750 + 775,013 = 1.609,763.
Ajouter les nombres 816,125 et 788,625 obtenus dans le calcul
des sommes de carrés pour les rats et les efforts :
816,125 + 788,625 = 1.604,750
et faire la différence :
1.609,763 — 1.604,750 = 5,013.
On obtient ainsi la somme des carrés relative à l'interaction
rats X efforts.
Même méthode pour le calcul des autres sommes de carrés pour
les interactions.
3. Faire la somme des carrés des 80 mesures du tableau III.
On obtient 867. Retrancher de ce nombre — -.
867 — 775,013 = 91,987.
On a la somme des carrés relative au total. Elle est la somme
de toutes les autres sommes de carrés. On obtient ainsi par diff
érence la somme des carrés pour l'erreur.
c) Carrés moyens. — On les obtient en divisant les sommes de
carrés par les nombres de degrés de liberté correspondant. FAVERGE. l' J.-M. ANALYSE DE LA VARIANCE 347
d) Les F sont les rapports entre les carrés moyens et le carré
moyen relatif à l'erreur. Par exemple :
Conclusions tirées de l'analyse. — On voit avec la table de Snédé-
cor si les valeurs de F sont significatives. Les nombres de degrés
de liberté à prendre pour un rapport F sont, d'une part le nombre
de degrés de liberté correspondant à sa ligne, d'autre part 27. Par
exemple, pour voir si 16,4 est significatif, on utilise la table en
prenant 9 et 27. Le nombre 16,4 étant plus grand que 3,14 (lu
dans la table), F est très significatif.
On voit ainsi que les rats présentent des différences individuelles,
qu'ils sous-estiment la distance surtout lorsqu'ils sont chargés, et la moins au fur et à mesure que les épreuves
sont répétées. Cette influence de l'apprentissage varie avec les rats.
Enfin, on ne peut pas conclure à des influences variables de l'effort
suivant les rats et suivant les périodes.
Importance de l'étude des interactions. — Le plan factoriel permet
l'étude simultanée de plusieurs facteurs et de leurs interactions.
Il semble qu'en psychologie les conclusions relatives à une interaction
soient souvent les plus importantes et le but dominant d'une expé
rimentation.
Exemple (31). — Interaction entre les instructions données dans
l'apprentissage et la forme des épreuves utilisées pour mesurer cet
apprentissage : avant de lire une liste de mots aux sujets, on les
avertit qu'on éprouvera leur mémoire sous l'une des trois formes
suivantes : anticipation, rappel libre ou reconnaissance. L'épreuve ' ensuite utilisée comporte bien l'une des trois formes, mais toutes
les combinaisons entre la forme annoncée et la forme de l'épreuve
sont expérimentées.
Autre exemple (30). — Les auteurs mesurent le rappel pendant
des périodes successives afin de voir si la suite des nombres obtenus
dépend de la nature de la tâche interpolée entre l'apprentissage et
l'épreuve. Le but de l'analyse de la variance est encore ici l'étude
d'une interaction.
III. — Plans factoriels incomplets.
On emploie souvent des plans expérimentaux dans lesquels
toutes les combinaisons factorielles possibles ne sont pas repré
sentées.
Un exemple particulièrement important est le plan en carré latin.
Plan en carré latin. — II va trois facteurs, N classes par facteur,
N2 mesures de la variable. Pour chaque classe d'un facteur il y a 348 NOTES
N mesures, une pour chaque classe de l'un quelconque des deux
autres facteurs.
Exemple (29). — Dans une étude de l'erreur d'interpolation entre
les divisions d'une échelle de mesure, M. Leyzorek utilise 7 sujets,
7 grandeurs différentes d'intervalles entre les degrés de l'échelle;
chaque sujet interpole avec chaque grandeur . d'intervalle, mais
l'ordre des 7 épreuves varie de sujet à sujet. Le plan de l'expérience
est indiqué dans le tableau suivant :
TABLEAU VI
Intervalles en pouces
1 1 1
1 2 4 5 8 4 2
1 5 7 3 6 4 2 1 A 3 6 4 7 5 2 1
5 2 6 4 1 7 3
4 1 3 5 2 6 7 Sujets \ / < ] B D G E F
2 7 1 6 4 3 5
6 3 2 1 7 5 4
G 7 4 5 2 3 1 6
f
On interprète ainsi ce tableau :
Le sujet A commence avec l'épreuve dans laquelle les intervalles
1
entre les degrés de l'échelle sont de - o pouce. Il fait ensuite l'épreuve
dans laquelle les intervalles sont de 5 pouces, etc., les intervalles
1 1
des épreuves successives étant 1, 4, -, 42 2 et -,
Le sujet B commence avec 5 pouces, etc.
Comment a-t-on obtenu le tableau VI? C'est un tableau dans
lequel chaque chiffre de 1 à 7 figure une fois et une seule
chaque ligne, une fois et une seule dans chaque colonne. Il a été
choisi au hasard dans l'ensemble des tableaux ayant cette pro
priété.
Autres exemples :
Etude du degré d'agressivité, observé chez les enfants, dans cinq
situations sociales déterminées. Les trois facteurs sont ici : les situa
tions, les enfants et l'ordre dans lequel se présentent les situations
pour chaque enfant (15).
Étude comparative de 4 méthodes pour éprouver l'orthographe
d'un sujet. Il y a 4 méthodes, 4 groupes de sujets et 4 listes de
mots (21). FAVERGE. L ANALYSE DE LA VARIANCE 349 J.-M.
On voit par ces exemples que, d'une façon générale, parmi les
trois facteurs un seul correspond au but de l'expérimentation, les
deux autres sont introduits afin d'éliminer leur effet parasite pos
sible. Souvent l'un de ces deux facteurs est un ordre, les différentes
permutations étant prises pour contrôler l'influence de la pratique,
de l'adaptation, de la fatigue, de la mémoire, etc.
Nous allons détailler l'analyse de la variance pour le premier
exemple.
L'erreur arithmétique moyenne commise par un sujet dans une
épreuve est inscrite dans le tableau suivant VII.
Il y a 49 nombres correspondant aux 49 épreuves figurées dans
le tableau VI.
TABLEAU VH
] ntervalles
12,825 8,400 3,700 3,789 3,225 2,100 4,145
10,525 9,475 5,400 5,375 5,610 7,435 4,785
12,525 5,075 5,200 7,030 25,275 8,535 6,260
10,550 3,725 4,800 4,655 5,845 Sujets < 17,100 3,980
i 11,800 4,250 5,125 2,175 2,890 2,265 1,705
7,450 2,950 3,925 3,455 3,915 2,820 f 31,500
l 17,600 7,600 3,200 2,925 3,110 6,795 3,805
Le tableau d'analyse de la variance est le suivant :
TABLEAU VIII
Degré Somme Carré Source de variation F moyen de liberté des carrés
6 1.135,203 189,20 Intervalles 19,6 TS
Sujets 6 138,847 23,14 2,4 presque S
Ordres 6 49,969 8,33 0, — NS
Erreur 30 290,115 9,67
Total .... 48 1.614,134
i
Les sommes des carrés relatives aux intervalles et aux sujets se
calculent comme pour une analyse de variance ordinaire. La somme
des carrés relative aux ordres se calcule aussi de la même façon,
mais il y a lieu de faire les totaux des 7 mesures relatives à chaque
■ordre.