La démonstration mathématique - article ; n°1 ; vol.14, pg 264-283

Goblot

Description

L'année psychologique - Année 1907 - Volume 14 - Numéro 1 - Pages 264-283
20 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

Informations

• Publié par: L-annee-psychologique
• Publié le: 01 janvier 1907
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Edmond Goblot
La démonstration mathématique
In: L'année psychologique. 1907 vol. 14. pp. 264-283.
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Goblot Edmond. La démonstration mathématique. In: L'année psychologique. 1907 vol. 14. pp. 264-283.
doi : 10.3406/psy.1907.3744
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1907_num_14_1_3744VIII
LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE
(Critique de la théorie de M. Poincaré).
Les idées de M. Poincaré avaient depuis longtemps éveillé la
curiosité des philosophes ; mais, présentées le plus souvent
dans le langage des mathématiciens, elles étaient parfois inac
cessibles à notre ignorance, et, disséminées dans des écrits très
divers et très spéciaux, il était malaisé de les saisir dans leur
ensemble et d'en mesurer la portée. M. Poincaré a pris la peine
d'écrire pour les philosophes. Ses articles de la Revue de Méta
physique et les deux petits volumes que nul n'a plus le droit
d'ignorer, la Science et l'Hypothèse (1902) et la Valeur de la
Science (1907) feront époque dans l'histoire de la pensée : ils
ouvrent une percée lumineuse dans les broussailles de la
logique traditionnelle. Il faut désormais renoncer à l'enseigner
sans de profonds remaniements. En certaines de ses parties,
non les moins importantes, elle est manifestement fausse; le
reste ne se sauve guère qu'à force d'être vague, trop vague
même pour donner prise à la critique.
Or, la Logique est étroitement liée, d'une part à la théorie de
la Connaissance, car on ne peut découvrir le fondement de la
connaissance sans savoir exactement ce qu'il s'agit de fonder;
d'autre part à la psychologie du concept, du jugement et du
raisonnement, car, si l'on peut distinguer avec précision le
problème logique du problème psychologique, on ne peut les
séparer. Aussi trouve-t-on dans ces deux petits livres de nomb
reuses pages de psychologie et de métaphysique. On y trouve
aussi, et ce ne sont pas les moins belles, des pages de morale,
car la question de la valeur de la science amène l'auteur à com
parer et à hiérarchiser les diverses fins de l'activité humaine.
C'est donc toute une philosophie.
Je ne ferai point un exposé systématique de la philosophie GOBLOT. — LA DÉMONSTRATION MATHÉMATIQUE 265 E.
de M. Poincaré. Je ne saurais l'énoncer en termes plus heureux •
en formules plus saisissantes et plus vivantes qu'il ne l'a fait
lui-même ; je l'affaiblirais, je la fausserais en voulant la résumer.
Mais je hasarderai quelques critiques, et, bien que je ne m'avent
ure qu'avec crainte sur un terrain où je sens mon pas mal
assuré, bien que je redoute un pareil adversaire, j'oserai opposer
mes vues personnelles à certaines de ses théories. Si M. Poin-
carré proteste que je l'ai mal compris, ce sera pour lui l'occa
sion d'éclaircir et de préciser des points qui, sans doute, ne
sont pas obscurs pour moi seul.
I
II est généralement admis que le raisonnement déductif est
le syllogisme; du moins le syllogisme est-il la seule forme de
raisonnement déductif dont les logiciens aient jusqu'ici donné
la théorie. 11 est également admis que les sciences mathémat
iques sontdéductives. Or aucune démonstration mathématique
ne se réduit à un syllogisme composé.
L'enchaînement des théorèmes conduit à des propositions de
plus en plus générales ; l'algèbre est plus générale que l'arithmé
tique, le calcul infinitésimal est une généralisation de l'algèbre
élémentaire, la géométrie des modernes est plus générale que
la géométrie des anciens. Or le syllogisme ne peut pas être un
instrument de généralisation. Sa règle fondamentale, le Dictum
de omni et nullo l'interdit. La condition de validité de tout
syllogisme est que la conséquence doit être contenue dans les
principes ; or, dans la démonstration mathématique, la consé
quence résulte des principes, mais n'y est pas contenue. On ne
peut pas dire que, dans un triangle isoscèle, l'égalité des angles
soit contenue dans l'égalité des côtés, ni l'égalité des côtés dans
l'égalité des angles. Le mécanisme du syllogisme repose uni
quement sur les rapports d'inclusion et d'exclusion des termes.
Toute démonstration mathématique établit une relation de
dépendance nécessaire entre dés propriétés hétérogènes *.
1. Je ne sais si je serais fondé à revendiquer la priorité pour avoir mis
en lumière cette insuffisance de la logique deductive dans mon Essai sur
la Classification des Sciences (1898). Je n'ai eu d'autre mérite que de lire
Descartes. Le Discours de la Méthode substitue une nouvelle Logique à la
logique scolastique. Le raisonnement consiste à parcourir des « chaînes
de raisons », à avoir successivement l'intuition claire et distincte de la
liaison de chaque terme au suivant, à percevoir la dépendance d'une pro
priété à l'égard d'une autre. Ces chaînes de raisons peuvent être parcou- 266 MÉMOIRES ORIGINAUX
Le syllogisme se rencontre dans toute démonstration mathé
matique ; il y a une fonction bien définie. Il sert à appliquer un
principe ou une proposition antérieurement admise au cas
que l'on considère. Mais il ne constitue jamais tout le raison
nement. Aucune démonstration ne consiste à tirer une propos
ition spéciale d'une proposition plus générale qui la contient.
Le mathématicien s'efforce d'arriver, par la voie la plus courte
possible, aux plus hautes généralités possibles, de celles-ci à
de plus générales encore. Il ne revient jamais sur ses pas; il ne
s'amuse pas à faire l'inventaire de toutes les vérités partielles
contenues dans une vérité plus étendue, à moins qu'il n'ait à
mettre en évidence une propriété remarquable; ceci n'est point
une démonstration, mais un corollaire. Un corollaire consiste
à formuler à part, parce qu'on en aura besoin par la suite, une
propriété qui, s'étant trouvée établie au cours de la démonstrat
ion, ou contenue implicitement dans la conclusion, n'a pas
besoin d'être démontrée séparément. Disons donc que le ra
isonnement mathématique va, soit d'une propriété admise à
une propriété hétérogène (dans le triangie isoscèle, de l'égalité
des côtés à l'égalité des angles), soit d'une propriété spéciale à
une propriété générale (de la somme des angles du triangle à la
somme des angles du polygone), jamais de la propriété générale
à la propriété spéciale.
M. Poincaré signale cette impuissance du syllogisme. « Le
syllogisme est incapable de rien ajouter aux données qu'on lui
fournit; ces données se réduisent à quelques axiomes, et on ne
devrait pas retrouver autre chose dans les conclusions... ; il ne
peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau, et, si
tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi
pouvoir s'y ramener. » La mathématique se réduirait à une
immense tautologie. « Aucun théorème ne devrait être nouveau
si, dans sa démonstration, n'intervenait un axiome nouveau; le
raisonnement ne pourrait nous rendre que les vérités immédia-
rues dans les deux sens, en allant du conditionné à la condition dans la
résolution des problèmes (analyse des anciens), en allant de la condition
au conditionné dans la démonstration des théorèmes. La méthode de
Descartes ne concerne que la résolution des problèmes. Pour résoudre
un problème proposé, il faut aller du composé au simple (deuxième
règle); mais l'ordre dans lequel il faut aborder les problèmes est au con
traire celui qui va du simple au composé (troisième règle). Procéder autre
ment, ce serait « vouloir s'élancer d'un bond au faite d'un édifice en négli
geant l'escalier ». Et si l'on prétend que Vescalier figure ici la hiérarchie
des genres et des espèces, on remarquera qu'il s