LE TEST DE LA MAJORITE CONFIRMEE ET SON UTILISATION DANS L INFERENCE STATISTIQUE
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LE TEST DE LA MAJORITE CONFIRMEE ET SON UTILISATION DANS L'INFERENCE STATISTIQUE

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probl~me ~ g a k y ~ k posd ~ A a LE TEST DE LA MAJORIT~ CONFIRMt~E ET SON UTILISATION DANS L'INFERENCE STATISTIQUE par EDOUARD FRANCKX Bruxelles I. Le J'ai longtemps h6sit~ donner cette conference. J'ai craint de d6border largement le cadre des th~mes propos6s Riittvik. Cependant, je pense que la question que je voudrais exposer se rattache plus ou moins la question que nous avons discut6e aujourd'hui et qui consiste choisir pour un risque d6termin~ la fonction de distribution adequate. Ma premiere r~flexion ce sujet pourra parattre surprenante: je ne suis pas du tout convaincu que nous devons toujours et tout prix essayer de trouver une repr6sentation analytique du risque ~tudid. Remarquons que l'on ait ou non une telle possibilit6, elle ne change rien au fait que l'on trait6 dans le pass6 et que l'on continue pratiquer l'assurance des risques divers sans avoir une representation math6matique plus au moins bien approch~e de la fonction de r6partition du risque couru a, par aiUeurs, de bonnes raisons de craindre que l'on arrive jamais une solution unique; en effet ce qui int6resse la Compagnie c~dante c'est la partie de la fonction de r6partition qui correspond aux petits et moyens sinistres: par contre pour le r6assureur c'est *) Conf6rence du Colloque 1961 Riittvik. Nous avons de par notre formation math6matique, une satisfaction d'ordre inteUectuel quand nous avons pu adjoindre une telle formule un probl~me pratique. Mais ceci ...

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Langue Français

Extrait

probl~me
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A
a
LE TEST DE LA MAJORIT~ CONFIRMt~E ET SON
UTILISATION DANS L'INFERENCE STATISTIQUE
par
EDOUARD FRANCKX
Bruxelles
I. Le
J'ai longtemps h6sit~ donner cette conference. J'ai craint de
d6border largement le cadre des th~mes propos6s Riittvik.
Cependant, je pense que la question que je voudrais exposer se
rattache plus ou moins la question que nous avons discut6e
aujourd'hui et qui consiste choisir pour un risque d6termin~ la
fonction de distribution adequate.
Ma premiere r~flexion ce sujet pourra parattre surprenante: je
ne suis pas du tout convaincu que nous devons toujours et tout
prix essayer de trouver une repr6sentation analytique du risque
~tudid. Remarquons que l'on ait ou non une telle possibilit6, elle
ne change rien au fait que l'on trait6 dans le pass6 et que l'on
continue pratiquer l'assurance des risques divers sans avoir une
representation math6matique plus au moins bien approch~e de la
fonction de r6partition du risque couru
a, par aiUeurs, de bonnes raisons de craindre que l'on arrive
jamais une solution unique; en effet ce qui int6resse la Compagnie
c~dante c'est la partie de la fonction de r6partition qui correspond
aux petits et moyens sinistres: par contre pour le r6assureur c'est
*) Conf6rence du Colloque 1961 Riittvik.
Nous avons de par notre formation math6matique, une satisfaction
d'ordre inteUectuel quand nous avons pu adjoindre une telle formule un
probl~me pratique. Mais ceci n'est qu'une d6formation qui r6sulte d'une
attitude tr~s subjective, rien ne dit que nous avons raison lorsque nous you-
lons, priori, imposer, nous m6mes et aux autres, une telle solution au pro-
blame r~el. Par contre, cela ne veut pas dire que nous ne devons pas 6tudier le
probl~me du classement de nos lois, aussi il est particuli~rement int~ressant
comme t'a fait notre coll~gue M. Delaporte de situer les lois de distributions
des risques divers sur le diagramme de Karl Pearson. Mais il r6sulte 6galement
de nos discussions d'aujourd'hui, qu'il est bien plus d61icat de choisir sur
ce diagramme ,,le point repr6sentatif" c'est dire la loi de distribution parti-
euli~re qui ,,th~oriquement convient actuellement".
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242
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k
CONFIRMI~E
y
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A
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k
LE TEST DE LA
la partie relative aux grands sinistres qui importe. Comme d~s lors,
en pratique, c'est le r6assureur qui imposera la distribution corres-
pondant ses propres risques et qui sera d6finie l'6chelle inter-
nationale. sera tout naturellement diff6rente de celle admise
par la Compagnie c6dante pour une production plus locale. Ii en
fair, des exigences pratiques qui conduisent des solutions multiples.
Par ailleurs, il n'est pas n6cessaire pour conclure des affaires, de
connaltre avec une tr~s grande precision la fonction de r~partition
du risque; celle-ci pourrait ~tre obtenue, en pratique, par juxtaposi-
tion de diff6rentes branches d6duites de distributions de Pearson
de types diff6rents par exemple (cela n'a pas d'importance au sens
du calcul des probabilit6s du moment que la fonction de distribution
soit croissante de I). D'autre part, pour passer un domaine
familier, ce qui nous donne la s6curit6 en assurance vie, c'est pas
tellement le fait que la table de mortalit6 est r6gie par la loi de
Makeham (la repr6sentation analytique de la fonction de distribu-
tion n'y fait rien), c'est avant tout parce que la mortalit6 qui
r6sulte de la fonction de distribution de Makeham est plus forte
que la mortalit6 r6sultant de la fonction de distribution r6elle
qui elle reste inconnue. En d'autres termes, ce qui importe en
pratique c'est de faire un choix judicieux de fa¢on ce que les
r6sultats enregistr6s soient en g6n6ral favorables l'organisme
assureur. Des lots se pose le probl~me beaucoup plus large et beau-
coup plus important de comparer ,,les r6sultats obtenus, en utilisant
deux distributions diff6rentes et la suite de cette comparaison
de prendre la ddcision de choisir telle distribution plut6t que telle
autre". Encore une teUe d6cision nous semblera rationnelle si elle
est prise sur la base du crit~re que nous aurons admis souvent tr~s
subjectivement".
II. La comparaison
Permettez-moi de sortir du cadre du sujet trait6 R~ittvik et faire
appel aux donn6es plus g6n6rales du monde r6el.
Le probl&me du choix d'une distribution appartient la classe
g~n~rale de la ,,comparaison des 6v~nements dont les r6sultats sont
al6atoires". Cela revient introduire une m6thode--un op6rateur
au sens abstrait -- qui ,,induit un ordre" au vu des r6sultats al6a-
toires des 6preuves.
1~, de
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les
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S
Pierre
num6rique
Fig.
espace
decision
gagne
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Paul
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mobile
Paul
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d6jX
gagne
Pierre
i
LE TEST DE LA MAJORITI~ CONFIRM1~E 243
Prenons, comme premier exemple, deux joueurs d'6chec Pierre
et Paul. Les r~sultats des parties successives sont, en g6n6ral,
al6atoires sauf si l'un des joueurs est r6ellement de force sup6rieure.
Si Pierre gagne chaque partie contre Paul, nous n'h6sitons pas
d6cider que ,,Pierre est meilleur que Paul". Mais lorsque les joueurs
sont de force peu pros 6gale (c'est le cas lors d'un championnat
mondial) les r6sultats deviennent de plus en plus al6atoires et la
d6cision est plus longue tomber. Mais cet exemple nous fournit
tousles 616ments fondamentaux qui sont n6cessaires pour
mettre le probl~me en route. Nous le sch6matisons ci-apr~s
+2
-2
de
Pierre mis en pr6sence de Paul, joue une sdrie d'dpreuves.
La suite d'dpreuves constitue un jury progressif, chaque dpreuve
nouvelle constitue un nouveau membre du jury, dont l'importance
dolt avoir le mgme ,,poids" qui celui des 6preuves prdcddentes.
Au sens de la th6orie du jury, cela veut dire qu'au ,,stade atteint"
les dpreuves, une permutation entle les membres du jury ne peut
affecter la ddcision finale -- donc la r~gle de d6cision dolt ~tre
invariante par rapport aux permutations des dpreuves. Toutes les
r~gles de ddcision ne satisfont pas un tel crit~re. Mais dans la
vie courante, les jeux admettent de telles r~gles.
~'preuves I
I
A
(si
S
:
~
S
+
a
S
2.
r&gle
CONFIRMI~E
=
+
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2.
S
+
<
=
2
~
k
m
r&gle
o
3.
A
244 LE TEST DE LA MAJORITI~
Par exemple: l'op6rateur de d6cision qui consiste:
i) donner une 6preuve la valeur si Pierre gagne
la valeur -- si Paul gagne
la valeur si le jeu est nul.
de faire apr~s 6preuves la somme des points acquis sur
l'ensemble des 6preuves.
de d6cider que Pierre gagne, donc que Pierre est meilleur que
Paul, d~s que
de d6cider que Paul gagne que --
de d6cider de continuer une nouvelle 6preuve, si n'atteint pas ces
limites c'est dire si --
Cette r~gle de d6cision s6quentielle est sym6trique par rapport
chacun des joueurs, donc aucun ne peut justifier, priori, d'un
avantage. De plus, si on ex6cute une permutation quelconque entre
les 6preuves, la somme finale au moment de d6cider garde une
valeur invariante. La r~gle de d6cision poss~de la double propri6t6
d'etre
a) sym6trique par rapport aux joueurs -- on permute Pierre
et Paul dans le sch6ma le r6sultat de la ne change pas.
b) sym6trique par rapport aux membres du jury, qui est con-
stitu6 par l'ensemble des 6preuves subies par les deux joueurs.
D'apr~s la th6orie du jury, ou des d6cisions collectives, cette
double propri6t6 est essentielle. En conclusion, l'ordre 6tablir
entre Pierre et Paul est induit par le jury des 6preuves. La d6cision
tombe en introduisant un op6rateur 6tablissant une liaison entre le
domaine des ~preuves et l'espace num6rique. Cet op~rateur n'est
pas quelconque, il doit poss~der les propri6t6s de sym6trie_ 6nonc6es
ci-dessus.
Comme deuxi~me exemple, nous nous proposons de comparer
deux agents Pierre et Paul d'une compagnie. cet effet nous
disposons des r6sultats hebdomadaires de ces producteurs.
Si nous repr6sentons les r6sultats 6chelonn6s dans le temps, nous
obtenons deux trajets stochastiques et c'est partir de ces grafiques
que nous devons appliquer une de decision.
Nous pouvons tr~s facilement passer au sch6ma de la fig. I, il
suffit de consid6rer les r~sultats hebdomadaires comme des 6preuves
constituant un jury et nous pourrons appliquer la r~gle de l'exemple
pr6c6dent.
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d&s
3)
2) i
i
i
0
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Fig.
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7
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2
5
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4
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