Polycopié du Cours première année

Nicolas Savy

Informations

• Publié par: Atto
• Nombre de lectures: 120
• Langue: Français

Extrait

Mathematiques pour la gestion - premiere annee
|||||||{
Enonces des exercices
2 juin 2010
Universite Paul Sabatier - Toulouse 3
IUT de Toulouse 3 A
Departement GEA Rangueil
Nicolas SAVY
[e-mail]
Bureau 107Chapitre 1
Resolution d’equations et
d’inequations de degre 1 et 2
1.1 Exercices preparatoires
Exercice 1
Resoudre les equations suivantes :
1.
1 2
2(x + ) = x + 2
3 3
2.
4(x + 2) = 2(2x + 4)
1.2 Exercices en TD
Exercice 2
Resoudre l’equation suivante :
(3x 2)(7x + 5) = (21x 4)(x + 6):
Exercice 3
Un grand-pere partage entre ses trois petits enfants la somme de 750 € : Leila re coit le
double de Marc moins la somme de 250€. Stephanie obtient le triple de Marc moins la somme
de 500€. Le partage est-il equitable ?
Exercice 4
Resoudre les inequations suivantes :
1.
1 2
x + < 0
3 6
2.
1 2
2(x + )> 3( x + 2)
3 3
Exercice 5
Determiner x pour que le triangle ait un perimetre superieur a celui du rectangle.
2 CHAPITRE 1. RESOLUTION D’EQUATIONS ET D’INEQUATIONS DE DEGRE 1 ET 2 3
Exercice 6
Voici le principe de la location de 3 voitures. Il y a un forfait puis le prix au kilometre. Pour
une clio, le forfait est de 20€et le prix au kilometre de 0,5€.
Pour une saxo, le forfait est de 30€et le prix au kilometre de 0,3€.
Pour une megane, le forfait est de 40€et le prix au kilometre de 0,2€.
1. Pour quel distance en kilometres, le prix de location d’une clio est-il superieur a celui d’une
saxo ?
2. Pour quel distance en kilometres, le prix de location d’une clio est-il inferieur a celui d’une
megane ?
Exercice 7
Resoudre les equations suivantes :
1.
2
x 3x + 2 = 0
2.
2x + 2x + 3 =x + 2
3.
2x 6x + 9 = 0
Exercice 8
Resoudre les inequations suivantes :
1.
23x + 1< 0
2.
2x + 6x 7< 0
1.3 Pour s’entrainer
Exercice 9
On dispose d’une plaque de carton carree de 10 cm de c^ote. Dans chaque coin on decoupe un
carre identique. On obtient alors le patron d’un boite sans couvercle. Quelle doit ^etre la mesure
du c^ote du carre pour que la surface de la bo^ te soit 72 ?Chapitre 2
Autour de la proportionnalite
2.1 Exercices preparatoires
Exercice 1
1. On considere une augmentation de 5%, quel est le coe cient multiplicateur ?
2. On considere une remise de 3%, quel est le coe cient multiplicateur ?
Exercice 2
Avant une remise de 4%, le prix d’un objet est de 50 euros, quel est sont prix apres remise ?
Exercice 3
Le prix d’un objet est de 130 euros TTC. Quel est sont prix hors taxe sachant que la Taxe
est de 5,5% ?
2.2 Exercices en TD
Exercice 4
Completer les factures en euros ci dessous :
Facture 1 du 12 mai 2008
Brut 15 000
Remise 5%
Net Commercial
TVA 19,6%
Net a payer
Facture 2 du 15 mai 2008
Brut
Remise 10%
Net Commercial
TVA 19,6%
Net a payer 6 458,40
Exercice 5
1. Un lecteur de DVD coute 150 euros.
4CHAPITRE 2. AUTOUR DE LA PROPORTIONNALITE 5
(a) Il subit une augmentation de 5%. Quel est le prix de vente de ce lecteur ?
(b) Il subit maintenant une remise de 5%. Quel est le nouveau prix de vente de ce lecteur ?
(c) Quelle devrait etre la remise pour avoir un prix de vente de 150 euros ?
2. On considere maintenant un objet au prix initial de P euros.0
(a) Il subit une augmentation de t %. On note P le prix apres cette augmentation.1 1
Exprimer P en fonction de P et t .1 0 1
(b) Il subit une remise de t %. On note P le prix apres cette remise. Exprimer P en2 2 2
fonction de P et t .1 2
(c) Exprimer P en fonction de P , t et t .2 0 1 2
(d) Discuter en fonction de t et t l’evolution globale du prix entre P et P .1 2 0 2
(e) Etant donne t , calculer t pour que P =P .1 2 2 0
Exercice 6
Voici les chi res d’a aires annuels d’une entreprise en millions d’euros :
Annee 2005 2006 2007
Chi re A aire 1,7 2,3 3,2
1. Quel est le pourcentage d’evolution entre 2005 et 2006 ?
2. Quel est le pourcentage d’evolution entre 2006 et 2007 ?
3. Quel est le pourcentage d’evolution entre 2005 et 2007 ?
Exercice 7
L’objectif est le calcul de l’Impot sur les revenus au titre de 2007 de M. LARCHE. M.
LARCHE est celibataire, on considere qu’il a per cu en 2007 un salaire imposable de : 30 000
euros, il n’a pas d’autre revenus et pas de charges deductibles.
Bareme de l’IR 2007 (en euro)
Tranche de revenu pour le QF* Taux par tranche
QF < 5687 0%
5688 < QF < 11334 5,5%
11335 < QF < 25195 14%
25195 < QF < 67546 30%
67546 < QF 40%
QF : quotient familial (revenu pour 1 part ). Dans le cas de M. LARCHE, le QF correspond
aux revenus brut global.
1. Calculer le revenu brut global c’est a dire les revenus imposables moins 10% de frais
professionnels.
2. Calculer le montant de l’impot pour chacune des tranches.
3. Dans quelle tranche se situe Mr Larche ? Quel est donc le montant de l’impot que M.
Larche doit payer ?
4. Calculer le taux d’imposition moyen de M. Larche.CHAPITRE 2. AUTOUR DE LA PROPORTIONNALITE 6
2.3 Pour s’entrainer
Exercice 8
Completer les factures en euros ci dessous :
Facture 1 du 22 mai 2008
Brut
Remise 5%
Rabais pour malfacon 2%
Net Commercial
TVA 5,5%
Net a payer 1964,41
Facture 2 du 27 mai 2008
Brut
Remise 2%
Rabais pour malfacon 1% 98
Net Commercial
TVA 19,6%
Net a payer
Exercice 9
Une entreprise accorde a ses clients deux escomptes successifs de t % et 2t % sur les prix
marques.
1. Exprimez en fonction de t le coe cient multiplicatif correspondant a la baisse totale.
2. Sachant que le pourcentage de la baisse totale doit ^etre compris entre 14,5 % et 28 %,
donnez toutes les valeurs entieres possibles pour t.Chapitre 3
Manipulation des fonctions
puissance, logarithme et
exponentielle
3.1 Pour se preparer
Exercice 1
Donner sans utiliser la calculatrice, la valeur exacte des nombres suivants :
1 1 1
ln ; lnp ; log(10000); log :
e e 1000
Exercice 2
Simpli er sans utiliser la calculatrice, les expressions suivantes :
3ln(2) 2ln(5) 1 ln(2) 2ln(t) tln(2)e ; e ; e ; e :
3.2 Exercices en TD
Exercice 3
Resoudre dansR les equations suivantes :
ln(2x) + 2ln(x) = 4
log(x) + 5log(3x) = 2
2ln(x) + 3ln(3x) = 2
Exercice 4
Resoudre les inequations suivantes :
x13 7 (3.1)
x
1
3 (3.2)
2
x(0; 6) 2 (3.3)
7CHAPITRE 3. LOG ET EXPONENTIELLE 8
Exercice 5
On donne ln(x) + 2ln(y) = 1. Exprimer y en fonction de x.
Exercice 6
Un individu place un capital de 5000 euros a inter^ets composes au taux annuel de 9,81 %.
1. Quel est le capital acquis apres 7 ans de placement ?
2. Au bout de combien d’annees le capital aura-t-il double ?
3.3 Pour s’entrainer
Exercice 7
1. Trouver x tel que ln(4x 3) 0:
2. Trouver x tel que ln(4x 3) =ln(2x + 5):
3. Trouver x tel que ln(4x 3)<ln(2x + 5):
4. Trouver x tel que ln(4x 3)>ln(2x + 5):

4x 35. Trouver x tel que ln 0:2x+5
Exercice 8
On donne la relation PV = k ou P et V sont de variables et et k des constantes.
Exprimer en fonction de P;V;k.Chapitre 4
Fonctions numeriques
4.1 Travail en commun
4.1.1 Introduction
Un des objectifs principaux de l’analyse est, etant donnee une fonction f de nie sur un
intervalle [a;b], de localiser la solution de l’equation :
f(x) = 0: (4.1)
On parle parle de zero de la fonction f.
Nous avons vu en cours des theoremes d’existence et d’unicite mais du point de vue des
applications, le plus important est d’avoir des methodes pour determiner une approximation de
la solution de (4.1) sur [a;b].
Cet exercice decrit di erentes methodes de determination d’une valeur approchee de .
Dans tout cet exercice, nous travaillerons avec la fonction suivante :
13f(x) = 3x + x 1
2
4.1.2 Existence d’une solution
Question 1 Demontrer que l’equation
f(x) = 0
admet une solution unique sur l’intervalle [0; 1] que nous appelerons .
4.1.3 Approximation de la solution
Methode de Lagrange
Soit A le point de la courbe d’abscisse 0, ses coordonnees sont donc (0;f(0)).
Soit B le point de la courbe 1, ses coordonnees sont donc (1;f(1)).
9CHAPITRE 4. FONCTIONS NUMERIQUES 10
L’idee de la methode est de remplacer l’arc de courbe AB par le segment [AB]. Ce segment
coupe l’axe des abscisses en x .1
Fig. 4.1 { Representation graphique de la courbeCf
Question 2 Representer x sur le graphique 4.1.1
Propriete 1 On note (a;y ) les coordonnees deA (a = 0 ety =f(0)) et (b;y ) les coordonneesa a b
de B (b = 1 et y =f(1)).b
ay byb a
x = : (4.2)1
y yb a
Demonstration :
Calculons l’equation de la droite (AB). La pente de cette droite est :
y yb a
b a
Maintenant elle passe par B donc pour x =b y =y l’equation est donc :b
y yb a
y = (x b) +yb
b a
L’intersection avec l’axe des abscisses veri e y = 0 pour x =x donc x veri e :1 1
y yb a
0 = (x b) +y1 b
b a