Produit cartésien et complément. Etude génétique des conduites observées dans ces situations - article ; n°1 ; vol.70, pg 53-71

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L'année psychologique - Année 1970 - Volume 70 - Numéro 1 - Pages 53-71
Résumé
Les auteurs recherchent les corrélations existant entre l'évolution de la construction d'un produit cartésien et de la complémentation d'une classe définie par la conjonction de deux propriétés. Le matériel est constitué d'objets définis par leur forme et leur couleur que l'enfant fabrique en superposant un papier de couleur et un plastique portant un motif (« mouchoir rouge avec des pois »). L'étude génétique effectuée sur un échantillon de 48 sujets de 6 à 10 ans met en évidence une série d'incompatibilités entre des conduites relatives à l'une et l'autre des deux situations, ainsi que l'évolution parallèle de ces conduites, soit simultanément soit avec un décalage d'un an.
Summary
The authors investigate developmental correlations between : a) The construction of cartesian products and b) Class complementation defined by the conjunction of two dimensions. Colored papers and plastic sheets bearing various drawings (dots, stars...), were presented to the Ss with instructions to make handkerchiefs defined by color and design. Forty-eight Ss varying from six to ten years of age participated in this study. Some behaviour patterns on one task can be used to predict accurately performance in the other task. Simultaneous solutions for both tasks can appear at certain ages while differences in solution appearance by as much as a year can be observed at other ages.
19 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Ajouté le 01 janvier 1970
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Langue Français
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L. Maury
J. Rogalsky
Produit cartésien et complément. Etude génétique des conduites
observées dans ces situations
In: L'année psychologique. 1970 vol. 70, n°1. pp. 53-71.
Résumé
Les auteurs recherchent les corrélations existant entre l'évolution de la construction d'un produit cartésien et de la
complémentation d'une classe définie par la conjonction de deux propriétés. Le matériel est constitué d'objets définis par leur
forme et leur couleur que l'enfant fabrique en superposant un papier de couleur et un plastique portant un motif (« mouchoir
rouge avec des pois »). L'étude génétique effectuée sur un échantillon de 48 sujets de 6 à 10 ans met en évidence une série
d'incompatibilités entre des conduites relatives à l'une et l'autre des deux situations, ainsi que l'évolution parallèle de ces
conduites, soit simultanément soit avec un décalage d'un an.
Abstract
Summary
The authors investigate developmental correlations between : a) The construction of cartesian products and b) Class
complementation defined by the conjunction of two dimensions. Colored papers and plastic sheets bearing various drawings
(dots, stars...), were presented to the Ss with instructions to make "handkerchiefs" defined by color and design. Forty-eight Ss
varying from six to ten years of age participated in this study. Some behaviour patterns on one task can be used to predict
accurately performance in the other task. Simultaneous solutions for both tasks can appear at certain ages while differences in
solution appearance by as much as a year can be observed at other ages.
Citer ce document / Cite this document :
Maury L., Rogalsky J. Produit cartésien et complément. Etude génétique des conduites observées dans ces situations. In:
L'année psychologique. 1970 vol. 70, n°1. pp. 53-71.
doi : 10.3406/psy.1970.27695
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1970_num_70_1_27695Pratique des Hautes Etudes Ecole
Centre d'Etude des processus cognitifs et du langage
Equipe de recherche associée au C.N.R.S.
PRODUIT CARTÉSIEN ET COMPLÉMENT
ÉTUDE GÉNÉTIQUE
DES CONDUITES OBSERVÉES DANS CES SITUATIONS
par Liliane Maury et Janine Rogalski
SUMMARY
The authors investigate developmental correlations between : a) The
construction of cartesian products and b) Class complementation defined
by the conjunction of two dimensions. Colored papers and plastic sheets
bearing various drawings (dots, stars...), were presented to the Ss with
instructions to make ''handkerchiefs" defined by color and design. Forty-
eight Ss varying from six to ten years of age participated in this study.
Some behaviour patterns on one task can be used to predict accurately
performance in the other task. Simultaneous solutions for both tasks can
appear at certain ages while differences in solution appearance by as
much as a year can be observed at other ages.
INTRODUCTION
Cette expérience commune est le résultat de la confrontation
des expériences menées séparément par J. Rogalski sur la
construction d'un produit cartésien1 et L. Maury sur l'acqui
sition de la notion de complément logique.
Nous avons pensé qu'il pouvait exister une corrélation entre
l'évolution des deux opérations que nous avons étudiées sépa
rément :
A) La construction du produit cartésien F x C.
B) Le complément d'une classe définie par la conjonction de
deux propriétés a et b.
1. Thèses à paraître. MÉMOIRES ORIGINAUX 54
En effet, la complémentation telle qu'elle est définie dans
les expériences réalisées précédemment dépend à la fois de la
maîtrise de la négation (sans préjuger du sens qu'on peut lui
donner) et de la possibilité de mettre en relation deux propriétés.
Or, ce second facteur doit être partiellement mis en évidence
dans la construction d'un produit cartésien. Inversement, la
construction du produit cartésien suppose une comparaison de
couples définis par deux descripteurs (F et C) qui fait intervenir
l'opération de négation.
En menant les deux études simultanément (avec le même
matériel et sur le même échantillon de sujets), nous pouvons
essayer de séparer les effets spécifiques de la composition des
descripteurs et ceux de la négation et les effets de leur interaction.
Dans les expériences de construction d'un produit cartésien,
on part d'un ensemble de formes F et ensemble de cou
leurs G. Le produit F x G est l'ensemble de tous les couples (f, c)
où f appartient à F et c à G ; c'est-à-dire l'ensemble des objets
définis par leur forme et leur couleur qu'il est possible de cons
truire à partir des formes de F et des couleurs de G. Chaque
couple (f, c), élément du produit F x C, ne doit être construit
qu'une seule fois. Or deux couples (f, c) et (f, c') sont les mêmes
si — et seulement si — (f = f) et (c = c'). A chaque nouvel
élément à construire il faut donc nier la relation être le même que.
Ce qui, comme nous l'avons déjà souligné, permet une mise en
relation avec la notion de complément.
D'autre part, on peut définir dans les expériences sur le
complément, les propriétés de la classe a et b, par :
avoir la valeur A sur un descripteur Dx la B sur un D2.
Le complément d'une classe définie par la conjonction de
deux propriétés a et b ainsi définies consiste alors à construire
une partie du produit cartésien F x G (lorsque Dx est la forme
et Da la couleur).
Nous allons définir les opérations qu'implique une réponse
correcte à chacune des épreuves, en précisant pour le complément
les étapes génétiques obtenues dans les expériences précédentes.
A) Construction de F x G
Les épreuves de construction d'un produit cartésien F x C,
dans nos expériences, doivent satisfaire deux contraintes :
Vexhauslivité et l'unicité. MAURY ET J. ROGALSKI 55 L.
— exhausliuité : tous les couples (f, c) doivent être construits ;
— unicité : chaque couple (f, c) ne doit être construit qu'une fois.
L'exhaustivité exige qu'on tienne compte des deux descrip
teurs, de manière indépendante : toutes les couleurs de G doivent
être distribuées sur chacune des formes de F (ou réciproquement).
L'unicité porte sur l'identité des couples : (/*, c) et (/"', c')
sont « les mêmes » si — et seulement si — (f = f) et (c = c').
Vérifier que deux couples ne sont pas les mêmes consiste donc
à nier la relation « être pareil ».
Il y a un double antagonisme entre les deux exigences
d'exhaustivité et d'unicité :
— d'une part, si la relation « être non pareil » est plus contrai
gnante que la non-unicité (par exemple, deux éléments sont
différents seulement s'ils diffèrent par la couleur) on observe
une construction spontanée d'une partie stricte du produit
(construction non exhaustive), spécifique de la relation « être
non pareil » (par exemple ne sont construits que les éléments
ayant chacun une des couleurs de G) ;
— d'autre part l'exhaustivité peut ne pas être obtenue par une
procédure algorithmique de recherche des éléments manq
uants, qui assure de construire à chaque coup un élément
non identique aux précédents. Le sujet peut ainsi construire
tout nouvel élément par un « tirage » d'une forme parmi
les n formes, et d'une couleur parmi les m couleurs (avec
éventuellement une probabilité dépendant de la séquence
des éléments déjà construits). Pour les ensembles dont
l'effectif est relativement faible (3 ou 4 dans nos expériences),
tous les couples peuvent alors être construits. Mais cette
procédure n'assure pas que chaque couple ne figure qu'une
seule fois, le sujet peut construire des doubles.
B) Complémentation
Une réponse correcte à la négation de la conjonction de deux
propriétés a et b consiste à donner :
1) Les éléments qui n'ont pas la valeur A sur le premier descrip
teur et pas la valeur B sur le second ;
2) Les éléments qui ont la valeur A sur le premier descripteur
mais pas la valeur B sur le second ;
3) Les qui ont la valeur B sur le second
mais pas la valeur A sur le premier. 56 MÉMOIRES ORIGINAUX
Les résultats expérimentaux obtenus montrent que l'acqui
sition de la complémentation passe par les trois étapes suivantes :
I. — Unidimensionnelle. Les sujets ne nient que l'une des
propriétés a ou b. Ils donnent, simplement, par exemple, les
éléments qui n'ont pas la valeur A.
IL — Contraire. Les sujets nient l'une et l'autre propriété
simultanément. Ils donnent alors les éléments qui n'ont ni la
valeur A ni la valeur B.
III. — Réponse correcte.
Dans la suite de l'exposé, nous définirons de manière détaillée
chacune des conduites retenues et la place qu'elles occupent
dans notre analyse.
Par analogie avec nos travaux antérieurs, nous parlons de
produit F x G et de complément d'une classe (a, b).
PLAN DE L'EXPÉRIENCE
L'expérience comprend deux parties (I et II) :
La première partie porte sur la construction d'un produit
cartésien F x G (3 formes et 4 couleurs), la seconde sur la
complémentation. Dans chaque partie, nous avons strictement
repris les expériences faites séparément, chacune couvre donc
un champ plus large que celui qui serait indispensable pour leur
comparaison. Nous utilisons ces résultats pour d'autres analyses.
I. — Produit :
a) Construction du produit ;
b) Questions numériques d'adjonction :
— d'une couleur ;
—forme ;
c) Rangement sur un tableau de 3 lignes et 4 colonnes
(3 x 4).
II. — Complément : construction et justifications.
a)dans un produit 2 X 2 ;
b)un 3x4.
Matériel
On place devant le sujet deux boîtes à compartiments. Dans
l'une sont rangés des carrés de papier de couleur différente
(bleus, rouges, verts, jaunes), une couleur par compartiment ;
dans l'autre, des enveloppes de plastique transparent, compor- L. MAURY ET J. ROGALSKI 57
tant des formes différentes (carrés, étoiles, pois), une forme par
compartiment. Le sujet doit construire des « mouchoirs ». Un
mouchoir est constitué d'une enveloppe de plastique et d'un
fond de couleur.
Ex. : mouchoir « rouge avec des étoiles ».
Consignes
I. — Produit
a) Construction. — Après avoir décrit le matériel, l'expér
imentateur demande au sujet de construire avec ce matériel
« tous les mouchoirs qu'il peut faire, sans faire deux fois le même ».
Il donne un exemple de mouchoirs identiques (même forme et
même couleur) avec une forme et une couleur supplémentaires et
précise qu'on ne doit pas faire « deux fois le même, deux
pareils, etc. » ; cette consigne est rappelée en cours d'expérience,
si nécessaire.
b) Questions numériques d'adjonction. — Après que le sujet
a construit tous les couples, l'expérimentateur lui pose quelques
questions numériques sur les couleurs et sur les formes.
1. « Si je te donne une couleur en plus (orange), combien pourras-
tu faire de mouchoirs supplémentaires (en plus) ? »
2. « Combien as-tu fait de mouchoirs bleus, rouges, etc. ? »
Le sujet doit répondre sans regarder ce qu'il a fait, puis
il vérifie sa réponse en comptant les objets réalisés.
3. Réitération de la question 1 (même s'il y a eu réussite).
On procède de même avec les formes : « Si je te donne des
plastiques avec des fleurs, combien... »
c) Rangement. — On donne au sujet un tableau à douze
cases (quatre lignes et trois colonnes) sur lequel il doit ranger
tous les mouchoirs, un mouchoir par case.
II. — Complément
a) 2 X 2.
On donne deux tas de cartons de couleurs (rouges et bleus)
et deux tas d'enveloppes de plastique (à pois et avec des étoiles).
La consigne de complémentation est la suivante :
« Je ne veux pas de mouchoirs « rouges avec des étoiles »,
fais-moi, avec ce que tu as sur la table, tous les mouchoirs que
je veux. » MÉMOIRES ORIGINAUX 58
— Après arrêt spontané, l'expérimentateur demande au
sujet s'il est sûr d'avoir fait « tous ceux que je veux ». S'il peut
en faire d'autres et pourquoi.
— Suivant la réponse initiale, propose
des exemples ou des contre-exemples du complément. Le sujet
doit les refuser ou les accepter en justifiant son choix.
b) On procède de manière identique en partant de quatre
couleurs et trois formes.
Sujets
Tous les sujets ont passé l'expérience dans le même ordre
— c'est-à-dire phase I, puis II, dans l'ordre indiqué.
Nous avons interrogé 48 sujets de 5;9 à 9;6, répartis en
4 groupes de 12 sujets chacun. Les quatre groupes correspondent
à quatre classes (GP, CEX, CE2, GM^) de l'école primaire.
Groupe I, âges limites : 5;6 - 6;4, âge moyen : 6;2
— II, - 7;l-7;4, - 7;3
— III, — 8;1~8;4, — 8;2
— IV, — 9; -9;6, — 9;3
ANALYSE DES RÉSULTATS
Comme nous l'avons précédemment noté, nous ne faisons
pas une analyse exhaustive dans chaque partie de l'expérience.
En particulier, nous n'utilisons pas ici les résultats observés
sur le rangement (c) dans la première partie, ni ceux qui ont
trait au complément un produit 2x2, dans la deuxième
partie.
Les divers types de conduites retenues sont définis soit par
rapport au produit, soit par rapport au complément ; nous
n'établissons de comparaison qu'entre une conduite relevant
du produit et une relevant du complément et jamais entre
deux conduites relevant de la même opération.
Pour la première partie de l'expérience, les trois types de
conduites retenues sont les suivants :
A) Existence ou non d'arrêt
DANS LA CONSTRUCTION DU PRODUIT
II nous a paru important de noter si le sujet construisait
l'ensemble des couples de manière continue (ce qui ne veut pas
dire de manière systématique) ou s'il s'arrêtait après avoir L. MAURY ET J. ROGALSKI 59
épuisé les trois formes possibles ou les quatre couleurs ou éven
tuellement après épuisement des deux. Exemple de double
arrêt : le sujet construit d'abord trois mouchoirs différant par
chacune des dimensions : carré/rouge, étoile/bleu, rondjverl puis
s'arrête (après avoir utilisé les trois formes). Sur incitation de
l'expérimentateur, il construit un autre mouchoir étoile/jaune
par exemple et s'arrête à nouveau, ayant utilisé les quatre
couleurs. Cette conduite semble plus spécifiquement liée à
l'opération de négation qu'au produit lui-même. En effet, le
sujet qui s'arrête justifie toujours l'arrêt de la manière suivante :
Si j'en fais un autre, il sera pareil (sous-entendu « à un mouchoir
déjà fait »). On voit donc que dans ce cas pour que deux mouc
hoirs soient pareils, il suffit qu'ils aient soit la même couleur,
soit la même forme et non pas les deux. L'arrêt serait donc lié
à la négation de être pareil.
Dans les tableaux de résultats, nous avons réparti les sujets,
suivant qu'ils ne s'arrêtent pas du tout dans la construction
de F x G (~ A), ou qu'ils s'arrêtent une ou/et deux fois (A).
U) Existence ou non de doubles
DANS LA CONSTRUCTION DU PRODUIT
Tous les sujets arrivent, avec des incitations plus ou moins
nombreuses de l'expérimentateur, à construire tous les couples
possibles ; c'est-à-dire à un produit cartésien exhaustif. Mais
l'exhaustivité n'implique pas l'unicité et il arrive que des couples
existent à plusieurs exemplaires (doubles). Nous ne considérons
pas que l'exhaustivité du produit est un critère pour l'analyse
des résultats (puisque tous les sujets y arrivent plus ou moins
difficilement) mais que l'unicité des couples en est un. En parti
culier, dans le cas où n'est pas effective (~ U), le sujet
n'est pas capable d'effectuer une comparaison systématique
(suivant les deux dimensions) d'un élément à construire à ceux
qu'il a déjà construits.
N) Réponses aux questions numériques d'adjonction
Nous avons réparti les sujets dans trois classes suivant qu'ils
répondent correctement aux deux questions (forme
et couleur) (N2), à l'une des (N^, à aucune (No). Dans la
deuxième classe, nous n'avons pas distingué les sujets qui
répondent correctement à la forme de ceux qui répondent MÉMOIRES ORIGINAUX 60
correctement à la couleur seulement. Les deux conduites sont
simplement considérées comme unidimensionnelles (prise en
considération d'une seule dimension).
Pour la deuxième partie de l'expérience, nous ne retenons
que deux types de conduites que nous allons comparer aux
précédents :
D) Distributivité ou non
DE L'ENSEMBLE DE COUPLES CONSIDÉRÉS PAR LE SUJET
COMME COMPLÉMENT DE (a, b)
Nous disons qu'un sous-ensemble du produit F x G est
distributif s'il existe au moins une forme utilisée deux fois (avec
deux couleurs différentes) et s'il existe au moins une couleur
utilisée deux fois (avec deux formes différentes).
Nous pensons que cette conduite est plus spécifiquement
liée à la construction du produit et non à la négation. En effet,
la d'un ensemble non distributif suppose que le
sujet n'est pas capable de faire la combinatoire qui consiste à
multiplier chaque f de F par chaque c de C. (Cependant, la
distributivité n'implique pas que le sujet soit capable de cette
combinatoire.)
J) Justifications données par le sujet
ET RÉPONSES AUX CONTRE-EXEMPLES
Nous avons retenu trois catégories de justifications qui
correspondent au sous-ensemble que le sujet accepte comme
complément de (a, b) lorsque l'E lui fournit des exemples et
des contre-exemples.
1. Unidimensionnelle. — Le sujet accepte comme complément
de (a, b) tous les éléments qui ont la couleur a et non la forme b
ou inversement tous ceux qui ont la forme b et non la couleur a.
En d'autres termes, la négation porte sur une seule dimension,
l'autre étant négligée.
Exemple : si E demande le complément de bleu à pois, le
sujet accepte tous les mouchoirs « bleus » (non « à pois ») et
refuse tous ceux à pois (unidimensionnelle/forme).
Nous n'avons pas séparé, dans notre analyse, l'unidimen-
sionalité forme de l'unidimensionalité couleur.
2. Contraire. — Une justification est dite contraire lorsque
le sujet rejette les éléments de couleur a et les éléments de L. MAURY ET J. ROGALSKI 61
forme b. Il n'accepte ni les éléments a, ni les éléments b. La
négation semble porter sur l'une et l'autre dimension.
3. Correcte. — Un sujet donne une justification correcte
lorsqu'il résiste aux contre-exemples.
— Il accepte (dans notre exemple) tous les mouchoirs bleus,
pourvu qu'ils ne soient pas « à pois », et les « à pois »
s'ils ne sont pas bleus. Les sujets justifient leur choix dans ce
sens.
Nous obtenons ainsi cinq rubriques d'analyse (A, U, N, D
et J) parmi lesquelles deux relèvent plus spécifiquement de la
négation (A et J) et trois plus spécifiquement du produit (U,
N et D). Parmi les six tableaux croisés possibles, entre les trois
rubriques produit et les deux rubriques négation, nous n'en
avons retenu que 3 qui mettent en jeu la partie I et II de
l'expérience (A X D), (J x N) et (J x U).
Nous avons donc trois groupes de tableaux I, II, III. Dans
chaque groupe de tableaux figurent l'analyse par classe d'âge
et l'analyse globale sur tous les sujets.
Nous faisons à partir des résultats antérieurs l'hypothèse
qu'il existe des incompatibilités entre certains comportements
dans la construction du produit et de
complémentation. Nous proposons une interprétation de la
nature de ces dans la discussion finale.
Une telle hypothèse purement déterministe n'est pas justi
fiable de test statistique. D'autre part, nous ne nous posons pas
de problème d'approximation (analogue à celui posé par les
échelles hiérarchiques de Guttmann), mais nous traitons une
incompatibilité comme un cas particulier de dépendance entre
deux variables. L'étude du tableau de dépendance nous amène
alors non pas à valider une hypothèse a priori, mais à faire une
conjecture sur la liaison entre ces variables. Le traitement
statistique des résultats numériques consiste en un test de
l'hypothèse d'indépendance des variables définies, par un /2
sur les résultats globaux. Si le test statistique ne permet pas de
rejeter l'hypothèse d'indépendance, nous devons alors aban
donner sur l'incompatibilité. Sinon, nous conservons
cette hypothèse. Dans ce cas, on recherche dans le tableau la
case qui contribue particulièrement à rendre y? significatif.
C'est-à-dire la case pour laquelle le terme
n0