Supplément de cours Le Binaire (base 2) et le complément à 2

Dimitri Kara

Description

Supplément de cours Le Binaire (base 2) et le complément à 2 Voici le supplément de cours concernant la base 2 en complément à 2 (ainsi que quelques rappels). Notez que la probabilité qu'il y ait du complément à 2 au Partiel est relativement faible, donc ça ne doit pas être votre priorité de révision. Mais pour ceux qui préfèrent mettre toute les chances de leur côté, cette fiche permet de le comprendre assez rapidement. Pour le reste du cours (signification exacte du binaire, conversion, addition/soustraction, valeurs maximales et nombre de valeurs, algorithme de conversion) voir la WebSéance WF1 qui contient un cours complet sur ce que vous devez savoir à l'examen, ainsi que des exercices d'entraînement et un quiz VirtuelProf sur le binaire pour se tester. Binaire non signé Le binaire, la base 2, est un procédé permettant d'exprimer des valeurs numériques en utilisant les valeurs 0 et 1. Chacune de ses valeurs, qu'on appelle des bits, représente une puissance de 2, en commençant à 0droite par 2 . Exemple: 1 0 0 1 1 4 3 2 1 02 2 2 2 2 16 0 0 2 1 10011 en base 2 (binaire)  19 en base 10 (décimal) Un nombre binaire est donc une somme de puissances de 2. Mais, pour l'adapter à différents besoins, plusieurs variations du langage binaire ont été créées, des sortes de dialectes. Le binaire classique, qui est appelé binaire non signé ne permet de coder que des valeurs positives. Dans ce cas, tous les bits correspondent à des ...

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• Langue: Français

Extrait

Supplément binaire

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1/5

Supplément de cours Le Binaire (base 2) et le complément

à 2

Voici le

supplément de cours

concernant

la base 2 en complément à 2

(ainsi que

quelques

rappels

).

Notez que la probabilité qu'il y ait du complément à 2 au Partiel est relativement faible, donc ça ne doit

pas être votre priorité de révision. Mais pour ceux qui préfèrent mettre toute les chances de leur côté,

cette fiche permet de le comprendre assez rapidement.

Pour le

reste du cours

(signification exacte du binaire, conversion, addition/soustraction, valeurs

maximales et nombre de valeurs, algorithme de conversion) voir la

WebSéance WF1 qui contient un

cours complet sur ce que vous devez savoir à l'examen, ainsi que des exercices

d'entraînement et un quiz VirtuelProf sur le binaire pour se tester.

Binaire non signé

Le

binaire

, la

base 2

, est un procédé permettant d'

exprimer des valeurs numériques

en utilisant les

valeurs 0 et 1.

Chacune de ses valeurs, qu'on appelle des

bits

, représente

une puissance de 2

, en commençant à

droite par 2

0

.

Exemple:

1

0

0

1

1

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

16 0

0

2

1

10011 en base 2 (binaire)



19 en base 10 (décimal)

Un nombre binaire est donc

une somme de puissances de 2

.

Mais, pour l'adapter à différents besoins,

plusieurs variations du langage binaire ont été créées

,

des sortes de dialectes.

Le binaire classique, qui est appelé

binaire non signé

ne permet de coder

que des valeurs

positives

.

Dans ce cas, tous les bits correspondent à des puissances de 2.

Pour pouvoir exprimer aussi des

valeurs négatives

on dispose de

deux autres variations

: la

base 2

avec bit de signe

et la

base 2 en complément à 2

.

Attention:

Pour connaître la valeur d'un binaire qui commence par 1, il faut donc connaître le langage

dans lequel on se trouve (voir la suite)

Bit de signe

Le

binaire avec bit de signe

permet de

coder les nombres négatifs

, mais les

opérations

comme

l'addition ou la multiplication sont alors

impossibles

entre 2 binaires en bit de signe.

Le premier bit

(celui

le plus à gauche

)

perd

son rôle de

puissance de 2

.

Il n'indique maintenant

que le signe du nombre

:

0

correspond au

+

et

1

correspond au

-

.

En fait, quand le 1

er

bit est 0, on ajoute les puissances de 2 à zéro, et on retranche les puissances de

2 si le premier bit est 1.

Sur 8 bits par exemple, on a:

25:

00011001

(0 + 25)

-25:

10011001

(0

- 25)

Car:

0

0

0

1

1

0

0

1

(+) 2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

(+) 0

0

16 8

0

2

1

1

0

0

1

1

0

0

1

(-) 2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

(-) 0

0

16 8

0

2

1

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2/5

Complément à 2

On l'a dit, on ne peut pas faire d'opération avec un négatif en bit de signe.

C'est pour cela que le

binaire en complément à 2

a été inventé.

Le complément à 2

est tout simplement

une autre manière

d'exprimer

les nombres négatifs.

En binaire avec bit de signe

, un nombre

négatif

est

identique à son équivalent positif

, avec le

1er

bit remplacé par 1

.

En binaire en complément à 2

, un nombre

négatif

est le

complément à 1 de son équivalent

positif

, auquel on

ajoute 1

.

Qu'est-ce que le

complément à 1

d'un binaire? Il s'agit du binaire où les 0 sont remplacés par des 1,

et les 1 par des 0.

Le complément à 1, ou complémentaire, de 00101 est donc 11010 et inversement.

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

Comment donc

exprimer -25

en

complément à 2 sur 8 bits

?

On rappelle qu'

en complément à 2

, un nombre

négatif

est

le complément à 1

de son équivalent

positif

, auquel

on ajoute 1

.

Il s'agit donc tout d'abord

d'exprimer son positif

, 25, soit:

00011001

On va ensuite trouver le

complément à 1

de 25

11100110

A ce complémentaire, on va maintenant

ajouter

la valeur binaire de 1

:

1

1

1

0

0

1

1

0

+

0

0

0

0

0

0

0

1

=

1

1

1

0

0

1

1

1

Cette valeur

11100111

est donc

-25 en base 2 en complément à 2.

Mais quel est donc le

lien

entre

11100111

et la valeur

-25

?

En fait, c'est lié à

la façon dont les nombres négatifs sont exprimés

, qui est totalement différent en

bit de signe et en complément à 2.

En bit de signe

, un nombre négatif est exprimé en

retranchant à 0 des puissances de 2 positives

.

Ainsi, quand on écrit -25 sur 8 bits, c'est à dire

10011001

C'est comme si on écrivait: "je retranche à 0 les valeurs 16, 8 et 1" soit 0 - (16+8+1) = -25

En complément à 2

, on exprime

un négatif

en

partant d'une puissance de 2 négative

et en lui

additionnant des puissances de 2 positives plus petites

.

La plus grande puissance de 2 (donc le bit le plus à gauche) est négatif en complèment à 2.

Ainsi -25 sur 8 bits va être exprimé

-128

+ (64+32+4+2+1) soit -128+103 soit -25

Reprenons le binaire que l'on avait trouvé pour -25 en complément à 2, soit:

11100111

Si on calcule les valeurs des

7 derniers bits

, on obtient

1

1

1

0

0

1

1

1

?

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

?

64 32 0

0

4

2

1

64+32+4+2+1 soit

103

Evidemment,

la valeur du 1er bit

dépend du langage.

En binaire classique,

non signé

, il représente

2

7

, soit 128

1

1

1

0

0

1

1

1

2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

128 64 32 0

0

4

2

1

11100111

vaut donc alors

128+103

, soit

231

en base 2 non signé

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3/5

Avec

bit de signe

, il représente

le signe –

1

1

1

0

0

1

1

1

(-) 2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

(-) 64 32 0

0

4

2

1

11100111

vaut alors

-103 en base 2 avec bit de signe

Et bien

en complément à 2

, le

1er bit

représente un mix entre les 2 autres langages:

Il garde son sens de 2

7

, mais cette

puissance de 2

est maintenant

négative

, soit -2

7

(= -128).

Si on

additionne

la valeur du

1er bit négatif

-128 avec

les autres bits positifs

on obtient:

1

1

1

0

0

1

1

1

-2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

-128 64 32 0

0

4

2

1

1*(-128) + 103 soit -25.

11100111

vaut donc bien

-103 en base 2 en complément à 2.

Evidemment la valeur de la

puissance de 2 négative

dépend du

nombre de bit

.

Sur 7 bits

,

le 1

er

bit

vaut maintenant

-2

6

soit -64 et donc -25 va s'écrire maintenant -64+39, soit

1100111:

1

1

0

0

1

1

1

-2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

-64

32 0

0

4

2

1

Pour trouver une valeur négative en complément à 2

, on peut donc:

-

soit faire le

complément à 1

du positif et

rajouter 1

-

soit trouver la

combinaison

entre

la puissance de 2 négatives

et les

puissances de 2

positives

plus petites

Exemple:

-127

127: 01111111

Complément à 1: 10000000

On trouve le complément à 2 en rajoutant 1: 10000001

Evidemment, on sait que -127 c'est -128 + 1, et on retrouve:

1

0

0

0

0

0

0

1

-2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

-128

0

0

0

0

0

0

1

-1

1: 00000001

Complément à 1: 11111110

On trouve le complément à 2 en rajoutant 1: 11111111

Evidemment, on sait que -127 c'est -128 + 127, et on retrouve:

1

1

1

1

1

1

1

1

-2

7

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

-128

64 32 16 8

4

2

1

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4/5

Les nombres positifs sont universels

Une

valeur positive

va s'exprimer

de la même manière

, que l'on soit

en non signé

, en

bit de signe

,

ou en

complément à 2

.

De la même façon, si mon

binaire commence par 0

, je sais qu'il est

positif

, et c'est

la même valeur

quel que soit le langage.

Vérifions avec

25 sur 8 bits

, soit

00011001

Les 7 derniers bits

donnent la valeur

25

:

0

0

0

1

1

0

0

1

?

2

6

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

?

0

0

16 8

0

2

1

La valeur du 1

er

bit

, qui dépend du langage, va en fait toujours

être égal à 0

:

-

en non signé

, il représente

2

7

, ce qui nous donne 0 * 128 = 0



0 + 25 = 25

-

avec bit de signe,

il représente le

signe +

, ce qui nous donne + 25



25

-

en complément à 2

, il représente

-2

7

, ce qui nous donne 0 * (-128) = 0



0 + 25 = 25

Testez vous

Convertissez ces 3 valeurs dans les

3 langages binaires

(si c'est possible)

sur 8 bits.

binaire non signé

binaire avec bit de

signe

binaire en complément

à 2

37

-60

-59

Trouvez

la valeur décimale (base 10)

de ces 3 binaires,

suivant le langage

dans lequel est

exprimé

le binaire

:

binaire non signé

binaire avec bit de

signe

binaire en complément

à 2

00111001

10111001

10000010

Les corrections sont page suivante:

…

…

…

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Correction

Convertissez ces 3 valeurs dans les 3 langages binaire (si c'est possible) sur 8 bits.

binaire non signé

binaire avec bit de

signe

binaire en complément

à 2

37

00100101

00100101

00100101

(identique

pour les 3 car positifs)

-37

impossible

10100101

11011011 (-128+91)

-60

impossible

00111100

01000100 (-128+68)

Trouvez la valeur décimale de ces 3 binaires, suivant le langage dans lequel est exprimé le binaire:

binaire non signé

binaire avec bit de

signe

binaire en complément

à 2

00111001

57

57

57 (les positifs sont

universels)

10111001

185

-57

-71 (-128 + 57)

10000010

130

-2

-126 (-128+2)