[tel-00108459, v2] Étude de la stabilité des petites solutionsstationnaires pour une classe d'équations

Boussaid, Nabile

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Extrait

´Universite Paris Dauphine
´ ´D.F.R Mathematiques de la Decision
N˚attribu´e par la biblioth`eque

´Etude de la stabilit´e des petites solutions
stationnaires pour une classe d’´equations
de Dirac non lin´eaires

`THESE
pour l’obtention du titre de
DOCTEUR EN SCIENCES
Sp´ecialit´e Math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 6 Juillet 2006 par
Nabile BOUSSAID
Jury
´ ´ ´Directeur de th`ese : Eric SERE
Professeur, Universit´e Paris-Dauphine
Rapporteurs : Galina PERELMAN
´Charg´ee de Recherche CNRS, Ecole Polytechnique
Michael I. WEINSTEIN
Professor, Columbia University
Examinateurs : Maria J. ESTEBAN
Directrice de Recherche CNRS, Universit´e Paris-Dauphine
Vladimir GEORGESCU
Directeur de Recherche CNRS, Universit´e de Cergy-Pontoise
Yvan MARTEL
Professeur, Universit´e de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines
tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006L’Universit´e n’entend donner aucune approbation ni improbation aux opinions ´emises
dans les th`eses : ces opinions doivent ˆetre consid´er´ees comme propres a` leurs auteurs.
tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006´Etude de la stabilit´e des petites solutionsstationnairespourune classe d’´equations deDirac
non lin´eaires
R´esum´e : Cette th`ese est consacr´ee `a l’´etude de la stabilit´e de petits ´etats station-
nairesd’une´equationd’´evolutionnonlin´eaireissuedelam´ecaniquequantiquerelativiste:
l’´equation de Dirac non lin´eaire.
Toutlelongdenotre´etude,les´equationsnonlin´eairessontvuescommedespetitesper-
turbationsnonlin´eairesdesyst`emeslin´eaires.Unepartiedecetteth`eseestdoncconsacr´ee
`a l’´etude de probl`emes lin´eaires. Nous montrons que, pour un op´erateur de Dirac n’ayant
pas de r´esonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, le propagateur v´erifie des esti-
mations de propagation et de dispersion. Nous en d´eduisons´egalement des estimations de
r´egularit´e au sens de Kato et des estimations de Strichartz.
En faisant des hypoth`eses ad hoc sur le spectre discret d’un op´erateur de Dirac, nous
construisonsdespetitesvari´et´esform´eesd’´etatsstationnaires.Puisenfaisantvarierceshy-
poth`eses, nous faisons apparaˆıtre des ph´enom`enes de stabilisation et d’instabilit´e orbitale
pour certains de ces ´etats.
Mots cl´es : ´equations aux d´eriv´ees partielles, op´erateur de Dirac, estimations de pro-
pagation, estimations de dispersion, estimations de r´egularit´e, estimations de Strichartz,
´equation de Dirac non lin´eaire, ´etats stationnaires, stabilit´e, stabilit´e orbitale, stabilit´e
asymptotique, directions stables.
AstudyofthestabilityofsmallstationarysolutionsforaclassofnonlinearDiracequations
Abstract: Thisthesisisdevotedtothestudyofthestabilityofsmallstationarysolutions
of a nonlinear time dependent equation coming from relativistic quantum mechanics: the
nonlinear Dirac equation.
Inthisstudy,nonlinearequationsareviewedassmallnonlinearperturbationsoflinear
systems. A part of this thesis is hence devoted to the study of linear problems. We prove
that for a Dirac operator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue at thresholds,
the propagator satisfies propagation and dispersive estimates. We also deduce smoothness
estimates in the sense of Kato and Strichartz estimates.
With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of a Dirac operator, we build
small manifolds of stationary states. Then with small variations on these assumptions,
we can highlight some stabilization process and orbital instability phenomena for some
stationary states.
Keywords: Partial Differential Equations, Dirac Operator, Propagation estimates, Dis-
persive estimates, Smoothness estimates, Strichartz estimates, Nonlinear Dirac equation,
Stationary states, Stabilty, Orbital stability, Asymptotic stability, Stable directions.
CEREMADE
UMR CNRS 7534
Universit´e Paris - Dauphine
Place du Mar´echal De Lattre de Tassigny
F-75775 PARIS C´edex 16
France
tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006Oumi El Hadja
& Sopheak
tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006Remerciements
´Merci a` Eric S´er´e, pour avoir accept´e de diriger cette th`ese, pour m’avoir fait confiance,
pour son attention, sa patience et pour sa disponibilit´e
Merci a` Galina Perelman d’avoir accept´e de rapporter cette th`ese, pour ses questions,
ses suggestions et ses remarques. Merci d’avoir accept´e de prendre part a` ce jury.
Merci `a Michael Weinstein pour l’int´erˆet qu’il a port´e a` mon travail, pour ses encour-
agements et pour ses remarques. Merci d’avoir accept´e de rapporter cette th`ese et d’avoir
fait tout son possible pour prendre part `a ce jury.
Merci a` Maria Esteban de me faire l’honneur de participer `a ce jury.
Merci `a Vladimir Georgescu pour son cours sur la th´eorie spectrale et la th´eorie du
scattering, pourletempsqu’ilaprispourr´epondrea`mesquestions. Mercid’avoiraccept´e
de participer a` ce jury.
Merci a` Yvan Martel d’avoir pris le temps d’´ecouter une pr´esentation de mes travaux
et d’avoir accept´e de participer a` ce jury.
Merci a` Andrei Iftimovici pour son aide, ses conseils et ses nombreuses discussions. Je
´n’oublie pas que c’est lui qui m’a mis en contact avec Eric S´er´e.
Merci a` Emmanuel Hebey pour son aide au d´ebut de la th`ese.
Merci `a Anne De Bouard pour avoir pris le temps avec Yvan Martel d’´ecouter une
pr´esentation de mes travaux.
Merci `a Mathieu Lewin pour ses relectures, ses nombreux conseils, son soutien et son
amiti´e.
Merci a` Phillipe Gravejat pour son interˆet pour mon travail, ses discussions et ses
conseils.
Merci `a Jean-Pierre Grivaux pour sa confiance et son aide.
Merci`atousauCEREMADEetaud´epartementdemath´ematiquesdeCergy-Pontoise
pour m’avoir accueilli et permis de mener `a terme cette th`ese.
Merci `a Sylvain Gol´enia un ami math´ematicien pour les nombreux ´echanges durant
ces deux ann´ees en commun a` Cergy.
Merci a` Alberto Farina pour son invitation a` Vienne mais aussi a` David, Laurent,
Cl´ement, Mihai...
Merci a` la “C618”: Claire, Nora, Niousha, Val´erie, Anne-Laure, Olivia, Amina, Denis,
Florent, Adrien, Jean-Phillipe, Sylvain, Fethallah, St´ephane, Adrien, Anouar, Tabatha,
Jennifer, Jacques-Olivier...
Merci ´egalement au autres membres du GTD-DS : Sophie, Fabian ... une pens´ee pour
Delphine.
Merci aux Caribalus de Cergy-Pontoise : Mireille, Charlotte, Mouna, Martin, Vidian,
Simon, Fr´ed´erique, Rodolphe, Michael, Romain...
Merci aux ATER de Dauphine: Aude, Chlo´e, Marion, Emmanuelle, Fulvio, Nicolas,
Nicolas, Jerˆome, Khaled...
tel-00108459, version 2 - 18 Dec 2006Merci aux amis non math´ematiciens que je ne nomme pas de peur d’en oublier.
Merci a` Sonia, Najoua, Ouajdi, Nassim, Amine, Tajeddine, Kamel, Sophona, Sophea,
Phoumin, Kiri, Pirum, Thomas, Camille, Boramy, Sivotha, Bertrand, Daravy, Benjamin.
Merci a` mes parents et `a Setha. Une pens´ee pour Rinn.
Une pens´ee pour Oumi el Hadja.
Merci a` Sopheak pour m’avoir patiemment soutenu dans les moments de doutes et
d’inqui´etude.
Nabile Boussaid
“Les deux mots les plus brefs et les plus anciens, oui et non, sont ceux qui exigent le plus de
r´eflexion.”
Pythagore de Samos (580-490).
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