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THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PARIS 6Specialite :MATHEMATIQUESpresentee par :M. NICOLAS RATAZZIpour obtenir le grade de docteur de l’Universite Paris 6Sujet :Minoration de la hauteur de Neron-Tate pour les points et lessous-varietes : variations sur le probleme de LehmerSoutenue le 25 mai 2004 devant le jury compose de :M. Francesco AMOROSO (Caen)M. Daniel BERTRAND (Paris 6)M. Jean-Beno^ t BOST (Paris 11, Orsay)M. Carlo GASBARRI (Rome 2) RapporteurM. Marc HINDRY (Paris 7) DirecteurM. Michel LAURENT (CNRS, Marseille) Rapporteur2RemerciementsJe tiens avant tout a remercier mon directeur de these Marc Hindry. Il a pleinementrepondu a mes attentes d’encadrement et d’autonomie. Il a notamment toujours mani-feste son inter^et pour mes recherches, m^eme si celles-ci ne correspondent pas exactementau sujet qu’il m’avait propose. Par ailleurs, il a fait preuve d’une disponibilite tout a faitremarquable, ayant toujours un moment a me consacrer lorsque j’en ressentais le besoin.C’est toujours avec beaucoup de gentillesse et une grande clarte qu’il a repondu a mesquestions.Je suis tres heureux que Carlo Gasbarri et Michel Laurent aient accepte de rapporter mathese, t^ache ingrate qu’ils ont neanmoins e ectu ee avec diligence. Je suis honore qu’ils aienttous deux accepte de faire le deplacement a Paris pour assister a ma soutenance.Je souhaite egalement exprimer ma reconnaissance a Francesco Amoroso, Daniel ...

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THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PARIS 6
Specialite :
MATHEMATIQUES
presentee par :
M. NICOLAS RATAZZI
pour obtenir le grade de docteur de l’Universite Paris 6
Sujet :
Minoration de la hauteur de Neron-Tate pour les points et les
sous-varietes : variations sur le probleme de Lehmer
Soutenue le 25 mai 2004 devant le jury compose de :
M. Francesco AMOROSO (Caen)
M. Daniel BERTRAND (Paris 6)
M. Jean-Beno^ t BOST (Paris 11, Orsay)
M. Carlo GASBARRI (Rome 2) Rapporteur
M. Marc HINDRY (Paris 7) Directeur
M. Michel LAURENT (CNRS, Marseille) Rapporteur2Remerciements
Je tiens avant tout a remercier mon directeur de these Marc Hindry. Il a pleinement
repondu a mes attentes d’encadrement et d’autonomie. Il a notamment toujours mani-
feste son inter^et pour mes recherches, m^eme si celles-ci ne correspondent pas exactement
au sujet qu’il m’avait propose. Par ailleurs, il a fait preuve d’une disponibilite tout a fait
remarquable, ayant toujours un moment a me consacrer lorsque j’en ressentais le besoin.
C’est toujours avec beaucoup de gentillesse et une grande clarte qu’il a repondu a mes
questions.
Je suis tres heureux que Carlo Gasbarri et Michel Laurent aient accepte de rapporter ma
these, t^ache ingrate qu’ils ont neanmoins e ectu ee avec diligence. Je suis honore qu’ils aient
tous deux accepte de faire le deplacement a Paris pour assister a ma soutenance.
Je souhaite egalement exprimer ma reconnaissance a Francesco Amoroso, Daniel Bertrand
et Jean-Beno^ t Bost pour avoir accepte de faire partie de mon jury de these.
Je tiens ici a indiquer ma gratitude envers Sinnou David. C’est son cours de DEA de
l’annee scolaire 2000/2001 sur la geometrie diophantienne (et entre autres choses sur le
nprobleme de Lehmer surG ) qui, avec le livre de Marc Hindry et Joseph Silverman surm
le m^eme sujet, m’a de nitiv ement donne envie de faire ma these dans ce domaine. Par
ailleurs, il a toujours accepte de repondre chaleureusement a mes questions et c’est lui qui
m’a encourage a ecrire l’article correspondant au chapitre 3 de cette these.
Bien que je n’aie pas encore reussi a exploiter ses idees, je voudrais egalement remercier
Jean-Beno^ t Bost pour le temps qu’il a accepte de me consacrer, essayant de me faire
comprendre sa vision des choses concernant les liens que pourraient avoir le theoreme de
l’indice de Hodge arithmetique avec les problemes d’approximations diophantiennes.
C’est a l’occasion d’un expose a Grenoble et d’une discussion avec Gael Remond que j’ai
eu l’idee (et compris l’inter^et) d’ecrire l’article correspondant au chapitre 5 de cette these.
Par la suite Gael Remond a toujours repondu avec precision a mes di erentes questions
concernant ses travaux. Je tiens a le remercier ici.
Pascal Autissier a egalement toujours accepte de repondre a mes questions sur la theorie
d’Arakelov. Par ailleurs je suis tres heureux des recentes discussions stimulantes que nous
avons pu avoir concernant les problemes de Lehmer.
C’est au magistere de l’Ecole Normale Superieure de Paris que j’ai reellement commence
3a prendre gout^ pour la recherche. C’est egalement l a que j’ai rencontre certains de mes
meilleurs amis, Philippe Gravejat, Julien Marche, Benoit Daniel, Sebastien Gouezel, Alexis
Devulder, Denis Conduche, Laurent Mazet et Thomas Bourdel. Je souhaite les saluer ici,
notamment pour les moments de detente (non mathematiques!) que nous avons pu passer
ensemble. Un petit clin d’oeil egalement a Tanguy Rivoal pour les discussions diverses
que nous avons eues et pour m’avoir introduit dans l’antre de l’Arbre Sec. Par ailleurs, je
regretterai l’ambiance tres detendue du plateau des doctorants 7C de Chevaleret.
Je tiens ici a remercier du fond du coeur ma mere, mon pere et mon beau-pere pour
la con ance qu’ils ont toujours placee en moi. Je voudrais en n remercier ma compagne
Sandrine, a qui je dedie cette these, pour son soutien constant, surtout dans les moments
les plus durs.
4Table des matieres
I Probleme de Lehmer sur les varietes 21
1 Degre geometrique, degre arithmetique et hauteur 23
1.1 Degre geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.1 Theorie de l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Cycles et equivalence rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.2 Degre d’un cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Degre arithmetique sur SpecO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28K
1.2.1 Degre arithmetique : de nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exemples de metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Degre arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 Degre : proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Proprietes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Hauteur sur les points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
n1.3.1 Hauteur surP (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.2 de Neron-Tate sur les varietes abeliennes . . . . . . . . . . 35
1.4 Hauteur sur les varietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1 De nition a la Bost-Gillet-Soule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2 Hauteur de Faltings d’une variete abelienne . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 de Neron-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.4 De nition a la Philippon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5 Resultats et conjecture sur la hauteur canonique . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1 Resultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.2 R principaux et conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Densite de points et minoration de hauteur 45
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Degre et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 La proposition cle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Un lemme de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Preuve du theoreme 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5e du corollaire 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
52.6 Preuve du corollaire 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Probleme de Lehmer pour les hypersurfaces de varietes abeliennes de
type C.M. 61
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Degre et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Frobenius, isogenies admissibles et derivations . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1 Morphismes de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 Isogenies admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Choix des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Lemme de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
II Probleme de Lehmer sur les points 79
4 Probleme de Lehmer surG et methode des pentes 81m
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Notations et preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 Un morphisme pour l’inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 \Lemme de zeros" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.1 La ltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.2 L’inegalite des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.3 Evaluation de rg(E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86k
4.4.4 Calcul des degres et des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.5 desjj’ jj : l’extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87k p
Calcul desjj’ jj , l premier quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 87k l
Ra nemen t pour l =p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87kV
max4.5 Calcul d’un bon majorant dejj ’fjj . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89k C
4.5.1 Une petite reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5.2 Preuve de la proposition 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90V
Majorant dejj Ch jj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91DV
Majorantjj Lag jj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91DV
Majorant dejj Evaljj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
65 Theoreme de Dobrowolski-Laurent pour les extensions abeliennes sur une
courbe elliptique a multiplication complexe 99
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Hauteur et multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1 Hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.2 de Neron-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.3 Multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Reductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4 Lemmes d’extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.1 Lemme rami e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.2 non-rami e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5 Lemme de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7.1 Le cas du theoreme 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7.2 Le cas du theoreme 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.8 Application du theoreme 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Deux remarques concernant le probleme de Lehmer sur les varietes abe-
liennes 127
6.1 Sur la conjecture de Lehmer sur les varietes abeliennes . . . . . . . . . . . 127
6.2 Sur la de multihomogene sur les varietes abeliennes . . 130
Keywords : elliptic curves, abelian varieties, normalised height, Lehmer problem, slopes inequality
2000 Mathematics Subject Classi cation : 11G50, 14G40, 14K22
Adresse electronique : ratazzi@math.jussieu.fr
78Introduction
nSoit G le groupe multiplicatif G de ni sur K = Q ou une variete abelienne A=Km
de nie sur un corps de nombres K. Si G est une variete abelienne, on la considere donnee
avec un br e en droites ample et symetrique L. On peut construire sur les points deG(Q)bune hauteur particulierement agreable : la hauteur de Neron-Tate h . Si P 2 G(Q) et rL
un entier, cette hauteur veri e(
2br h (P) si G est une variete abelienne,Lbh (rP) =L nbrh (P) si G =G .L m
Dans le cas ouG =G il s’agit de la hauteur de Weil (logarithmique absolue) usuelleh. Dem
maniere generale cette hauteur est toujours positive et s’annule precisement sur les points
de torsion deG(Q). On peut facilement voir que le minorant de la hauteur des points qui ne
sont pas de torsion doit dependre du degreD du corps de de nition du point dont on minore
c(G)bla hauteur. On va donc avoir une minoration de la formeh (P) ouD = [K(P) :K]L (D)
et est une fonction croissante. Si l’on ne considere que des points P 2G(K) (autrement
dit en considerant (D) comme une constante) et que l’on s’interesse a la variation de G
dans cette minoration, les conjectures de Lang et Silverman nous indiquent que l’on peut
prendre c(G) de la formec (dimG) maxfh (G=K); 1g ou h est la hauteur de Faltings1 Falt Falt
de la variete. Le probleme de Lehmer quant a lui consiste a xer G=K (autrement dit
a considerer c(G) comme une constante) et a trouver la fonction optimale. C’est a ce
dernier probleme que l’on s’interesse dans toute la suite. On peut egalement s’interesser
a une generalisation naturelle de ce probleme qui consiste a minorer non pas la hauteur
d’un point, mais la hauteur d’une sous-variete (non de torsion) de G, en fonction cette
fois-ci du degre geometrique de la variete consideree. Un autre type d’extension consiste
ab ab aba obtenir une minoration de la hauteur des points en fonction de [K (P) :K ], ou K
est la cl^ oture abelienne de K, c’est- a-dire ne dependant que de la partie non-abelienne du
degre [K(P) :K]. En n on pourrait, cela reste a faire, englober tous ces resultats dans une
generalisation globale ou l’on minorerait la hauteur des sous-varietes par un invariant du
ab abtype degre geometrique, generalisant dans le cas des points le degre [K (P) :K ].
Ces problemes de Lehmer ont au moins deux types d’applications : le probleme classique
peut servir, en conjonction avec une bonne comprehension des points de torsion de G(Q),
a determiner si des pointsP ;:::;P deG(Q) sont ou non lineairement independants. On1 m
trouvera une discussion de ce sujet dans l’article [34] de Masser. L’autre application possible
9est une utilisation du resultat concernant le probleme de Lehmer en dimension superieure
et avec le degre non-abelien (au moins dans le cas des variete abeliennes). Il s’agit des
problemes ou l’on cherche a montrer que le cardinal de l’intersection d’une courbe avec
l’ensemble des sous-groupes algebriques de codimension donnee de G est ni ou au moins
de hauteur bornee. Les preuves des resultats de ce type necessitent de bonnes minorations
de la hauteur sur G. Nous renvoyons a l’article [14] de Bombieri, Masser et Zannier dans
nle cas ou G =G et a l’article [45] de Remond dans le cas ou G est une variete abelienne.m
L’ensemble de cette these concerne le probleme de Lehmer et ses di erents avatars. Nous
nous proposons d’ameliorer et d’etendre un certain nombre de resultats que nous allons
maintenant rappeler.
Soient x un nombre algebrique et h(x) sa hauteur logarithmique absolue. Le probleme
classique de Lehmer est le suivant :
Conjecture 1 (Probleme de Lehmer) Il existe une constante c> 0 telle que pour tout
nombre algebrique qui n’est pas une racine de l’unite, on a
c
h(x) :
[Q(x) :Q]
En fait dans son article [32] de 1933, Lehmer ne formule pas une conjecture mais pose juste
une question. Il pose m^eme plus exactement la question inverse et il ajoute \whether this
is true or not, I do not know".
La conjecture est trivialement vraie si on se restreint au sous-ensemble des nombres algebri-
ques qui ne sont pas des entiers algebriques. Dans ce cas on peut m^eme prendre c = log 2.
En 1971 Smyth [52] montre que la conjecture formulee precedemment est vraie pour le sous-
1ensemble deQ constitue des nombres non-reciproques . C’est a ce moment-l a qu’appara^ t
la version indiquee de la conjecture de Lehmer. En 1979 Dobrowolski [23] obtient, au choix
de la constante c pres, le meilleur resultat general en direction de la conjecture connu a ce
jour. Si x est un nombre algebrique, on note D = deg(x) = [Q(x) :Q].
Theoreme 1 (Dobrowolski) Il existe une constante c > 0 telle que pour tout nombre
algebrique qui n’est pas une racine de l’unite, on a 3
c log log 3D
h(x) :
D log 2D
1Dans son article, Dobrowolski montre m^eme que l’on peut prendrec = . Depuis, Voutier
1200
1[58] a montre que dans l’enonce precedent, le choix c = convient deja.
4
1 degP 1les nombres reciproques etant les nombres racines d’un polyn^ ome P veri an t P(X) = X P( ).
X
10