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Extrait

THESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITE PARIS 6
Specialite : Mathematiques
Option : Statistique
presentee par
Jean-Renaud Pycke
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’UNIVERSITE PARIS 6
Sujet de la these :
Un lien entre le developpement de Karhunen-Loeve
de certains processus gaussiens et le laplacien
dans des espaces de Riemann.
Soutenue le 11 decembre 2003 devant le jury compose de :
M. Paul DEHEUVELS Directeur de these
M. Yakov NIKITIN Rapporteur
M. Michel LEDOUX Examinateur
M. Mikhail NIKULIN Exaeur
M. Marc YOR President du jury
Rapporteurs : Mikhail LIFSHITS, Yakov NIKITIN
Invite : Jean BRETAGNOLLERemerciements
Je tiens en premier lieu a remercier mon directeur de these Paul Deheuvels. En
m’exposant des notre premiere rencontre l’idee originale qui est a la base de ce travail,
il m’a ouvert les portes d’un domaine des mathematiques encore peu explore et riche
de promesses. Son idee initiale et ses encouragements repetes au fur et a mesure de
mes echecs et de mes succes ont ete un soutien decisif au cours de ce travail de longue
haleine.
Je remercie vivement messieurs Nikulin, Ledoux et Yor; il me font un grand hon-
neur en acceptant d’ˆetre membres du jury. Merci egalement a Jean Bretagnolle pour
les remarques motivantes qu’il m’a adressees, et d’avoir accepte l’invitation a ma sou-
tenance.
Tous mes remerciements a messieurs Lifschits et Nikitin, d’avoir consenti a ˆetre
rapporteurs,etpourlescommentairesqu’ilsontbienvoulufairesurcetravail.Unautre
merci a monsieur Nikitin pour avoir accepte en plus de se deplacer pour la soutenance.
Les encouragements et les conseils qu’il m’a prodigues depuis sa lecture de ma these
n’ont fait que con rmer ce melange de chaleˆ ur humaine et de rigueur scienti que que
m’avaient decrit tous ceux qui le connaissent.
Je remercie M. Pierre-Loti-Viaud qui il y a 4 ans, alors que j’envisageais de me
remettre aux mathematiques, m’a encourage a le faire dans le domaine statistiques. Je
remercie aussi particulierement M. Broniatowski, toujours disponible pour une aide ou
un petit conseil. L’atmosphere et le soutien que j’ai trouves au sein du LSTA m’ont
grandement aide a mener a bien ce long travail. Que M. Bosq en soit remercie, ainsi
que toute l’equipe du LSTA.
Merci aussi a Louise Lamart et Pascal Epron pour leur disponibilite quotidienne.
Je remercie tous les etudiants du laboratoire pour les bons moments passes en-
semble, en particulier Amor, Fateh, Samy, Alexandre, Anne, Samuela, Omar, Jean-
Baptiste, Pierre, Driss, Salim.
JetiensaussiasaluerRavan,quidepuisnotrerencontredansuncollegedu9-3,m’a
toujours aide par son amitie et son imagination mathematique (entre autre) toujours
en ebulition. La vision concrete du Laplacien qu’il m’a exposee un soir chez Chartier a
ete une source constante d’inspiration. Je salue aussi Christophe, qui s’est joint depuis
un an a nos discussions mathematiques du samedi soir.
Merci Gaston pour les revivi antes vadrouilles en Lorraine!
Merci en n a ma mere, mon frere Nicolas, son amie Yolanda, d’avoir accepte la
lourde tˆache de corriger mes fautes d’orthographe.
Merci bien entendu egalement a Laima, deesse lituanienne du bonheur.
Je dedie ce modeste travail a mon pere, parti trop tˆot pour le voir, et a celui, ou
celle qui va bientˆot voir le jour sur les bords du Nil, ainsi qua’ sa future maman, ma
soeur Claire. J’espere que dans une vingtaine d’annees, il, ou elle, gouˆtera ce genre de
hieroglyphes.L’evidence de cette connaissance defectueuse dont s’enorgueillit la mathematique
et dont elle fait parade contre la philosophie, repose entierement sur la pauvrete de son
but et l’imperfection de sa matiere; elle est donc d’une espece que la philosophie doit
dedaigner.
G.W.F. Hegel
Jamais la statistique n’a rien appris et ne peut rien apprendre sur la nature des
phenomenes. Le medecin n’a que faire de ce qu’on appelle la loi des grands nombres,
loi qui, suivant l’expression d’un grand mathematicien, est toujours vraie en general et
fausse en particulier. Cela ne peut jamais rien nous apprendre sur un cas particulier,
mˆeme de l’aveu des mathematiciens; car ils admettent que, si la boule rouge est sortie
cinquante fois de suite, ce n’est pas une raison pour qu’une boule blanche ait plus de
chance de sortir la cinquante et unieme fois.
Claude Bernard.
Dernieres paroles :
- La femme in dele : Pourquoi tiens tu cette hache a la main, mon cheri?
- Le marathonien : Tiens, une seconde plus tˆot je voyais clairement la ligne d’arrivee.
- Deux papillons : - He! N’entre pas dans cette chose rouge. - Pourquoi? c’est pas une
amme?
- Le mathematicien : A ton avis, quelle probabilite mathematique y a-t-il pour que
cette Fiat apparemment impeccable, que nous voyons rouler vers nous, puisse avoir la
direction cassee et monter sur le trottoir?
Istv an orkeny
Lastatistiqueestaudecideurcequelereverbereestal’ivrogne:elleluisertd’appui,
mais ne l’eclaire pas.
Anonyme4Introduction
56 INTRODUCTION
Ce travail fait suite a une remarque de P. Deheuvels, selon laquelle les fonctions
propres du developpement de Karhunen-Loeve de certains processus gaussiens utiles en
statistiques apparaissent egalement en theorie de la representation des groupes.
Parmi ces processus, il y a les cas « historiques » du processus de Wiener, du
pont brownien et du processus d’Anderson-Darling. Mais certains travaux recents (voir
notamment [?], [?], [?], [?] et [?]) ont fourni de nouveaux exemples, tout en annoncant
un renouveau de l’interˆet porte aux applications statistiques des developpements de
Karhunen-Loeve.
Notre objectif etait donc dans un premier temps, a partir des exemples connus,
d’etablir un lien possible entre ce domaine et la theorie des groupes. Ensuite et surtout
de trouver par ce biais une methode pour obtenir le developpement de nouveaux pro-
cessus. Tout ceci en ayant en vue les applications statistiques, pour lesquelles seule la
connaissance explicite des elements du developpement de Karhunen-loeve presente un
interˆet.
Dans la premiere section de cette introduction nous rappelons les principales ap-
plications des developpements de Karhunen-Loeve en theorie des probabilites et en
statistiques. Dans la section 2 nous montrons comment des notions de theorie de la
representation des groupes ont guide nos recherches.
0.1 DeveloppementdeKarhunen-LoeveoudeKac-Siegert
des processus gaussiens
0.1.1 Notations
La theorie de ces developpements remonte aux travaux de K. Karhunen ([?] et [?]),
M. Loeve ([?], [?] et [?]), ainsi que Kac et Siegert ([?] et [?]).
nSiX est un processus gaussien centre de ni sur un pave T R muni de la mesure
, notons
K(s,t) =EX(s)X(t), s,t∈T
sa fonction de covariance. On montre que sous l’hypothese
Z
K(t,t)d (t)<∞,
T
on peut ecrire K comme somme de la serie
∞X
K(s,t) = f (s)f (t) pour (s,t)∈T T (0.1.1)k k k
k=1
ou les couples {(f , ) : k 1} sont formes de fonctions propres normalisees et desk k
valeurs propres de l’operateur integral
Z
2
f ∈L (T,T,)7→ K(s,.)f(s)d (s)ds
T6
INTRODUCTION 7
associe a K. Ces fonctions et valeurs propres veri ent, pour tout k,‘ 1,
Z
K(s,.)f (s)d (s) = f (.), (0.1.2)k k k
T
(Z
1 si k =‘,
f (s)f (s)d (s) = (0.1.3)k ‘
0 si k =‘.T
Si { : k 1} est une suite de variables i.i.d. N(0,1), on a alors pour X le deve-k
loppement ou la representation de Karhunen-Loeve / Kac-Siegert
∞Xp
X(t) = f (t), t∈T. (0.1.4)k k k
k=1
Nous nous refererons a (0.1.4) comme au D-K-L de X sur T muni de la mesure .
La convergence dans (0.1.1) et (0.1.4) a lieu dans differents espaces et pour dif-
ferentes normes qui seront etudies en detail au chapitre premier (voir notamment le
Theoreme 1.3.1 p. 36).
0.1.2 Applications en theorie des probabilites
Grandes deviations et petites boules pour un processus gaussien
2L’etude des grandes deviations pour la norme L , c’est-a-d ire de la probabilite
Z
2 2
P X (t)x ) pour x→∞,
T
conduit a des resultats similaires pour la plupart des processus gaussiens. Le resultat
de Zolotarev [?] montre que la probabilite de ces grandes deviations est calculable des
qu’on connait le D-K-L de X (voir le Lemme 1.3.5 p. 37).
Par contre, la probabilite des petites boules,
Z
2 2P X (t)x ) pour x→ 0,
T
donne lieu a des comportements tres variables et souvent plus di ciles a etudier. A
ce sujet, voir [?], [?] et [?] qui donnent de nombreuses references et applications. La
connaissance du D-K-L de X se revele ici encore d’une grande utilite, grˆace a des
resultats comme les Theoremes 6.1 et 6.2 de [?], que nous utilisons a plusieurs reprises
au chapitre premier.
Ces resultats concernant les grandes deviations et les petites boules ont a leur tour
desapplicationsstatistiques,notammentenpermettantd’obtenirdesloisdulogarithme
itere pour certains processus empiriques (voir la section suivante consacree aux appli-
cations statistiques).8 INTRODUCTION
Identites entre fonctionnelles quadratiques du processus de Wiener et du
pont Brownien
Dans [?] l’identite en loi
Z Z1 1
+12 2 2 2 2