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• Publié par: Nuching
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• Langue: English

Extrait

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
École Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre
THÈSE DE DOCTORAT
présentée pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE
CURIE
Discipline : Mathématiques
par
FrançoisCHAPON
Processus de Dunkl, matrices aléatoires, et
marches aléatoires sur des espaces
non-commutatifs
Sous la direction de Philippe Biane
Soutenue le 8 décembre 2010 devant le jury composé de :
M. Philippe Biane Université de Marne-la-Vallée Directeur
M.e Bougerol Université Pierre et Marie Curie Examinateur
M. Nathanaël Enriquez Université Paris Ouest
M. Léonard Gallardo Université de Tours Rapporteur
M. Emmanuel Lesigne Université de Tours Examinateur
M. Alain Rouault Université de Versailles Examinateur
au vu des rapports de :
M. Léonard Gallardo Université de Tours
M. Neil O’Connell University of Warwick2
Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires École doctorale de Paris Centre
4, place Jussieu 4, place Jussieu
75252 Paris Cedex 05 75252 Paris Cedex 05Remerciements
Je tiens bien évidemment à exprimer ma profonde reconnaissance envers Philippe
Biane, pour avoir accepté d’encadrer cette thèse. J’ai ainsi pu bénéficier de sa vision
fascinantedesmathématiques,etm’atteleràdesproblèmestrèsvariésetpassionnants.J’ai
beaucoup appris grâce à lui et je le remercie pour ses nombreux conseils, sa disponibilité,
mais aussi pour sa patience sans défaut. J’espère que nombreuses seront les occasions où
je pourrais l’embêter de nouveau.
Léonard Gallardo et Neil O’Connell ont accepté d’être les rapporteurs de ma thèse, je
les remercie très sincèrement pour leur lecture précieuse et attentive. C’est avec beaucoup
de plaisir que je compte aujourd’hui Léonard Gallardo parmi les membres de mon jury, et
j’ai eu plusieurs fois l’opportunité de croiser Neil O’Connell, en Irlande et en France, et
nos quelques échanges –mathématiques ou non–, auront été très agréables.
Je suis aussi très honoré de la présence de Philippe Bougerol, Nathanaël Enriquez,
Emmanuel Lesigne et d’Alain Rouault dans mon jury.
JetiensàparticulièrementremercierPhilippeBougerolpourlesnombreusesfois,oùme
voyant errer dans les couloirs du laboratoire, il m’a prodigué ses conseils, encouragements,
mais aussi ses traits d’humour, et ceci toujours tout souriant. C’est avec une réelle émotion
que je le compte aujourd’hui parmi les membres de mon jury.
Un été quelque peu désert à Chevaleret, j’ai pu profiter de nombreuses discussions
enrichissantes avec Nathanaël Enriquez, et je tiens à le remercier pour ça aussi.
J’ai eu la chance de suivre les cours de quelques esthètes des mathématiques, dont
les enseignements auront été déterminants pour toute la suite. Notamment, et bien qu’ils
l’ignorent sans doute, mais Francis Comets et François Delarue sont à l’origine de mon
goût pour les probas, et méritent donc bien un merci.
Le laboratoire ne serait certainement pas ce qu’il est, sans toutes les personnes que
le hasard des groupes de travail, enseignements, et autres pauses cafés, m’aura permis de
croiser. Il m’est certes impossible de toutes les citer, mais en voici tout de même un petit
florilège : Frédérique Petit qui m’aura initié avec beaucoup d’enthousiasme à la médiation
scientifique avec les collégiens, Marc Yor et ses conseils avisés, Omer Adelman et sa vision
bien à lui de l’enseignement, Irina Kourkova et Michèle Thieullen pour tout le plaisir que
j’ai pris à enseigner pour elles. Je n’oublie pas non plus les amis Fanny et Cédric.
Je serais bien peu reconnaissant sans remercier Florent Benaych-Georges, pour avoir
travaillé avec moi et m’avoir sorti d’abîmes où je commençais à doucement m’enfoncer (et
aussi pour m’avoir fait découvrir les black keys).
Il y a bien sûr le camarade Amaury et son amitié grandissante, particulièrement cette
dernière année.4
Il y a aussi les thésards du labo, qui d’ailleurs pour la plupart ne le sont plus : Clément,
Vincent (66, toujours pas?), l’ami Abass (qui aura supporté mes humeurs pendant quatre
ans), grand François, Kilian, Nathalie, Julien, Bruno, Paul, Olivier, Marie, Thanh Mai, et
tous les autres.
Je n’oublie pas l’équipe administrative du labo, Isabelle, Josette, Maria, Valérie, Phi-
lippe, et bien sûr M. Portès, pour m’avoir tiré plusieurs fois d’énigmes administratives ou
informatiques, mais surtout pour leur sympathie.
Et puis il y a tout ceux qui, étrangers aux maths ou non, auront fait que je n’ai pas
passé ma vie sur cette thèse, et qui y auront tout de même plus que contribuée.
Tout d’abord, il y a Manon... Cette thèse te doit beaucoup, sans toi, je n’ose pas trop
imaginer où j’en serais. Pas seulement pour tout le plaisir que j’ai pris à travailler avec toi
(y compris les changements de virgules à une heure avancée de la nuit), mais surtout pour
ton amitié paisible et bienveillante. Bref, tout ceci t’est un peu dédié quand même.
Je ne saurais exprimer tout ce que représente pour moi mes petites Laura et Juliette
adorées, mais elles le savent sans doute, et je ne m’épancherai donc pas plus ici, bien que
leur présence quotidienne me manque terriblement.
Je pense bien sûr à ma famille, mes parents, Perrine, Alice, mais aussi mes p’tits n’veux
et tout ce qu’ils m’apportent.
Merci aussi aux jungle’s Laurent, Pierre et Serge, pour les heures passées dans des
pièces confinées à, n’ayons pas peur des mots, révolutionner le rock, mais surtout à oublier
tout le reste.
Et enfin, qu’ils lisent ces lignes où non, qu’ils soient présents ou non, ou qu’ils ouvrent
la première page tout en s’empressant de la refermer ou non, je pense à Ben, Vic et Omar,
pour leur amitié constante depuis tant d’années, et qui auront assisté d’un oeil hagard, et
parfois transi, aux différents états du thésard, et aussi à Éric, Cyprien, Clém, Béné, VV...Table des matières
Introduction 7
0.1 Processus de Dunkl affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Matrices aléatoires quaternioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.3 Marches aléatoires quantiques et mineurs du mouvement brownien hermitien 20
0.4 Propriété d’entrelacement des opérateurs de Schrödinger . . . . . . . . . . . 31
1 Affine Dunkl processes 35
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2 The radial affine Dunkl process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3 The affine Dunkl process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Gaussian quaternionic matrices 55
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Convergence of the spectral distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 Quadratic potential and uniform measure onS(H) . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Quantum random walks and minors of Hermitian Brownian motion 73
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Quantum Markov chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Restriction to a subalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Random matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Interlacing property of Schrödinger operators 87
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Green’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Nodal theorem and zeros of eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Bibliographie 95Introduction
Ce travail de thèse comporte quatre chapitres indépendants dont nous donnons ici une
introduction et un résumé des principaux résultats obtenus, ainsi que le contexte dans
lequel ils s’inscrivent. Le premier chapitre porte sur la construction du processus de Dunkl
affine, qui est un processus de Markov càdlàg dont le générateur infinitésimal est donné
par le laplacien de Dunkl pour un système de racines de type affine. Le second chapitre
est consacré à l’étude des valeurs propres à droite de matrices aléatoires gaussiennes à
entrées quaternioniques. Dans le troisième chapitre, nous étudions des ma