These - Groupe de thompson

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• Langue: Français

Extrait

Une mathe´matique bleue sur cette mer jamais e´tale,
d’ou` remonte peu a` peu cette me´moire des e´toiles.
A Zoe´Si je ne peux citer ici toutes les rencontres qui m’ont oriente´ vers les mathe´matiques
et conduit a` la soutenance de cette the`se, je souhaite e´voquer et remercier ici les plus
de´terminantes.
Les figures de mon grand-pe`re, ge´ologue autodidacte penche´ sur son e´tabli, de mon
pe`re pre´parant ses cours ou enseignant, m’ont guide´ vers les e´tudes et l’enseignement.
S’ils ne sont plus ici pour voir aboutir ce travail, leur souvenir m’accompagne.
Au lyce´e, les cours de Genevie`ve Labe´ puis de Pierre Auffray ont fait naˆıtre puis
croˆıtre mon envie d’e´tudier les mathe´matiques. Les discussions, mathe´matiques, scienti-
fiques et autres, avec Guillaume Alle`gre ont commence´ a` cette e´poque.
Le cours de mathe´matiques supe´rieures de Michel Carre´ m’a fait de´couvrir les objets
mathe´matiques courants, m’a initie´ au raisonnement, a` la rigueur. Il m’a surtout offert des
heures de travail, de re´flexion, d’e´merveillement sur les exercices et devoirs. De bonnes
bases pour la suite... encore utiles : ce sont des raisonnements par re´currence parfois
subtils qui terminent les principales preuves de ce travail. J’espe`re un jour jouer un roˆle
comparable aupre`s d’autres e´tudiants.
Les discussions, les expose´s devant Roland Bacher, Michel Imbert, Christophe Ka-
poudjian, Xavier Martin m’ont apporte´ encouragements, re´fe´rences, pistes et m’ont per-
mis de tester mes ide´es. Je les remercie pour leur e´coute, leur patience et leurs remarques.
La grande suite des the´sards de l’Institut Fourier est trop longue pour eˆtre e´nume´re´e.
Je citerai quand meˆme pour les repas a` Condillac -Diderot les mauvais jours-, les pauses
de 10h et 16h he´las disparues, les joggings et autres occasions d’e´changes : Frank, He´le`ne,
Matthieu, Alice, Vincent... Les discussions dans le bureau 113 avec Sophie ont e´te´ utiles
dans les gros moments de de´couragement de l’e´te´ 2002, et bienvenues au dela`, jusqu’a`
ce que deux soutenances quasi-simultane´es viennent clore cette pe´riode. Comme tous les
docteurs, ex-the´sards de l’Institut Fourier, je remercie a` mon tour Arlette pour sa gen-
tillesse et sa compe´tence lors de la re´solution des formalite´s techniques et administratives
lie´es a` la soutenance.
Durant mon service national au Parc Naturel Re´gional du Luberon, beaucoup d’acti-
vite´s, mais pas une minute de mathe´matiques. Cette pause e´tait probablement indispen-
sable a` la conclusion de ce travail. Je remercie particulie`rement Marie-Ange Courbon et
Patrick Lefauconnier pour leur accueil au sein du service Urbanisme.
Je´roˆme Los et Jose´ Burillo m’ont fait l’honneur d’e´couter un expose´ reprenant les
principaux re´sultats de ce travail, de lire le pre´sent texte et d’assister a` ma soutenance. Je
les en remercie. Merci aussi a` Luis Funar pour sa participation au jury.
C’est a` Vlad Sergiescu que va l’essentiel de ma gratitude, a` l’image de son impor-
tance dans ce travail. En DEA il m’a guide´ par son choix d’articles abordables et riches
vers le groupe de Thompson ; ses encouragements m’ont pousse´ a` continuer. Durant les
premie`res anne´es de the`se en apparence ste´riles, il a su me conseiller, m’e´couter sans
relaˆche et il a su rester motive´ malgre´ mon absence de re´sultats et les doutes qui en
de´coulaient. C’est une de ses remarques qui a entraˆıne´ tout le reste ; durant ces dernie`res
anne´es ou` j’avais a` mon tour quelques mathe´matiques a` lui pre´senter, il est reste´ critique,
attentif et optimiste. Sans toi je n’aurai pas la satisfaction de soutenir cette the`se. Merci.
Ma dernie`re pense´e est pour Sigrid et ses sourires endormis quand un fou a` la jambe
casse´e lui annonce a` trois heures du matin avoir prouve´ un re´sultat.
Et parfois, le re´sultat tenait encore le matin !
Certains se trouvent meˆme dans le texte qui suit.G
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`Table des matieres
Introduction 7
I Un aperc¸u des groupes de Thompson classiques 15
I.1 Les groupes F et T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15a a
I.1.1 De´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.1.2 Pre´sentations de F et T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22a a
I.1.3 Pre´sentations explicites des groupes F : me´thode combinatoire . 22a
I.1.4 Pre´sentation finie des groupes F et T : me´thodes topologiques . 25a a
I.2 Le groupe PPSL (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
I.2.1 Le groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.2.2 Pre´sentations du groupe T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Les groupes T et F : ge´ne´ralite´s 29
II.1 De´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.2 Conjugaisons entre T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
II.3 Re´sultats connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III Line´arisation des groupes F et T en genre 0 31
III.1 Description des groupes T et F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.1.1 Le groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.1.2 Les intervalles standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III.1.3 Le marquage des intervalles standard . . . . . . . . . . . . . . . 34
III.1.4 Description de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1III.2 Description de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352n−3,2n−2
III.3 La conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1III.4 Isomorphisme entre F et F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39a,a+1 a,a+1
IV F est de type fini 41
´IV.1 Etude de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41a,a+1
IV.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
IV.1.2 Une transformation pre´liminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV.1.3 Une deuxie`me transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
IV.1.4 La de´monstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
´IV.1.5 Etude des ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47,l,l
IV.1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
IV.2 F est de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5G
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`6 TABLE DES MATIERES
V Pre´sentations de F 49
V.1 Le groupe H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49a,a+1
V.1.1 De´finition de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49a,a+1
V.1.2 Ge´ne´ration de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50a,a+1
V.1.3 Une description forestie`re de H . . . . . . . . . . . . . . . . 54a,a+1
V.1.4 Calcul forestier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.2 Un cas particulier : le groupe H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593,4
V.2.1 Forme semi-normale dansH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613,4
V.2.2 Deux pre´sentations finies de H . . . . . . . . . . . . . . . . . 633,4
V.3 Le cas ge´ne´ral : H est de pre´sentation finie . . . . . . . . . . . . . . 66a,a+1
V.3.1 Relations et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
V.3.2 La de´monstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
V.3.3 Preuve des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
V.3.4 H est de pre´sentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73a,a+1
V.3.5 Existence d’une forme semi-normale . . . . . . . . . . . . . . . 76
V.4 Pre´sentations de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
V.4.1 F est de pre´sentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
V.4.2 Pre´sentations explicites de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
VI Le groupe T 79
VI.1 Rappel des de´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
VI.2 Proprie´te´s de transitivite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
VI.3 T est de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VI.4 Calculs de stabilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VI.5 T est de pre´sentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VI.6 Le groupe V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VIIQuelques comple´ments 85
VII.1 Centre de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
′VII.2 F est simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
VII.2.1 Le groupe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86a,a+1
′VII.2.2 Simplicite´ de F . . . . . . . . . . . . . . .