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oN d’Ordre : D.U. 1884UNIVERSITE BLAISE PASCALU.F.R. Sciences et TechnologiesECOLE DOCTORALE DES SCIENCESoFONDAMENTALES N 591THESEpresentee pour obtenir le grade deDOCTEUR D’UNIVERSITESpecialite : Mathematiques appliqueesparJeremy RUIZDiplome Master Recherche en Mathematiques appliqueesANALYSE MATHEMATIQUE DESEQUATIONS DE BORN-INFELDSoutenue publiquement le 27 Novembre 2008 devant la commission d’examenDenis Serre PresidentYoucef Amirat ExaminateurOlivier Gues RapporteurFran cois James RappYue-Jun Peng Directeur de TheseRemerciementsC’est avec un grand plaisir que je consacre ces quelques lignes pour ex-primer ma reconnaissance et ma gratitude aux personnes qui, de pres ou deloin, ont rendu possible ce travail.Mes remerciements vont tout d’abord a mon directeur de these, Yue-JunPeng, pour avoir guide mes premiers pas en recherche. Je le suis reconnaissantde son soutien, de sa disponibilite et de tout le temps qu’il a pu m’accorde.Je suis tres sensible a l’honneur que m’ont fait Messieurs Olivier Gues etFran cois James en acceptant d’^etre les rapporteurs de cette these.Je suis tres reconnaissant a Messieurs Denis Serre et Youcef Amirat pourleur presence dans le jury de cette these.Sans pouvoir malheureusement, recenser tous ceux que j’ai c^otoyer du-rant ces trois annees, je voudrais adresser un remerciement particulier auxsecretaires du Laboratoire et plus particulierement Valerie pour ces ...

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oN d’Ordre : D.U. 1884
UNIVERSITE BLAISE PASCAL
U.F.R. Sciences et Technologies
ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES
oFONDAMENTALES N 591
THESE
presentee pour obtenir le grade de
DOCTEUR D’UNIVERSITE
Specialite : Mathematiques appliquees
par
Jeremy RUIZ
Diplome Master Recherche en Mathematiques appliquees
ANALYSE MATHEMATIQUE DES
EQUATIONS DE BORN-INFELD
Soutenue publiquement le 27 Novembre 2008 devant la commission d’examen
Denis Serre President
Youcef Amirat Examinateur
Olivier Gues Rapporteur
Fran cois James Rapp
Yue-Jun Peng Directeur de TheseRemerciements
C’est avec un grand plaisir que je consacre ces quelques lignes pour ex-
primer ma reconnaissance et ma gratitude aux personnes qui, de pres ou de
loin, ont rendu possible ce travail.
Mes remerciements vont tout d’abord a mon directeur de these, Yue-Jun
Peng, pour avoir guide mes premiers pas en recherche. Je le suis reconnaissant
de son soutien, de sa disponibilite et de tout le temps qu’il a pu m’accorde.
Je suis tres sensible a l’honneur que m’ont fait Messieurs Olivier Gues et
Fran cois James en acceptant d’^etre les rapporteurs de cette these.
Je suis tres reconnaissant a Messieurs Denis Serre et Youcef Amirat pour
leur presence dans le jury de cette these.
Sans pouvoir malheureusement, recenser tous ceux que j’ai c^otoyer du-
rant ces trois annees, je voudrais adresser un remerciement particulier aux
secretaires du Laboratoire et plus particulierement Valerie pour ces multiples
demarches administratives e ectu ees pour mon voyage aux Etats-unis. Re-
merciements appuyes a tous les collegues avec qui j’ai collabore durant ces
annees et qui m’ont permis de decouvrir le metier d’enseignant-chercheur.
Je remercie egalement mes camarades thesards passes ou presents et plus
particulierement Jacqueline et Fran coise qui ont partage le bureau 2210 avec
moi. Merci egalement a Ingrid, Mathieu, Remy et Vivien pour tous les tuyaux
et conseils divulgues.
Un merci general a tous les amis qui m’ont permis d’oublier les Mathema-
tiques le temps d’une soiree (ou deux...) et plus particulierement un merci a
Arnaud, Oliv’, Damien et Emma.
Merci a mes parents, Marie-France et Fran cis, ma grand-mere, Marie, mes
beaux-parents, Marie-Fran coise et Bernard, mon frere Sebastien et sa femme
Laetitia, ma soeur Stephanie et son mari Michel, mon beau-frere Gaetan
et sa copine Geraldine ainsi que tous mes neveux et niece : Amelie, Andy,
Nicolas, Lou, Adrien et Romain. J’ai une pensee pour toute cette famille qui
m’a soutenue durant cette periode. Je suis heureux de pouvoir dire que je les
aime.
Pour terminer, le mot merci ne su ra pas pour exprimer tout ce que je
dois a Laetitia. Elle a toujours su ^etre l a pour m’aider moralement durant
ces annees. Gr^ ace a elle, l’amour est devenu ma thematique... RESUME
Cette these est consacree a l’etude du systeme de Born-Infeld. Nous
etudions deux limites!1 et! 0 dans les equations de Le
parametre > 0 est interprete comme un champ electrique maximal dans
la theorie de l’electromagnetisme et le cas = 0 correspond a la theorie des
cordes. Les limites formelles sont respectivement les equations de Maxwell
lineaires et le systeme magnetohydrodynamique sans pression. Notons que
pour l’etude de la limite !1, un changement d’echelle est introduit. En
utilisant des arguments de compacite par compensation, les limites sont jus-
1ti ees rigoureusement pour des solutions entropiques globales dans L en
une dimension. Ces arguments sont bases sur des estimations uniformes pro-
venant de systemes lineaires Lagrangiens. Nous donnons les relations entre
ces limites et celles concernant les champs hauts et bas de Yann Brenier.
Nous considerons le systeme Born-Infeld sans contraintes di erentielles.
Dans ce cas, le vecteur Poynting n’est pas une variable conservative et les
techniques d’augmentation du systeme ne peuvent ^etre appliquees. En une di-
mension d’espace, le systeme resultant est constitue de cinq equations conser-
vatives pour lesquelles seulement un seul invariant de Riemann existe. Ce
systeme est totalement lineairement degenere mais non-strictement hyper-
bolique et non-riche. Sous une condition de petitesse sur la donnee initiale
d’une variable, nous prouvons que le probleme de Riemann admet une unique
solution entropique possedant des discontinuites avec trois vitesses distinctes.
De fa con surprenante, le resultat reste vrai lorsque les donnees initiales se
trouvent dans des regions non hyperboliques.
Le systeme de Born-Infeld et son systeme augmente appartiennent a la
classe des systemes riches, non-strictement hyperboliques. Nous nous inte-
ressons plus particulierement au probleme de Cauchy pour un systeme hyper-
bolique, lineairement degenere, de type riche. Nous construisons les formules
explicites des solutions regulieres et entropiques. En utilisant ces dernieres
avec des arguments classiques de compacite, nous prouvons l’existence glo-
1bale de solutions entropiques dans L .
Mots cles : equations de Born-Infeld; equations de Maxwell classiques;
systeme magnetohydrodynamique sans pression; non-stricte hyperbolicite;
caracteristique lineairement degeneree; solutions explicites; existence de so-
lutions entropiques; systeme riche.Mathematical analysis of Born-Infeld equations
ABSTRACT
The thesis is devoted to the study of the Born-Infeld system. We study
two limit cases ! 0 and ! 1 in Born-Infeld equations. The parame-
ter > 0 is interpreted as the maximal electric eld in the electromagnetic
theory and the case = 0 corresponds to the string theory. Formal limits are
governed by the classical Maxwell equations and pressureless magnetohydro-
dynamics system, respectively. For studying the limit !1, a new scaling
is introduced. By using compensated compactness arguments, the limits are
1rigorously justi ed for global entropy solutions inL in one space dimension,
based on derived uniform estimates and techniques for linear Lagrangian sys-
tems. We give the relations between these limits and Brenier high and low
eld limits.
We consider the Born-Infeld system without di eren tial constraints. In
such a case, the Poynting vector is not a conservative variable and the tech-
nique of enlargement of systems cannot be applied. In one space dimension
the resulting system consists of v e conservative equations for which only
one Riemann invariant exists. It is fully linearly degenerate but not strictly
hyperbolic, nor is it rich. Under a smallness condition on the initial datum
of one variable, we prove that the Riemann problem has a unique entropy
solution having discontinuities with three separated speeds. It is surprising
that the result holds even for initial data lied in non hyperbolic regions.
The Born-Infeld system and its augmented system belong to the class of
rich systems, non-strictly hyperbolic. We are concerned, more particularly,
with the Cauchy problem for linearly degenerate hyperbolic system of rich
type. We construct explicit formula of smooth solutions and entropy solu-
tions. By using this formula together with classical compactness arguments,
1we prove the global existence of entropy solutions in L .
Keywords : Born-Infeld equations; classical Maxwell equations; pressure-
less magnetohydrodynamics system; non-strict hyperbolicity; linearly dege-
nerate characteristic; explicit solutions; existence of entropy solutions; rich
system.Table des matieres
I Introduction 11
1 Les systemes de Born-Infeld 17
1.1 Presentation generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Augmentation du systeme de Born-Infeld . . . . . . . . . . . 19
1.3 Quelques resultats sur les systemes de Born-Infeld . . . . . . 21
2 Le systeme hyperbolique de type riche 25
2.1 Presentation generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Le cas non-strictement hyperbolique . . . . . . . . . . . . . 27
II Analyse asymptotique des systemes de Born-
Infeld 29
3 Preliminary 31
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Remarks on the de nition of L . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Formal asymptotic analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Relations with Brenier high and low eld limits . . . . . . . 39
4 Born-Infeld systems in one space dimension 41
4.1 Hyperbolic structure of the -ABI system . . . . . . . . . . 41
4.2 Entropy solutions of the Born-Infeld systems . . . . . . . . . 45
5 Limits in Born-Infeld equations 49
5.1 Limit toward linear Maxwell equations in one dimension . . 49
5.2 Limit toward PMHD equations in one dimension . . . . . . . 55
910
III Le probleme de Riemann 59
6 Born-Infeld system without di eren tial constraints 61
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Equivalence of entropy solutions in two coordinates . . . . . 66
6.3 Hyperbolic structure of the BI system . . . . . . . . . . . . . 67
6.4 Non linear degeneracy for an augmented BI system . . . . . 69
7 Riemann problem for the Born-Infeld system 71
7.1 Presentation of the Riemann problem . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Case s <s <s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 2 3
7.3 Case s <s <s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 1 3
7.4 Case s <s <s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911 3 2
IV Le probleme de Cauchy pour un systeme non-
strictement hyperbolique de type riche 95
8 Explicit formulas of solutions 97
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Case of entropy solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.3 Case of smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4 Case N =N for all i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108i
9 Existence of entropy solutions in the non-strictly hyperbolic
case 113
9.1 The non-strictly hyperbolic case . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Existence of entropy solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Bibliographie 123

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