Semiclassical analysis of loop quantum gravity [Elektronische Ressource] / von Florian Conrady

Conrady Florian

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• Physik

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 24
• Langue: English
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Extrait

Semiclassical Analysis of Loop Quantum Gravity
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Herr Dipl.-Phys. Florian Conrady
geboren am 23.12.1976 in Ulm
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Jürgen Mlynek
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I:
Prof. Thomas Buckhout, Ph.D.
Gutachter:
1. Prof. Carlo Rovelli
2. Prof. Dr. Thomas Thiemann
3. Prof. Dr. Hermann Nicolai
Tag der mündlichen Prüfung: 17. Oktober 2005Abstract
InthisPh.D.thesis, weexploreanddevelopnewmethodsthatshouldhelpindeterminingan
effective semiclassical description of canonical loop quantum gravity and spin foam gravity.
Abriefintroductiontoloopquantumgravityisfollowedbythreeresearchpapersthatpresent
the results of the Ph.D. project.
Inthefirstarticle, wedealwiththeproblemoftimeandanewproposalforimplementing
proper time as boundary conditions in a sum over histories: we investigate a concrete real-
ization of this formalism for free scalar field theory. In the second article, we translate semi-
classicalstatesoflinearizedgravityintostatesofloopquantumgravity. Thepropertiesofthe
latter indicate how semiclassicality manifests itself in the loop framework, and how this may
beexploitedfordoingsemiclassicalexpansions. Inthethirdpart, weproposeanewformula-
tion of spin foam models that is fully triangulation- and background-independent: by means
of a symmetry condition, we identify spin foam models whose triangulation-dependence can
be naturally removed.
Keywords:
Loop quantum gravity, Spin foams, Lattice gauge theory, Classical and semiclassical
methodsZusammenfassung
IndieserDissertationuntersuchenundentwickelnwirneueMethoden,diedabeihelfensollen
eineeffektivesemiklassischeBeschreibungderkanonischenLoop-Quantengravitationundder
Spinfoam-Gravitation zu bestimmen. Einer kurzen Einführung in die Loop-Quantengravita-
tion folgen drei Forschungsartikel, die die Resultate der Doktorarbeit präsentieren.
Im ersten Artikel behandeln wir das Problem der Zeit und einen neuen Vorschlag zur
Implementierung von Eigenzeit durch Randbedingungen an Pfadintegrale: wir untersuchen
eine konkrete Realisierung dieses Formalismus für die freie Skalarfeldtheorie. Im zweiten
Artikel übersetzen wir semiklassische Zustände der linearisierten Gravitation in Zustände
der Loop-Quantengravitation. Deren Eigenschaften deuten an, wie sich Semiklassizität im
Loop-Formalismus manifestiert, and wie man dies benützen könnte, um semiklassische Ent-
wicklungen herzuleiten. Im dritten Teil schlagen wir eine neue Formulierung von Spinfoam-
Modellen vor, die vollständig Triangulierungs- und Hintergrund-unabhängig ist: mit Hil-
fe einer Symmetrie-Bedingung identifizieren wir Spinfoam-Modelle, deren Triangulierungs-
Abhängigkeit auf natürliche Weise entfernt werden kann.
Schlagwörter:
Schleifen-Quantengravitation, Spin-Schäume, Gittereichfeldtheorie, Klassische und
semiklassische MethodenContents
1 Introduction 1
1.1 Hamiltonian description of field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tetrads and SO(1,3) connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hamiltonian formulations of gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Einstein-Hilbert action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Hilbert-Palatini action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Self-dual action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Action with Immirzi parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Canonical loop quantum gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Dirac quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Holonomies and electric fluxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Kinematic Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Spin networks as quanta of geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5 Imposition of gauge and diffeomorphism constraint . . . . . . . . . . 23
1.4.6 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Spin foam gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 3d gravity as a BF theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Spin foam model of 3d gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.3 4d gravity as a constrained BF theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.4 Barrett-Crane model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Contents of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1 Problem of time and general boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.2 Semiclassical states for canonical LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.3 Geometricspinfoamsandbackground-independenceinspinfoammodels 36
2 Generalized Schrödinger equation in Euclidean field theory 37
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 General Boundary Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Operator Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Generalized Hamilton-Jacobi Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Direct Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Alternative Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Definition of the Evolution Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 From Operators to Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 General Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Generalized Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.1 Discrete Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.2 Continuous Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.3 Curved Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 Summary and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
iv3 Free vacuum for loop quantum gravity 62
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Vacuum of linearized Ashtekar-Barbero gravity. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Linearization of classical extended ADM formulation . . . . . . . . . 65
3.2.2 Reduced phase space quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 Canonical transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Transition to degrees of freedom of LQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 From reduced to full configuration space . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.2 “Complexifier” form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.3 From momentum cutoff to triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.4 Gauge projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.5 Inclusion of phase factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4 Graviton states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Semiclassical properties of the vacuum state . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1 Peak position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.2 Limit “cutoff length much smaller than Planck length” . . . . . . . . 85
3.6 Summary and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.1 Summary of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6.2 Relation to other approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6.3 Continuum limit of free vacuum? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6.4 Free theory, perturbation theory and renormalization? . . . . . . . . 91
4 Geometric spin foams, Yang-Mills theory and background-independent
models 94
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 Lattice gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Spin network states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Dual transformation to the spin foam model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 A spin foam model of Yang-Mills theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Background independent spin foam models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7 Summary and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Summary of thesis 115
5.1 Evaluation of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Critical assessment of LQG and spin foam approach . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A Local Form of Hamilton-Jacobi and Schrödinger Equation 125
B Topological invariance of Barrett-Crane amplitudes 127
vList of Figures
1.1 Constraint surface of first-class constraint in phase space. . . . . . . . . . . . 5
1.2 Rel