Simulation num erique en physique statistique Cours commun ...
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Description

Simulation num´erique en physique statistique
Cours commun aux Parcours“Physique des Liquides”
et“Mod´elisation Statistique et Algorithmique des
syst`emes hors d’´equilibre.
Pascal Viot
Laboratoire de Physique Th´eorique de la Mati`ere Condens´ee, Boˆıte 121,
4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05
Email : viot@lptl.jussieu.fr
2 novembre 2009 Ce cours est destin´e `a donner une introduction `a l’usage des m´ethodes de
simulation num´erique en m´ecanique statistique classique.
En nous appuyant sur des syst`emes mod`eles simples, nous pr´esentons dans
une premi`ere partie les principes g´en´eraux de la m´ethode Monte Carlo et de la
Dynamique Mol´eculaire.
Une seconde partie est consacr´ee `a l’introduction des grandeurs microsco-
piques accessibles par les m´ethodes de simulation, puis `a la description des
m´ethodes permettant l’´etude des transitions de phase.
Dans une troisi`eme partie, nous abordons l’´etude des syst`emes hors d’´equi-
libre et de la caract´erisation de leur dynamique : en particulier, les ph´enom`enes
de vieillissement sont pr´esent´es.
2 Chapitre 1
M´ecanique statistique et
simulation num´erique
Contenu
1.1 Historique de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Moyennes d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Ensemble microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Ensemble grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Ensemble isobare-isotherme . . . ...

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Exrait

Simulation num´erique en physique statistique Cours commun aux Parcours“Physique des Liquides” et“Mod´elisation Statistique et Algorithmique des syst`emes hors d’´equilibre. Pascal Viot Laboratoire de Physique Th´eorique de la Mati`ere Condens´ee, Boˆıte 121, 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 Email : viot@lptl.jussieu.fr 2 novembre 2009 Ce cours est destin´e `a donner une introduction `a l’usage des m´ethodes de simulation num´erique en m´ecanique statistique classique. En nous appuyant sur des syst`emes mod`eles simples, nous pr´esentons dans une premi`ere partie les principes g´en´eraux de la m´ethode Monte Carlo et de la Dynamique Mol´eculaire. Une seconde partie est consacr´ee `a l’introduction des grandeurs microsco- piques accessibles par les m´ethodes de simulation, puis `a la description des m´ethodes permettant l’´etude des transitions de phase. Dans une troisi`eme partie, nous abordons l’´etude des syst`emes hors d’´equi- libre et de la caract´erisation de leur dynamique : en particulier, les ph´enom`enes de vieillissement sont pr´esent´es. 2 Chapitre 1 M´ecanique statistique et simulation num´erique Contenu 1.1 Historique de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Moyennes d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Ensemble microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Ensemble grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Ensemble isobare-isotherme . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Les syst`emes mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Les liquides simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Mod`ele d’Ising et gaz sur r´eseau. Equivalence . . . . . 9 1.4 Moyenne temporelle. Ergodicit´e . . . . . . . . . . . 14 1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1 Mod`ele ANNNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Historique de la simulation La naissance de la simulation num´erique remonte aux d´ebuts des ann´ees milleneufcentcinquanteou`lespremiersordinateurspurentˆetreutilis´espourun usagecivil.Enparticulier,`aLosAlamos,lamachineMANIACestdevenueop´e- 1rationnelle en 1952 . La simulation apporte des informations compl´ementaires 2aux outils th´eoriques . Les domaines de la physique ou` les approches pertur- batives sont efficaces (gaz dilu´es, vibrations de solides quasi-harmoniques) ont peufaitappelauxtechniquesdesimulation.Inversement,lath´eoriedesliquides denses, pour laquelle peu de r´esultats exacts sont connus et dont la qualit´e des 1 L’ordinateur MANIAC est l’acronyme de ”mathematical and numerical integrator and computer”. MANIAC I est devenu operationnelle le 15 March 1952. 2Parfois les th´eories sont quasi-inexistantes et la simulation num´erique est le seul moyen pour ´etudier un syst`eme 3 M´ecanique statistique et simulation num´erique d´eveloppements th´eoriques n’est pas toujours clairement´etablie, ont largement fait appel `a la simulation. La premi`ere simulation Monte CarloMetropolis et al. 3[1953] remonte au travail de Metropolis et al. en 1953 . La premi`ere simula- tion de dynamique mol´eculaire a ´et´e effectu´ee sur le mod`ele de disques durs par Alder and Wainwright en 1957Alder and Wainwright [1957]. La premi`ere Dynamique Mol´eculaire d’un liquide simple (Argon) a ´et´e r´ealis´ee par Rahman en 1964. Durant cette derni`ere d´ecennie, la progression constante de la puissance des ordinateurs associ´ee `a l’abaissement consid´erable des couˆts a ouvert la possibi- lit´eder´ealiserdessimulationsnum´eriquessurdesordinateurspersonnels.Mˆeme si quelques super-ordinateurs restent n´ecessaires pour des simulations tr`es im- portantes, il devient possible de faire ex´ecuter des simulations num´eriques sur des ordinateurs bon march´e. L’unit´e de mesure pour mesurer les performances d’un ordinateur est le MFlops (ou million d’op´erations de“virgule flottante par seconde”). Un PC actuel (par exemple Intel Core 2 2.6Gz) est un processeur constitu´e de deux unit´es de calcul virgule flottante et peut d´elivrer une puis- sance d’environ 2∗6 GFlops. Apr`es une relative stagnation de l’accroissement de la puissance des processeurs, il est apparu durant l’ann´ee 2006 de plus en plus de processeurs poss`edant deux coeurs et depuis deux ans, les processeurs quadri-coeurs deviennent de plus en plus fr´equents. Mˆeme si pour des applica- tions courantes le gain de puissance n’est pas une fonction lin´eaire du nombre de coeurs, le calcul scientifique peut facilement exploiter cette fonctionalit´e `a travers une parall`elisation du code. Cela se fait assez simplement avec une li- brarie de type OpenMP. R´eserv´e jusqu’`a quelques semaines `a des compilateurs commerciaux, le compilateur gcc dispose par exemple de cette fonctionnalit´e sur Linux (distribution Fedora) d`es aujourd’hui. La parallelisation massive des codes scientifiques a ´et´e faite depuis plusieurs ann´ees afin de b´en´eficier de la puissance d’une architecture ou` les processeurs sont tr`es nombreux (plusieurs milliers). Letableauci-dessousdonnelescaract´eristiquesetpuissancesdesordinateurs lespluspuissantsdanslemondeQuelquesremarquesconcernantles´evolutions: en 2003, sur les dix premi`eres machines les plus puissantes, 9 sur 10 ´etaient install´ees aux Etats Unis, la premi`ere ´etant au Japon. En 2004, il n’y a plus que 5 sur 10, les quatres autres se r´epartissant de la mani`ere suivante : deux sont install´ess en Angleterre, une autre au Japon et une en Chine, qui ont fait une entr´ee remarquable. En 2008, plusieurs nouveaut´es : sur les dix premi`eres machines, 6 ont ´et´e install´es avant Juin 2008 (date du classement); la premi`ere machine d´epasse cette ann´ee les 1000 TFlops (on parle de PFlops); retour des Etats-Unis sur le 3Metropolis, Nicholas Constantine (1915-1999) `a la fois mathematicien et physicien de formation, a ´et´e recrut´e par J. Robert Oppenheimer au Los Alamos National Laboratory en Avril1943.Ila´et´eundesscientifiquesduprojetManhattanProject,etacollabor´eavecEnrico Fermi et Edward Teller sur les premiers r´eacteurs nucl´eaires. Apr`es la guerre, Metropolis retourna `a Chicago as an assistant professor, et revint `a Los Alamos en 1948 en y cr´eant la division Th´eorique et il construisit l’ordinateur MANIAC en 1952, puis 5 ans plus tard MANIAC II. Il retourna de 1957 `a 1965 `a Chicago et cr´ea la division de Computer Research, puis retour d´efinitif `a Los Alamos 4 1.2 Moyennes d’ensembles Rang Fabricant/Nbre Proc. (TFlops) Pays 1 IBM Blade Centetr/ 129600 1105 1456 LANL USA 2008 2 Cray XT5 / 150152 1059 1381 Oak Ridge Nat Lab 2008 3 IBM Blue Gene /294912 825.5 1002 Germany 2009 4 SGI /51200 487 608 Nasa USA 2008 5 IBM Blue Gene 212992 478 596 LLNL USA 2007 ... ... ... ... 20 IBM Blue Gene /40960 139 112 France 2008 Tab. 1.1 – Classement Juin 2009 des superordinateurs devant de la sc`ene. Les quinze machines les plus puissantes sont am´ericaines et les cinq premi`eres sont install´ees aux USA; le Japon longtemps premier n’est aujourd’hui que seizi`eme. Apr`es une longue p´eriode dans les profondeurs du classement, la France s’est dot´e en 2008 d’une machine qui ´etait `a la neuvi`eme place. Derni`ere statistique : concernant les syst`emes d’exploitation utilis´es sur les 500 machines les plus rapides du monde : Linux est install´e sur plus de 400 machines, Windows sur 5 et MacOx sur 2! 1.2 Moyennes d’ensembles Laconnaissancedelafonctiondepartitiond’unsyst`emepermetd’acc´eder`a l’ensembledesesgrandeursthermodynamiques.Nouspassonsrapidementenre- vue les principaux ensembles utilis´es en m´ecanique statistique. Nous supposons que la limite thermodynamique des diff´erents ensembles conduit aux mˆemes grandeurs thermodynamiques. Pour des syst`emes de taille finie (ce qui corres- pond toujours aux syst`emes´etudi´es en simulation num´erique), il peut subsister n´eanmoins des diff´erences qu’il conviendra d’analyser. 1.2.1 Ensemble microcanonique Le syst`eme est caract´eris´e par l’ensemble des variables suivantes : le volume V du syst`eme, l’´energie totale E du syst`eme et le nombre N de particules. Cet ensemble n’est pas l’ensemble naturel pour des observations exp´erimentales. Dans ces derni`eres, on travaille – soit `a nombre de particules, pression P et temp´erature T constants, en- semble (N,P,T) ou ensemble isobare-isotherme, – soit`apotentielchimique ,volumeV ettemp´eratureT,ensemble( V,T) ou ensemble grand-canonique, – voire `a nombre de particules, `a volume et `a temp´erature constants, en- semble (N,V,T) ou ensemble canonique. Il existe une m´ethode Monte Carlo d´evelopp´ee par M. Creutz utilisant l’en- semble microcanonique, mais elle est tr`es peu utilis´ee en particulier pour les syst`emes mol´eculaires. En revanche, l’ensemble microcanonique est l’ensemble 5 M´ecanique statistique et simulation num´erique naturel pour la dynamique mol´eculaire d’un syst`eme conservatif, car l’´energie est conserv´ee au cours du temps. Les variables conjugu´ees aux grandeurs d´efinissant l’ensemble fluctuent. Il s’agit de la pression P (conjugu´ee de V), de la temp´erature T (conjugu´ee de E), et du potentiel chimique (conjugu´ee de N). 1.2.2 Ensemble canonique Le syst`eme est caract´eris´e par l’ensemble des variables suivantes : le vo- lume V du syst`eme, la temp´erature T et le nombre N de particules. SoitH le Hamiltonien du syst`eme, la fonction de partition s’´ecrit Q(V,β,N)= exp(−βH(α)) (1.1) α ou` β = 1/k T (k constante de Boltzmann). La sommation (discr`ete ouB B continue) parcourt l’ensemble des configurations α du syst`eme. L’´energie libre F(V,β,N) du syst`eme est ´egale `a βF(V,β,N)=−ln(Q(V,β,N)). (1.2) La probabilit´e d’avoir une configuration α est donn´ee par exp(−βH(α)) P(V,β,N;α) = . (1.3) Q(V,β,N) Les d´eriv´ees thermodynamiques sont reli´ees aux moments de cette fonction de probabilit´e,donnantuneinterpr´etationmicroscopiqueauxgrandeursthermody- namiquesassoci´ees.L’´energieinterneainsiquelachaleursp´ecifiquesontdonn´es par les relations : ´– Energie interne moyenne ∂(βF(V,β,N)) U(V,β,N)= (1.4) ∂β = H(α)P(V,β,N;α) (1.5) α = H(α) (1.6) – Chaleur sp´ecifique ∂U(V,β,N)2C (V,β,N)=−k β (1.7)v B ∂β  2 2 2 =k β H (α)P(V,β,N;α)− H(α)P(V,β,N;α)B α α (1.8) 2 2 2=k β H(α) − H(α) (1.9)B 6 1.2 Moyennes d’ensembles 1.2.3 Ensemble grand-canonique Le syst`eme est caract´eris´e par l’ensemble des variables suivantes : le vo- lume V du syst`eme, la temp´erature T et le potentiel chimique . Soit H leN Hamiltonien du syst`eme avec N particules, la fonction de partition s’´ecrit ∞ Ξ(V,β, ) = exp(−β(H (α )− )) (1.10)N N αN=0 N ou`β =1/k T (k constantedeBoltzmann)etlasommation(discr`eteouconti-B B nue) parcourt l’ensemble des configurations α du syst`eme. Le grand potentielN est ´egal `a βΩ(V,β, )=−ln(Ξ(V,β, )) (1.11) La probabilit´e d’avoir une configuration α (avec N particules) est donn´ee parN exp(−β(H (α )− ))N N P(V,β, ;α )= (1.12)N Ξ(V,β, ) Lesd´eriv´eesthermodynamiquess’exprimentcommedesmomentsdecettefonc- tion de probabilit´e, ainsi : – Nombre moyen de particules ∂(βΩ(V,β, )) N(V,β, ) =− (1.13) ∂(β ) = NP(V,β, ;α ) (1.14)N αN N – Susceptibilit´e β ∂ N(V,β, ) χ(V,β, ) = (1.15) N(V,β, ) ρ ∂β  2 β  = NP(V,β, ;α )− NP(V,β, ;α )N NN(V,β, ) ρ α αN NN N (1.16) 1.2.4 Ensemble isobare-isotherme Lesyst`emeestcaract´eris´eparl’ensembledesvariablessuivantes:lapression P, la temp´erature T et le nombre total N de particules. Comme cet ensemble estg´en´eralementappliqu´e`adessyst`emesmol´eculairesetnonpas`adessyst`emes surr´eseau,onserestreintauxsyst`emescontinus.Lafonctiondepartitions’´ecrit ∞ VβP N NQ(P,β,N)= dV exp(−βPV) dr exp(−βU(r )) (1.17) 3NΛ N! 0 0 ou` β =1/k T (k constante de Boltzmann).B B Le potentiel de Gibbs du syst`eme est ´egal `a βG(P,β,N)=−ln(Q(P,β,N)). (1.18) 7 M´ecanique statistique et simulation num´erique 4 NLa probabilit´e Π(P,β, ;α ) d’avoir une configuration α ≡ r (particulesV V Nrep´er´ees par les positions r , syst`eme `a la temp´erature T et `a la pression P) est donn´ee par Nexp(−βV)exp(−β(U(r ))) Π(P,β, ;α )= . (1.19)V Q(P,β,N) Lesd´eriv´eesthermodynamiquess’exprimentcommedesmomentsdecettefonc- tion de probabilit´e, ainsi – Volume moyen du syst`eme de particules ∂(βG(P,β,N)) V(P,β,N) = (1.20) ∂βP ∞ V N= dVV dr Π(P,β, ;α ). (1.21)V 0 0 Cet ensemble est utile pour l’´etude des ´equations d’´etat. Rappelons qu’un en- semble statistique ne peut pas ˆetre d´efini `a partir de trois variables intensives P,T, . En fait, nous verrons au chapitre 7 qu’une technique dite de l’ensemble de Gibbs se rapproche d’un tel ensemble. 1.3 Les syst`emes mod`eles 1.3.1 Introduction Les m´ethodes expos´ees dans la suite de ce cours s’appliquent formellement `a l’ensemble des mod`eles de la m´ecanique statistique classique, ce qui signifie quelessyst`emesquantiquesnesontpasconsid´er´es.Ayantlesoucid’illustrerles m´ethodes sur des exemples concrets, nous allons introduire un peu longuement deux types de syst`emes mod`eles que nous utiliserons dans la suite de notre expos´e. 1.3.2 Les liquides simples On appelle liquide simple un syst`eme constitu´e de N particules ponctuelles num´erot´ees de 1 `a N, de masse m, soumises (´eventuellement) `a un potentiel ext´erieur U (r ) et interagissant par un potentiel de paires U (r ,r ) (c’est `a1 i 2 i j dire un potentiel d’interaction ou` les particules interagissent deux `a deux). Le Hamiltonien de ce syst`eme s’´ecrit N 2p 1iH = +U (r ) + U (r ,r ), (1.22)1 i 2 i j 2m 2 i=1 i=j ou` p est la quantit´e de mouvement de la particule i.i Dans l’ensemble grand-canonique, la fonction de partition Ξ( β,V) s’´ecrit ∞ N d d1 (d p )(d r )i i Ξ( β,V)= exp(−β(H− )) (1.23) dNN! h N=0 i=1 4Pour ´eviter la confusion avec la pression impos´ee au syst`eme, la probabilit´e est not´ee Π. 8 1.3 Les syst`emes mod`eles ou` h est la constante de Planck et d la dimension de l’espace. L’int´egralesurlaquantit´edemouvementpeutˆetrecalcul´eeanalytiquement, car il y a factorisation de l’int´egrale multiple sur les p . L’int´egrale simple suri chaquemomentestuneint´egralegaussienne.Enutilisantlalongueurthermique de de Broglie h√Λ = , (1.24)T 2πmk TB on a +∞ dd p 12exp(−βp /(2m)) = . (1.25) d dh Λ−∞ T La fonction de partition se r´e´ecrit alors comme ∞ Nβ1 e Ξ( β,V) = Z (β,N,V) (1.26)NdN! Λ TN=0 ou` Z (β,N,V) est l’int´egrale de configuration :N N NZ (β,N,V)= dr exp(−βU(r )) (1.27)N βOn note aussi z =e qui est la fugacit´e. Le potentiel thermodynamique associ´e Ω( β,V) est 1 Ω( β,V)=− ln(Ξ( β,V)) =−PV (1.28) β ou` P est la pression. On note que, pour les syst`emes classiques, seule la partie de la fonction de partitionconcernantl’´energiepotentielleestnontriviale.Ilyad´ecouplageentre la partie cin´etique et la partie potentielle. 1.3.3 Mod`ele d’Ising et gaz sur r´eseau. Equivalence Le mod`ele d’Ising, qui permet `a la fois de repr´esenter un grand nombre de situationsphysiques,enparticulierdessyst`emesmagn´etiques,estunmod`elesur lequel un grand nombre de r´esultats sont connus. Soit un r´eseau r´egulier dans un espace de dimension d, en chaque site i de ce r´eseau, il existe une variable not´eeS (spin)quipeutprendrelesvaleurs+1ou−1˚uOnsupposequelesspinsi interagissentaveclesplusprochesvoisinsdur´eseau.LeHamiltoniens’´ecritalors H =−J S S (1.29)i j ou` d´esigne une somme sur les sites qui sont les plus proches voisins, et J l’amplitude de l’interaction. Si J > 0, l’interaction est dite ferromagn´etique et inversement, si J <0, l’interaction est dite antiferromagn´etique. La solution analytique du syst`eme `a une dimension montre qu’il ne pr´esente pas de transi- tion de phase `a temp´erature finie. A deux dimensions, Onsager (1944) a obtenu lasolutionexacteenchampnul.Atroisdimensions,aucunesolutionanalytique 9 M´ecanique statistique et simulation num´erique n’a ´et´e obtenue, mais utilis´es conjointement, les d´eveloppements th´eoriques et les simulations num´eriques permettent de connaˆıtre les caract´eristiques du sys- t`eme dans l’ensemble du diagramme aimantation-temp´erature. Le mod`ele du gaz sur r´eseau a ´et´e introduit par Lee et Yang. L’id´ee de base, largementreprisedepuis,est de penser que certainespropri´et´esmacrosco- piques d’un syst`eme `a grand nombre de particules ne d´ependent pas fortement du d´etail microscopique du syst`eme. On va donc r´ealiser une moyenne locale du syst`eme microscopique et construire un syst`eme dont le nombre de degr´es de libert´e est moins important (coarse graining, en anglais). Cette id´ee reste utilis´ee constamment en m´ecanique statistique, car il est souvent n´ecessaire de r´eduire la complexit´edu syst`eme initial pour diverses raisons : 1) pratiques : les d´eveloppements analytiques sont plus simples et les simulations peuvent ˆetre conduitespourdestaillesdesyst`emeplusimportantes.2)th´eoriques:certaines propri´et´es macroscopiques des syst`emes ne d´ependent que d’une partie des de- gr´es de libert´e microscopiques, d’ou` l’id´ee de r´eduire ces degr´es de libert´e ou de faire une sorte de moyenne. Cette d´emarche pr´esuppose l’existence d’une certaine universalit´e ch`ere aux physiciens. Pour passer du Hamiltonien d’un liquide simple `a celui d’un gaz sur r´eseau, le processus se d´eroule selon trois ´etapes. La premi`ere consiste `a r´e´ecrire le Hamiltonien `a partir d’une nouvelle variable microscopique; cette ´etape est exacte. La deuxi`eme ´etape consiste `a faire une moyenne locale et `a d´efinir le Hamiltonien sur r´eseau; il s’agit alors d’effectuer des approximations et de d´efinir si possible leur domaine de validit´e. Dans un troisi`eme temps on peut transformer le mod`ele du gaz sur r´eseau en un mod`ele d’Ising; cette ´etape est `a nouveau exacte. R´e´ecriture du Hamiltonien Tout d’abord, r´eexprimons le Hamiltonien microscopique du liquide simple 5en fonction de la densit´e microscopique , N ρ(r)= δ(r−r ). (1.30)i i=1 En utilisant la propri´et´e de la“fonction”de Dirac f(x)δ(x−a)=f(a) (1.31) on obtient N d dU (r )= U (r)δ(r−r )d r= U (r)ρ(r)d r (1.32)1 i 1 i 1 V Vi=1 i=1 5Cette grandeur est une somme de distributionsde Dirac et ne doit pasˆetre confondueavec la densit´e locale dans un fluide ou` une moyenne locale a ´et´e effectu´ee donnant une fonction variant“lentement”dans l’espace. 10
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