Simulation num'erique en physique statistique Cours commun ...

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Simulation num´erique en physique statistique Cours commun aux Parcours“Physique des Liquides” et“Mod´elisation Statistique et Algorithmique des syst`emes hors d’´equilibre. Pascal Viot Laboratoire de Physique Th´eorique de la Mati`ere Condens´ee, Boˆıte 121, 4, Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05 Email : [e-mail] 2 novembre 2009Ce cours est destin´e `a donner une introduction `a l’usage des m´ethodes de simulation num´erique en m´ecanique statistique classique. En nous appuyant sur des syst`emes mod`eles simples, nous pr´esentons dans une premi`ere partie les principes g´en´eraux de la m´ethode Monte Carlo et de la Dynamique Mol´eculaire. Une seconde partie est consacr´ee `a l’introduction des grandeurs microsco- piques accessibles par les m´ethodes de simulation, puis `a la description des m´ethodes permettant l’´etude des transitions de phase. Dans une troisi`eme partie, nous abordons l’´etude des syst`emes hors d’´equi- libre et de la caract´erisation de leur dynamique : en particulier, les ph´enom`enes de vieillissement sont pr´esent´es. 2Chapitre 1 M´ecanique statistique et simulation num´erique Contenu 1.1 Historique de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Moyennes d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Ensemble microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Ensemble grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Ensemble isobare-isotherme . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Les syst`emes mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Les liquides simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Mod`ele d’Ising et gaz sur r´eseau. Equivalence . . . . . 9 1.4 Moyenne temporelle. Ergodicit´e . . . . . . . . . . . 14 1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Probl`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1 Mod`ele ANNNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Historique de la simulation La naissance de la simulation num´erique remonte aux d´ebuts des ann´ees milleneufcentcinquanteou`lespremiersordinateurspurentˆetreutilis´espourun usagecivil.Enparticulier,`aLosAlamos,lamachineMANIACestdevenueop´e- 1rationnelle en 1952 . La simulation apporte des informations compl´ementaires 2aux outils th´eoriques . Les domaines de la physique ou` les approches pertur- batives sont efficaces (gaz dilu´es, vibrations de solides quasi-harmoniques) ont peufaitappelauxtechniquesdesimulation.Inversement,lath´eoriedesliquides denses, pour laquelle peu de r´esultats exacts sont connus et dont la qualit´e des 1 L’ordinateur MANIAC est l’acronyme de ”mathematical and numerical integrator and computer”. MANIAC I est devenu operationnelle le 15 March 1952. 2Parfois les th´eories sont quasi-inexistantes et la simulation num´erique est le seul moyen pour ´etudier un syst`eme 3M´ecanique statistique et simulation num´erique d´eveloppements th´eoriques n’est pas toujours clairement´etablie, ont largement fait appel `a la simulation. La premi`ere simulation Monte CarloMetropolis et al. 3[1953] remonte au travail de Metropolis et al. en 1953 . La premi`ere simula- tion de dynamique mol´eculaire a ´et´e effectu´ee sur le mod`ele de disques durs par Alder and Wainwright en 1957Alder and Wainwright [1957]. La premi`ere Dynamique Mol´eculaire d’un liquide simple (Argon) a ´et´e r´ealis´ee par Rahman en 1964. Durant cette derni`ere d´ecennie, la progression constante de la puissance des ordinateurs associ´ee `a l’abaissement consid´erable des couˆts a ouvert la possibi- lit´eder´ealiserdessimulationsnum´eriquessurdesordinateurspersonnels.Mˆeme si quelques super-ordinateurs restent n´ecessaires pour des simulations tr`es im- portantes, il devient possible de faire ex´ecuter des simulations num´eriques sur des ordinateurs bon march´e. L’unit´e de mesure pour mesurer les performances d’un ordinateur est le MFlops (ou million d’op´erations de“virgule flottante par seconde”). Un PC actuel (par exemple Intel Core 2 2.6Gz) est un processeur constitu´e de deux unit´es de calcul virgule flottante et peut d´elivrer une puis- sance d’environ 2∗6 GFlops. Apr`es une relative stagnation de l’accroissement de la puissance des processeurs, il est apparu durant l’ann´ee 2006 de plus en plus de processeurs poss`edant deux coeurs et depuis deux ans, les processeurs quadri-coeurs deviennent de plus en plus fr´equents. Mˆeme si pour des applica- tions courantes le gain de puissance n’est pas une fonction lin´eaire du nombre de coeurs, le calcul scientifique peut facilement exploiter cette fonctionalit´e `a travers une parall`elisation du code. Cela se fait assez simplement avec une li- brarie de type OpenMP. R´eserv´e jusqu’`a quelques semaines `a des compilateurs commerciaux, le compilateur gcc dispose par exemple de cette fonctionnalit´e sur Linux (distribution Fedora) d`es aujourd’hui. La parallelisation massive des codes scientifiques a ´et´e faite depuis plusieurs ann´ees afin de b´en´eficier de la puissance d’une architecture ou` les processeurs sont tr`es nombreux (plusieurs milliers). Letableauci-dessousdonnelescaract´eristiquesetpuissancesdesordinateurs lespluspuissantsdanslemondeQuelquesremarquesconcernantles´evolutions: en 2003, sur les dix premi`eres machines les plus puissantes, 9 sur 10 ´etaient install´ees aux Etats Unis, la premi`ere ´etant au Japon. En 2004, il n’y a plus que 5 sur 10, les quatres autres se r´epartissant de la mani`ere suivante : deux sont install´ess en Angleterre, une autre au Japon et une en Chine, qui ont fait une entr´ee remarquable. En 2008, plusieurs nouveaut´es : sur les dix premi`eres machines, 6 ont ´et´e install´es avant Juin 2008 (date du classement); la premi`ere machine d´epasse cette ann´ee les 1000 TFlops (on parle de PFlops); retour des Etats-Unis sur le 3Metropolis, Nicholas Constantine (1915-1999) `a la fois mathematicien et physicien de formation, a ´et´e recrut´e par J. Robert Oppenheimer au Los Alamos National Laboratory en Avril1943.Ila´et´eundesscientifiquesduprojetManhattanProject,etacollabor´eavecEnrico Fermi et Edward Teller sur les premiers r´eacteurs nucl´eaires. Apr`es la guerre, Metropolis retourna `a Chicago as an assistant professor, et revint `a Los Alamos en 1948 en y cr´eant la division Th´eorique et il construisit l’ordinateur MANIAC en 1952, puis 5 ans plus tard MANIAC II. Il retourna de 1957 `a 1965 `a Chicago et cr´ea la division de Computer Research, puis retour d´efinitif `a Los Alamos 41.2 Moyennes d’ensembles Rang Fabricant/Nbre Proc. (TFlops) Pays 1 IBM Blade Centetr/ 129600 1105 1456 LANL USA 2008 2 Cray XT5 / 150152 1059 1381 Oak Ridge Nat Lab 2008 3 IBM Blue Gene /294912 825.5 1002 Germany 2009 4 SGI /51200 487 608 Nasa USA 2008 5 IBM Blue Gene 212992 478 596 LLNL USA 2007 ... ... ... ... 20 IBM Blue Gene /40960 139 112 France 2008 Tab. 1.1 – Classement Juin 2009 des superordinateurs devant de la sc`ene. Les quinze machines les plus puissantes sont am´ericaines et les cinq premi`eres sont install´ees aux USA; le Japon longtemps premier n’est aujourd’hui que seizi`eme. Apr`es une longue p´eriode dans les profondeurs du classement, la France s’est dot´e en 2008 d’une machine qui ´etait `a la neuvi`eme place. Derni`ere statistique : concernant les syst`emes d’exploitation utilis´es sur les 500 machines les plus rapides du monde : Linux est install´e sur plus de 400 machines, Windows sur 5 et MacOx sur 2! 1.2 Moyennes d’ensembles Laconnaissancedelafonctiondepartitiond’unsyst`emepermetd’acc´eder`a l’ensembledesesgrandeursthermodynamiques.Nouspassonsrapidementenre- vue les principaux ensembles utilis´es en m´ecanique statistique. Nous supposons que la limite thermodynamique des diff´erents ensembles conduit aux mˆemes grandeurs thermodynamiques. Pour des syst`emes de taille finie (ce qui corres- pond toujours aux syst`emes´etudi´es en simulation num´erique), il peut subsister n´eanmoins des diff´erences qu’il conviendra d’analyser. 1.2.1 Ensemble microcanonique Le syst`eme est caract´eris´e par l’ensemble des variables suivantes : le volume V du syst`eme, l’´energie totale E du syst`eme et le nombre N de particules. Cet ensemble n’est pas l’ensemble naturel pour des observations exp´erimentales. Dans ces derni`eres, on travaille – soit `a nombre de particules, pression P et temp´erature T constants, en- semble (N,P,T) ou ensemble isobare-isotherme, – soit`apotentielchimique ,volumeV ettemp´eratureT,ensemble( V,T) ou ensemble grand-canonique, – voire `a nombre de particules, `a volume et `a temp´erature constants, en- semble (N,V,T) ou ensemble canonique. Il existe une m´ethode Monte Carlo d´evelopp´ee par M. Creutz utilisant l’en- semble microcanonique, mais elle est tr`es peu utilis´ee en particulier pour les syst`emes mol´eculaires. En revanche, l’ensemble microcanonique est l’ensemble 5M´ecanique statistique et simulation num´erique naturel pour la dynamique mol´eculaire d’un syst`eme conservatif, car l’´energie est conserv´ee au cours du temps. Les variables conjugu´ees aux grandeurs d´efinissant l’ensemble fluctuent. Il s’agit de la pression P (conjugu´ee de V), de la temp´erature T (conjugu´ee de E), et du potentiel chimique (conjugu´ee de N). 1.2.2 Ensemble canonique Le syst`eme est caract´eris´e par l’ensemble des variables suivantes : le vo- lume V du syst`eme, la temp´erature T et le nombre N de particules. SoitH le Hamiltonien du syst`eme, la fonction de partition s’´ecrit Q(V,β,N)= exp(−βH(α)) (1.1) α ou` β = 1/k T (k constante de Boltzmann). La sommation (discr`ete ouB B continue) parcourt l’ensemble des configurations α du syst`eme. L’´energie libre F(V,β,N) du syst`eme est ´egale `a βF(V,β,N)=−ln(Q(V,β,N)). (1.2) La probabilit´e d’avoir une configuration α est donn´ee par exp(−βH(α)) P(V,β,N;α) = . (1.3) Q(V,β,N) Les d´eriv´ees thermodynamiques sont reli´ees aux moments de cette fonction de probabilit´e,donnantuneinterpr´etationmicros