Singularities of unitary modular varieties [Elektronische Ressource] / Niko Alexander Behrens
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19SingularitiesDofhafunitaryexandermoGradesdularDr.vDipl.-Math.arietiesamVvonderdereFnat.akulvto?gebtOktobf?rinMathematik2010undDoktorPhNaturwissenscystinkrer.dergenehmigteGottfriedissertationWilhelmonLeibnizNikUnivAlersiBehrenstoren?t07.Hannoerv80erHannozurerErlangungdesaReferen07.t:TProf.GregoryDr.an,KlausderHulek,2010HannoSankvrerBathKagoreferenPromotion:t:MaiProf.Dr.nnCH Γn ≥ 12n ∗(Γ\CH )V/G GVO O√Q( D)n1tomplexSchundypliegendeeenrbKoliscThenganzenRaumseinetersucKunen,ktenutzt,nachehmeinererden,sperh?lteziellenerbindungarithmetisconstruk-henhenUnA.tergruppweVBallquotienScderesitzt.GruppniceSderdieAutomorphismen.opDieKseetracsindalsquasi-prohenjektivderendenVReid-Tarif?r-dimensionalenet?tennnachnikhwErgebnissenArbvM.ongegebW.L.heBailydie,GitterJr.Zunden,A.anoniscBorel.ArgumenEsvwirdFbt,ewiesen,KdassederdeBallquotientialraumtAuckdasanon-zuisc-GitterhetetSingulaobrRingidest?rp?htuetninbtesitzt,KriteriumsolahranknDgDieeeineronompaktizierungvTSingularit?tender.me-WireibdurcenvutzenD.hierbopeiTTist.eceinehnikompaktizierungen,obdietoriscaufdurceineromArbeneitwirdveondassV.A.zierungGritsenkSingularit?teno,wK.bHuleksicundResultateG.K.t-kSankbaranorte:banoniscengularit?ten,rzierunguhen,Gruppinistderauf?hnlicmheangenResultatetenf?reriert.orthogonalehmoussdularederVonstruktionariet?tenGrundebQuotienewiesenbwher-wden.wWeieiterhinderkderonstruierenZahlenwirimagin?

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Publié le 01 janvier 2010
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19SingularitiesDofhafunitaryexandermoGradesdularDr.vDipl.-Math.arietiesamVvonderdereFnat.akulvto?gebtOktobf?rinMathematik2010undDoktorPhNaturwissenscystinkrer.dergenehmigteGottfriedissertationWilhelmonLeibnizNikUnivAlersiBehrenstoren?t07.Hannoerv80erHannozurerErlangungdesaReferen07.t:TProf.GregoryDr.an,KlausderHulek,2010HannoSankvrerBathKagoreferenPromotion:t:MaiProf.Dr.n
n
CH Γ
n ≥ 12
n ∗(Γ\CH )
V/G G
V
O O√
Q( D)
n
1
tomplexSchundypliegendeeenrbKoliscThenganzenRaumseinetersucKunen,ktenutzt,nachehmeinererden,sperh?lteziellenerbindungarithmetisconstruk-henhenUnA.tergruppweVBallquotienScderesitzt.GruppniceSderdieAutomorphismen.opDieKseetracsindalsquasi-prohenjektivderendenVReid-Tarif?r-dimensionalenet?tennnachnikhwErgebnissenArbvM.ongegebW.L.heBailydie,GitterJr.Zunden,A.anoniscBorel.ArgumenEsvwirdFbt,ewiesen,KdassederdeBallquotientialraumtAuckdasanon-zuisc-GitterhetetSingulaobrRingidest?rp?htuetninbtesitzt,KriteriumsolahranknDgDieeeineronompaktizierungvTSingularit?tender.me-WireibdurcenvutzenD.hierbopeiTTist.eceinehnikompaktizierungen,obdietoriscaufdurceineromArbeneitwirdveondassV.A.zierungGritsenkSingularit?teno,wK.bHuleksicundResultateG.K.t-kSankbaranorte:banoniscengularit?ten,rzierunguhen,Gruppinistderauf?hnlicmheangenResultatetenf?reriert.orthogonalehmoussdularederVonstruktionariet?tenGrundebQuotienewiesenbwher-wden.wWeieiterhinderkderonstruierenZahlenwirimagin?r-quadratiscdesZahlkhersmanEinetenUneineist.toroidalegenaueKtersucompaktizierungungerdenawfeitreArberDarstellungendieseVInmidesdemBallquotienaiten,liefertwScobeeidiewirimensionb.enKutzen,tiondasstoroidalederKBallquotienbtutzteineecDarstellungenalstoriscbGeoesctrie,hr?nktesobsymmetriscdiehesompaktizierungGebiehteitenbonesitzt.Ash,AucMumford,hRapgebortenY.-S.wiraihierf?reneinWirResultaterden?bsolcerKkangebanoniscwheeiSingularit?tenauftretendenan.henF?rariet?tenunserehUnvtersucRanghgegebungensind.istudemeseinevhrankonangegebensotscdieseheidenderompakti-Bedeutung,kdasshesicbhHierf?rdaserdenStudiumtevenondieSingularit?tenhlokorherigeralimaufhQuotienompaktentenallZusammenfassungedienen.tienhlagwBallquo-Ballquotienreduziert,kwheobieitoroidalet.ompakti-iiiendliceinenn CH
Γ
n ≥ 12
n ∗(Γ\CH )
V/G G
V O O√
Q( D)
n
nΓ\CH
1
dimensionyalabspumecialA.arithmeticobtainedsub-lgrouptations,bthesisofthisthetoroiautomorphismthegroup.eThisinisstudyacaitofualvidedlyandaquotienquasi-proresults.jectivquotienegroupvquotienarietvytbisyimagresultsbofrelevW.L.edBailyb,aJquotier.requiresandgeometryAM..WBorel.theWtoricearewillquotienprocompacticationvquotienewithtactinghatttheWbaloltoquotientotunderlahaswherecanonicalringsingularioftquadraticieressingularitiesifExamingspaceticoupolthe.yieldsWone.relyconetteIncorkhniquesybasedresultsonD.woporkTofwillV.A.usingGritsenkforo,onlyK.arietiesHulekrankandonG.K.ords:Sankcanonicalaranawheretosimilartsresultsasfor,orthogonalnitemotsdularonvtangenarietiesspaceare.obtained.eFsurthermore,haweetakconstructinaaccountoroidalthecompacti-yingcation-lattice,erbalypthehofcomplextegers-dimensionalantheinaryofnfrombtheeldballofquotienthet,.usingtheaanrepresenrepresentationcoflthewithlatterReid-TascriterionaaboundoundedthesymmeetricConstructingdomain.toroidalWompacticationethalsoballstatenawresultthisabAbstractoutframewcanonicalprosingularitiesbfortorictheandcompactiedofballAsh,tsMumford,lattices.Rapurthermore,orteY.-S.vai.aeound,statehcompacticationthisthathasconstructionsingulariballitsFneedsthisvurpinducedwyusetsquotieFnwt.proFeorbthissucstudythat,compacticationitcanonicalistofes.crucialorimpportanceosethatetheargumeninthatvbasedestigationformerofKeywsingularitiesBallcant,losingularities,callydblevreduced.Conatten.tsquotienIn.tro.ductionelds1.1.Preliminaries.7.1.1.Singularities............46...60.........tations...Ball.....description...3.2.1............................7.1.1.1.Quotien.t.Singularitiesn.......singularities.........3.2.........space.......A............7.1.1.2.CanonicalNon-canonicalSingularities......4.1...................the.............80...2.3.v.b9.1.2.T.oroidal.Compactication..30.ts.3.1...................lo.................angen........11.1.2.1.Basics..45.result.................Quasi-reections...............55...............Compactication............12.1.2.2.Lo.cal4.2compactication..................4.3.ompactication...........4.4.b.............8412.1.2.3.Global26constructionRepresen.o.er.um.er.......................3.quotien.and.39.Ball.ts........16.2.Represen.tation.theory.and.n.um.b.er.elds.19.2.139CyclotomicApcalolynomials..............................42.T.t....................19.2.1.1.Reducibilit.y....3.3.rst...................................3.4..................21.2.1.2.Galois.theory........3.5.singularities...........................4.69.Denitions................24.2.1.3.A.Result............69.Groups.....................................72.Constructing.c........25.2.2.Eigen.v.alu.es.of.cyclotom78iSingularitiescthepoundaryolynomials........................References.vii.n ≥ 9
2d
d> 61
4
22 B /Γ
C
2 2e(B /Γ) τ(B /Γ)
C C
somearantrostudiedtheirmoconstructdularisvHolzapfelaritiesMumford,ofCarlsonorthogonalthetcialypjectsen(cf.b[GHS07]).olsTheseymothedularinvmoarietiescompacofvorthogonalalgebraictinypcalculatede.K.apphaearcompacticationwhenaioneTw1anktsoledototherestudyincertaintheorymovdulisemspaces,toforofexamplequotienthebmoquotienduliquotienspace,ofbK31]surfaces,fororucthethemoSincedulirepresenspaceoneofyportolarisedelivdtoricsympleedcticctivmanifolds.estigatedFAllcoorwithdimensionD.andCT02].HulekofK.resultstheyyproofvarianeFthattheythethatcorrespspaceondingcubiccompactiedfactmoSatakdularivspariet-dimensionalyandhassomeonlywcanonicalstructures.singularities.inThistheresultsurfaceswstudiedasereusedsivtoR.-Pgiv[Hol98,eexample).aformresultlonbtheareKdularoMoSankanddairardimensionquotienofetheasmosymmetricduliapplyspacestudiedofAsh,pRapolarisedY.-S.K3T75].surfacestheofconstructionsd.eprogreeoneo,prosenkcom.vThisbmoD.dulicspacetogetherisJ.ofandgeneralTt[AypInecaseifthreefoldsGrit-areA.onV.stabilit.problemsThetermsdenitiongeometricofvunitarytmo.dularorvsurfacesarietiesproisedsimilar,thei.e.dulitheofquasi-proistablejectivsurfaceseinvbiholomorphicarietiesthegiveentbcationyaunitaryegroupsgeometryinsteadballoftorthogonalingroups.estigatedThisrelationsthesisetwilleenconcenorbifoldtrateBallontsthdimensione,spballecialtcaseinofobballhquotienwtstudiedandten-willelynotyregard.unitary(seegroupsHol8inforfullHegeneralitsome.ulasGtheEuaerothumdelerthemcompacticationarietiesthevFandheindexarithmeticductionectsInballtyfor.smoBallmoquotienoftsBaily-Borelalsoofappsurface.earurthermoreasstudiedmoaspduliofspaces,quotienforsurfacesexampletheiassingularities.theballmotsdulivspaceaoftationcubicathreefoldsoundedwhicdomain,hcanwtoroidalasasstudiedbbA.yD.D.M.AllcoopcandkT[All03][AMRorTheyaserthetomousingdfromulgeometryiY.-S.spaceaiofvcthatucanbiacjesurfaceseal-soin1

μ Q( D)r √
Q( D)
μr
nΓ\CH
[ω] [ω]
D =−3
g∈ Γ
n ∗(Γ\CH )
nΓ\CH 0
n ∗(Γ\CH )
aranedoundaryacriterion.crite-determinerionactiontousedecidethewheneonlysingularitiethesetsingularitiesthatosomeccur.,Chapter.1represenproV.A.videswhicteheointechehniqueseandWdenitionsjectivthatbwillnalsoabbtationseeusedaluesinquotienthe3.laterHulekcehapters.thatAftersingularities.anrstinsubgrouptrtsoballductionofitoroidalntstoleadquotientoroidaltresultssingularities,rietcanonicalChaptersin-thegularitiesaswillokbveiinirreducibletrojectivduced.willThiscriterioniseigenbasesucdTheonwillwinoresultsro,kG.K.of[GHS07]),Y.-S.videTen-aiof[hasTwillai82]bandtoM.theReida[Rei87].studyIntheparticularattandhevyReid-TReid-Taiorcriterionconstructwillallbthesisepstatednon-canonicalwhicconstructhincanbbtheevusedThesetopacticationdetermineThiscanonicaldonesingularities-dimensionalinonentheedsituationbofT75].quotienetasingularities.cThesingularitieslastandsectionrepresenleadsoftoprotheThereconstructionbofatoroidaltocompacticationsthewherevthisofthesishrestrictstations.toballthetcasebthatdenedtheChapterlatticeUsingonofwhicGritsenkhK.theandconstructionSankof(cf.thewtoricprovassumptionsariethysureisthesebasedshastherankcanonicalcanonicalThis.bIndoneChaptery2,reducingtherethewillofbstabilizereofanpintvandestigationonoftangenrepresenspacetationquotientheoryofofmakingaacyclicusegroupthestudiedaiai82]Focompacticationvaerwalistquadraticelemenntoumthisbcoulderossiblyeldto[Tsingularities.aieTaY.-S.compacticationandd.eClassicalwillresultsofabquasi-prooutethea-de-ycompassumptions.ositionsunderofin[Rei87]4..willpeolynomialsforoODUCTIONvbercompthetsndescribumibtheeroeld[AMRReidFinallyM.warieties.proveetheoremwilloutbanonecalusedofprcompacticationosingularitiesvtoINTRstateallcyc2lotomic

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