Sommes connexes généralisées pour des problèmes issus de la géométrie, Somme connesse generalizzate per problemi della geometria

Lorenzo Mazzieri

Description

Sous la direction de Frank Pacard, Giuseppe Tomassini
Thèse soutenue le 24 janvier 2008: Scuola Normale Superiore di Pisa, Paris Est
Ces deux dernières décennies, les techniques de somme connexe essentiellement basées sur des outils d'analyse ont permis de faire des progrès importants dans la compréhension de nombreux problèmes non linéaires issus de la géométrie (étude des métriques à courbure scalaire constante en géométrie Riemannienne, métriques auto-duales, métrique ayant des groupes d'holonomie spéciaux, métriques extrémales en géométrie Kaehlerienne, équations de Yang-Mills, étude des surfaces minimales et des surfaces à courbure moyenne constante, métriques d'Einstein, etc.). Ces techniques se sont avérées être un outil puissant pour démontrer l'existence de solutions à des problèmes hautement non linéaires. Si les techniques permettant d'effectuer des sommes connexes en des points isolés sont bien comprises et fréquemment utilisées, les techniques permettant d'effectuer des sommes connexes le long de sous-variétés ne sont pas encore bien maîtrisées. Le principal objectif de cette thèse est de combler (partiellement) cette lacune en développant de telles techniques applicables dans le cadre de l'étude des métriques à courbure scalaire constante et aussi dans le cadre de l'étude des équations de comptabilité d'Einstein en relativité générale
-Sommes connexes
-Courbure scalaire
These last two decades the connected sum techniques, essentially based on analytical tools, are revealed to be a powerful instrument to understand solutions of several nonlinear problem issued from the geometry (constant scalar curvature metrics in Riemannian geometry, self-dual metrics, metrics with special holonomy group, extremal Kaehler metrics, Yang-Mills equations, minimal and constant mean curvature surfaces, Einstein metrics, etc.). Even tough the techniques which allows one to consider the connected sum at points for solutions of nonlinear PDE's are frequently used and deeply understood, the analogous techniques for connected sums along sub-manifolds have not been mastered yet. The main purpose of this thesis is to (partially) plug this gap by developing such techniques in the context of the constant scalar curvature metrics and the Einstein constraint equations in general relativity
-Connected sum
-Scalar curvature
-Yamabe equation
-Einstein constraint equations
-Conformal geometry
Source: http://www.theses.fr/2008PEST0003/document

Sujets

• Courbure scalaire

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Scuola Normale Superiore di Pisa
Classe di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
´Universite de Paris 12
´ ´Laboratoire d’Analyse et de Mathematiques Appliquees
————————————
SOMME CONNESSE GENERALIZZATE
PER PROBLEMI DELLA GEOMETRIA
´ ´ ´SOMMES CONNEXES GENERALISEES
`POUR DES PROBLEMES
´ ´ISSUS DE LA GEOMETRIE
2005-2007
Tesi di Perfezionamento di / Th`ese de Doctorat de :
Lorenzo Mazzieri
Relatori / Directeurs de th`ese :
Prof. Frank Pacard (Paris)
Prof. Giuseppe Tomassini (Pisa)Tesi realizzata con il contributo dell’Universit` a Italo-Francese, Programma
Vinci 2006, contributi di sostegno alla mobilit` a per dottorati di ricerca in
co-tutela.
Th`eser´ealis´eeaveclacontributiondel’Universit´eFranco-Italienne,Programme
Vinci 2006, bourse d’accompagnement pour th`eses en co-tutelle.Introduzione1 Somme connesse generalizzate
In questi ultimi due decenni le tecniche di somma connessa, basate essenzial-
mente su strumenti di natura analitica, hanno permesso di fare importanti
progressi nella comprensione di svariati problemi non lineari derivati dalla ge-
ometria (studio di metriche a curvatura scalare costante in geometria Rieman-
niana [16], [21], [24], metriche autoduali [31], metriche con gruppi di olonomia
speciali[17],[20],metricheestremaliingeometriaK¨ahleriana[2],[3],equazioni
diYang-Mills[11], studiodiipersuperficiminime[34]edisuperficiacurvatura
media costante [22],[23], metriche di Einstein [1],...). Queste tecniche si sono
rivelate essere uno strumento potente per dimostrare l’esistenza di soluzioni di
problemi altamente non lineari.
La somma connessa (ossia l’aggiunta di un manico) `e un’operazione topo-
logica che consiste nel prendere due variet`a M e M , rimuovere da ciascuna1 2
di esse una piccola palla geodetica e identificare i bordi (i.e., due sfere) che
si sono formati al fine di ottenere una nuova variet`a M ♯M che, in generale,1 2
sar`a topologicamente diversa dalle due variet`a iniziali. Piu` in generale si pu`o
considerare la sommma connessa di due variet`a M ed M lungo una sottova-1 2
riet`a K (somma connessa generalizzata). In questo caso si rimuove un piccolo
intorno tubolare di K nelle due variet`a iniziali e si identificano i bordi ottenuti
per costruire M ♯ M . Osserviamo che per effettuare una tale costruzione1 K 2
bisogna richiedere che i fibrati normali di K in M ed M siano diffeomorfi.1 2
Le cose si complicano quando le due variet`a iniziali sono munite di una
particolarestruttura(comenelcasodivariet`aconmetricheacurvaturascalare
costante, o variet`a che sono superfici minime,...) e si vuole preservare questa
struttura, o quando sulle variet`a iniziali esistono soluzioni di certe equazioni
nonlineariesivoglionorisolverelestesseequazionisullasommaconnessadelle
due variet`a M e M (come ad esempio le equazioni di Yang-Mills).1 2
Sedaunlatoletecnichechepermettonodieffettuarelesommeconnessein
puntiisolatisonostatebencompreseefrequentementeutilizzate,dall’altronon
sihaancoraun’effettivapadronanzadelletecnichechepermettonodieffettuare
la somma connessa lungo sottovariet`a. Il principale obiettivo di questo lavoro
`e quello di colmare (parzialmente) questa lacuna, sviluppando tipo di
tecnologie nel quadro delle metriche a curvatura scalare costante e nel quadro
delle equazioni di vincolo di Einstein, in relativit`a generale.
12 Il problema di Yamabe
Il problema di Yamabe in dimensione m≥ 3 consiste nel cercare, partendo da
una metrica Riemanniana g su una variet`a compatta M, un fattore conforme
4
m−2u > 0 tale che la metrica g˜ = u g sia a curvatura scalare costante. Dal
punto di vista analitico, questo problema corrisponde a trovare una soluzione
positiva dell’equazione
m+24(m−1)
m−2− Δ u + R u = R u (1)g g g˜
m−2
4
m−2doveR indicalacurvaturascalaredellametricag˜ := u g eR lacurvaturag˜ g
scalare della metrica iniziale g (il nostro Laplaciano `e definito negativo).
Questo problema `e stato risolto grazie ai contributi di H. Yamabe [33], N.
Trudinger [32] (nel caso delle metriche a curvatura scalare negativa), T. Aubin
[4] (nel caso delle metriche non localmente conformemente piatte a curvatura
scalare positiva e in dimensione m ≥ 6) e R. Schoen [29] (nei casi restanti,
cio`e per metriche g a curvatura scalare positiva e in dimensione m = 3,4 e
5, o localmente conformemente piatte). Come conseguenza sappiamo che su
una variet`a compatta esiste una metrica a curvatura scalare costante in ogni
classe conforme. Inoltre tale metrica `e unica nel caso della curvatura scalare
negativa.
Teorema1(Aubin,Schoen,Trudinger,Yamabe). Sia(M,g)unavariet`a
Riemanniana compatta di dimensione m ≥ 3, allora esiste sempre su M una
metrica g˜ a curvatura scalare costante conforme a g.
La dimostrazione di questo Teorema purtroppo `e ben lontana dall’essere
costruttiva, pertanto da essa non si pu`o ricavare alcuna informazione sulla
struttura delle metriche a curvatura scalare costante effettivamente ottenute.
Allo scopo di migliorare la comprensione di tali metriche, D. Joyce s’`e interes-
sato alla somma connessa puntuale di variet`a a curvatura scalare costante. In
questo modo `e riuscito a fornire una descrizione abbastanza precisa di alcune
soluzioni dell’equazione di Yamabe. L’idea `e quella di partire da due soluzioni
notedel problemadi Yamabe perprodurrepoi nuoviesempi dimetricheacur-
vatura scalare costante sulla somma connessa delle due variet`a, perturbando
le metriche iniziali. Nella prossima sezione, decriveremo piu` dettagliatamente
i risultati di D. Joyce.
23 Il risultato di D. Joyce
D.Joycein[16]costruiscedellefamigliedimetricheacurvaturascalarecostante
sulla somma connessa puntuale di variet`a Riemanniane compatte munite di
metriche a curvatura scalare costante. Nella prima parte di questa tesi ci pro-
poniamo di generalizzare questo risultato al caso delle somme connesse lungo
sottovariet`a.
Ci `e sembrato opportuno fornire qui una sintetica descrizione del metodo
utilizzato da D. Joyce, dal momento che, nelle sue linee guida, tale metodo `e
comune alla maggior parte dei risultati di somma connessa. Ci accontentiamo
di descrivere i risultati di D. Joyce nel caso in cui le due metriche sulle variet`a
M e M abbiano la stessa curvatura scalare costante, visto che questa `e la1 2
situazione piu` vicina ai risultati contenuti in questa tesi. Precisiamo che Joyce
tratta anche la somma connessa puntuale di metriche iniziali piu` generali, ma
queste costruzioni non sembrano estendersi in modo naturale al caso delle
somme connesse generalizzate. In ogni caso, per maggiori dettagli, rinviamo
direttamente il lettore all’articolo di Joyce sopra citato.
Ilpuntodipartenza`eildatodiduevariet`aRiemanniane(M ,g )e(M ,g )1 1 2 2
di dimensione m ≥ 3 aventi la stessa curvatura scalare costante. Si rimuove
una piccola palla di raggio ε da ciascuna variet`a e si identificano i bordi che
m−1si sono formati con i bordi di un “collo” [−T,T]× S . Questo “collo” `e
munito di una versione riscalata (il fattore di riscalamento dipender`a da ε)
della metrica di Schwarzischild
4£ ¤
m−2 2m−2
m−1g = cosh( t) ¢ (dt + g ) (2)Sch S2
la qual cosa lo rende a curvatura scalare nulla. Utilizzando delle funzioni cut-
off si costruisce una famiglia (parametrizzata da ε ∈ (0,1)) di metriche che
non sono a curvatura scalare costante, ma che rappresentano delle soluzioni
approssimate del problema. Queste nuove metriche (g ) sono identicheε ε∈(0,1)
alle metriche di partenza su tutta la nuova variet`a M ♯M salvo un piccolo1 2
anello situato fra i bordi di identificazione. Il passo successivo consiste nel
perturbare, per ε abbastanza piccolo, le soluzioni approssimate, in modo da
ottenere delle metriche a curvatura scalare costante.
Una volta costruita la famiglia delle funzioni approssimate, il problema
diventaquellodicercareunfattoreconformeu vicinoad1, talechelametricaε
4
m−2g˜ := u g abbiacurvaturascalarecostante. Ilfattocheilfattoreconformeεε ε
3sia vicino ad 1 permette di controllare la struttura delle metriche a curvatura
scalare costante ottenute. Evidenziamo il fatto che tale controllo sul fattore
conforme `e essenziale in questo tipo di studio. Infatti, se ci si affranca da
questo vincolo, `e sufficiente applicare il Teorema 1 per ottenere direttamente
l’esistenzadiunametricaacurvaturascalarecostantesuM ♯M . Cos`ıfacendo,1 2
per`osiperdeilcontrollosulfattoreconformeu ediconseguenzasullastrutturaε
della metrica finale.
Possiamo ora enunciare e commentare i risultati di Joyce, iniziando dalla
sommaconnessadiduevariet`aentrambeconcurvaturascalarecostanteuguale
a R < 0:
Teorema2 (Joyce). Siano (M ,g ) e (M ,g ) due variet`a Riemanniane com-1 1 2 2
patte di dimensione m ≥ 3, munite di metriche la cui curvatura scalare `e
costante ed uguale a R < 0. Denotiamo con g la metrica (soluzione approssi-ε
mata) definita su M := M ♯ M , la somma connessa di M e M ottenuta1 ε 2 1 2
rimuovendo piccole palle di raggioε da ogni variet`a ed identificando i due bordi.
Sotto queste ipotesi, per ogni ε sufficientemente piccolo, `e possibile dotare M
di una metrica g˜ a curvatura scalare costante R. Tali metriche sono conformiε
alle metriche iniziali lontano dai bordi di identificazione. Inoltre questo fattore
conforme u `e vicino ad 1, nel senso cheε
2k1−u k 1,2 ≤ Cεε W (M,g )