Statistique

Description

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Statistique
Introduction
Dans les programmes, il est fait référence à l’ouverture du champ du questionnement
statistique et comme le dit Yves ESCOUFIER (Rapport de la Commission de Réflexion sur
l’Enseignement des Mathématiques de mars 2003) : « Il n’y a pas de pratiques statistiques
sans données ; il n’y a pas de données sans des questions issues des domaines scientifiques,
économiques, sociaux ou industriels qui justifient l’intérêt qu’on leur porte. »
L’élève de Seconde a eu l’occasion, dans sa scolarité antérieure, de mettre en œuvre un certain
nombre d’outils statistiques (relevés statistiques, graphiques, fréquences, moyennes…).
Parallèlement à cet apprentissage, il a eu l’occasion d’être initié à l’utilisation des tableurs.
Il faut maintenant poursuivre cette initiation et approfondir ces notions.
Nous avons voulu insister sur le fait que la statistique est une démarche (un ensemble de
méthodes, d’outils mathématiques) permettant de répondre, ou pour le moins d’apporter
des éléments de réponse, à des questions qui se posent dans de nombreux domaines
(sociologie, médecine, industrie…). C’est Daniel SCHWARTZ (Le jeu de la science et du hasard.
La statistique et le vivant) qui dit : « Les statistiques sont des dénombrements de sujets,
d’objets, d’événements, dans des populations ou des sous-populations. La statistique est
un mode de pensée permettant de recueillir, de traiter et d’interpréter les données qu’on
rencontre dans divers domaines, et tout ...

Sujets

• Valeur de la biodiversité
• Fréquence spatiale
• Moyenne pondérée
• Acide désoxyribonucléique
• Tableau d'honneur
• Microsoft Excel

Informations

• Publié par: Machung
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• Langue: Français

Extrait

1 Introduction  Statistique
Dans les programmes, il est fait référence à l’ouverture du champ du questionnement statistique et comme le dit Yves ESCOUFIER (Rapport de la Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques de mars 2003): «Il n’y a pas de pratiques statistiques sans données; il n’y a pas de données sans des questions issues des domaines scientifiques, économiques, sociaux ou industriels qui justifient l’intérêt qu’on leur porte.» L’élève de Seconde a eu l’occasion, dans sa scolarité antérieure, de mettre en œuvre un certain nombre d’outils statistiques (relevés statistiques, graphiques, fréquences, moyennes…). Parallèlement à cet apprentissage, il a eu l’occasion d’être initié à l’utilisation des tableurs. Il faut maintenant poursuivre cette initiation et approfondir ces notions. Nous avons voulu insister sur le fait que la statistique est une démarche (un ensemble de méthodes, d’outils mathématiques) permettant de répondre, ou pour le moins d’apporter des éléments de réponse, à des questions qui se posent dans de nombreux domaines (sociologie, médecine, industrie…). C’est Daniel SCHWARTZ (Le jeu de la science et du hasard. La statistique et le vivant) qui dit: «Les statistiquessont des dénombrements de sujets, d’objets, d’événements, dans des populations ou des sous-populations. La statistiqueest un mode de pensée permettant de recueillir, de traiter et d’interpréter les données qu’on rencontre dans divers domaines, et tout particulièrement dans les sciences de la vie, du fait que ces données présentent une caractéristique essentielle: la variabilité.» Pour répondre à la question qui se pose à lui, le statisticien se doit donc de recueillir des données les plus fiables possibles (nécessité de mettre en œuvre des protocoles expérimentaux rigoureux). Il rencontre alors des problèmes liés à l’échantillonnage, problèmes qu’il se doit de comprendre et de maîtriser afin d’être capable de mesurer les risques qu’il encourt en choisissant un modèle plutôt qu’un autre. Nous avons voulu, conformément aux programmes, proposer aux élèves de nombreuses situations dont une modélisation «spontanée» permet la compréhension de la situation. Les problèmes de validité des modèles utilisés restent évidemment en suspens: la modélisation théorique est laissée de côté en attendant les éléments du calcul des probabilités (abordées en classe de Première). De toute façon, il ne faut pas oublier, comme le dit le grand statisticien britannique, G. BOX: «Tous les modèles sont faux, certains peuvent être utiles.». La calculatrice, et plus encore le tableur, permettent de traiter un grand ensemble de données: l’élève est ainsi mis dans une situation proche du réel. Nous avons aussi, conformément au programme, développé l’utilisation d’une table de nombres aléatoires. 1 - Statistique 1

euqitsitatS - 1 2 .leiciffo emmargorp ud stiartxe :sarg nE .stneréffid sfitcejbo sed tnasiv snoitautis sed snad sérgétni tnos sénrecnoc stniop sel euq tnemelarénég siam ,seuqnam sed tia y li’uq sap tneifingis en sediv sesac seL .naliB te tset -otuA ,ségirid xuavarT ,sulosér semèlborP ,rerolpxe ruop sétivitcA ,ehcorppA ruop tnemevitcepser B ,TA ,DT ,RP ,tcA ,ppA seéxiférp tnos snoitautis sertua seL .secicrexE euqirbur al ed sorémun sel tnos exiférp snas sorémun seL 1tcA 53-41 1RP 03-72-42 -71-61-31-21-11 2EDT-1EDT-3tcA 52-9 -8-7 -6-5 1ppA .sertuA 32 -01 2ppA .tnemenévé nu’d ecneuqérf al ed te sruelav ed erbmon titep nu tnanerp eirés enu’d secneuqérf sed noitubirtsiD .secneuqérf sed noitubirtsid al ed ritrap à enneyom al ed luclaC .sepuorg-suos ed senneyom sed ritrap à eirés enu’d enneyom al reluclaC .euqitsitats eirés enu’d enneyom al ed étiraénil ed sétéirporp sel resilitU •Contenus et objectifsdes activités, des exercices et des tests Objectif du chapitre Nous avons proposé aussi souvent que possible la possibilité d’utiliser l’un quelconque de ces outils et l’enseignant pourra ainsi choisir. Les deux thèmes «Moyenne» et «Sondage et fluctuation d’échantillonnage» complètent ce chapitre. On peut trouver des compléments théoriques et didactiques, ainsi que des idées dans les brochures suivantes, dont l’auteur s’est grandement inspiré: Statistique probabilitééditée par la Commission INTER-IREM; Probabilités au lycéeéditée par l’APMEP; Simulation et statistique en Secondeet Enseigner la statistique au lycée: des enjeux aux méthodeséditées par l’IREM de Villetaneuse et Des statistiques à la pensée statistiqueéditée par l’IREM de Montpellier. 2tcA T T D D E E 3 6     T TD D E E 7 5     TDP1 TDP2 TDP3 AT3  3 1 1 9 - - 3 20 2 - - 2 3 1 3 - - 2 3 2 4 - - 2 3 8 6 - - 37-38-39-40-41- 42-43-44 92 A AT T 1 2     A B T 1 4     4B 15-18? 2B 3B Contenus du programme -2-1 Population, caractère, échantillon.3-4-TDE4 62

❚ Approche Au Collège, les élèves ont eu l’occasion de travailler sur des représentations graphiques et sur le calcul de fréquences (en liaison avec la proportionnalité). Le but de ces deux exercices Approche est de faire le point sur leurs compétences acquises dans ces domaines. Ces exercices peuvent être donnés aux élèves à la maison; le travail en classe consiste alors à faire le point sur les enjeux des graphiques et sur le calcul des fréquences. Ils peuvent également être utilisés directement en activité de classe et faciliter ainsi les échanges argumentés. ❶ Lecture de graphique Nous avons choisi deux graphiques, parus dans la presse, illustrant des problèmes de sociétés, mais présentant des graduations trompeuses ayant comme conséquence une exagération des variations. Cet exercice a essentiellement deux objectifs: ➜ vérifier que les élèves savent réaliser des graphiques; ➜ inciter les élèves à avoir un regard critique sur l’information. ÉLÉMENTSDECORRIGÉ a. Sur le premier graphique l’axe des abscisses n’est pas gradué régulièrement: il y a autant de distance entre 1935 et 1938 qu’entre 1938 et 1950! La croissance semble ainsi plus grande qu’en réalité! b. Sur le deuxième graphique, outre la graduation irrégulière de l’axe des abscisses, le fait que l’axe des ordonnées ne démarre pas à 0 donne une impression exagérée des variations! BIP % 52 02 51 01 5 0 20252935385060708185909599 0003 0052 0002 0051 0001 005 19001020304050607080902000 Remarque:il s’agit, ici, de faire tracer, aux élèves, des graphiques «à la main». ❷ Population de référence dans le calcul de fréquences Cette Approche a également deux objectifs principaux: ➜ vérifier que les élèves savent calculer une fréquence exprimée en%; ➜ rappeler l’importance, dans le calcul d’une fréquence, de la population de référence. Cette Approche se prête également très bien à un travail sur tableur: ce peut être l’occasion de faire le point avec les élèves sur leurs connaissances «informatiques». Nous avons d’ailleurs utilisé le tableur pour faire le corrigé. ÉLÉMENTSDECORRIGÉ Voici une copie d’écran comportant une feuille de calcul permettant de répondre aux questions posées. Noter la formule présente dans la cellule sélectionnée qui permet le calcul de la fréquence des élèves de cette ville qui étudient l’espagnol en LV1. 1 - Statistique 3

La lecture de ces tableaux permet de répondre très simplement aux questions posées. 1. a. 35,5% des élèves de Seconde de cette ville étudient l’allemand en LV1. b. 48,1% des élèves de Seconde de cette ville étudient l’anglais en LV1 et 16,4% l’espagnol. 2. a. 36,65% des élèves du Lycée 1; 62,92% de ceux du Lycée 2; 14,90% de ceux du Lycée3; 31,21% de ceux du Lycée 4 et 37,5 de ceux du Lycée 5 étudient l’allemand en LV1. b. Les colonnes Anglais et Espagnol du 2 e tableau donnent les résultats attendus. Le diagramme en barres demandé ne présente aucune difficulté: il suffit d’utiliser deux couleurs, l’une pour ceux qui étudient l’espagnol et l’autre pour ceux qui étudient l’anglais. 3. Il est manifeste que les cinq lycées de cette ville ne se «ressemblent» pas pour ce qui est de l’enseignement de la langue vivante 1: deux d’entre eux ne proposent que l’allemand et l’anglais (l’un avec près des deux tiers des élèves étudiant l’allemand et l’autre avec près des deux tiers des élèves étudiant l’anglais); dans les trois autres lycées la répartition entre les différentes langues n’est pas uniformemême si dans le Lycée 4 cela n’en est pas très éloigné; en effet dans le Lycée 1 et le Lycée 3 la moitié des élèves étudient l’anglais. Activités 
pour explorer Les trois activités proposées ici concernent une question intéressant les lycéens. Pour y répondre, il est nécessaire de recueillir des données et de les analyser. Les trois activités sont différentes dans leurs approches:  la première nécessite la rédaction du questionnaire et le recueil des données;  dans la deuxième, les données sont les résultats de mesures faites par les élèves;  dans la troisième, les données sont disponibles et il suffit des les analyser pour répondre aux questions. 4 1 - Statistique ACTIVITÉ 1Comment les lycéens occupent-ils leur temps? Réaliser un questionnaire n’est pas, contrairement à ce que l’on croit trop souvent, chose facile: il faut toujours penser à l’information que l’on souhaite obtenir, à la difficulté de la recueillir (exhaustivité des modalités, problèmes des choix multiples…) et à son traitement futur. Il peut être intéressant, pour réaliser le questionnaire et sensibiliser les élèves à ces difficultés, de leur demander de préparer quelques questions à la maison et, lors de la mise en commun en classe, de les faire réfléchir aux conséquences de leurs choix. Il peut également être intéressant d’analyser quelques questionnaires; il en existe de nombreux plus ou moins bien faits permettant ce travail critique. Une fois le questionnaire réalisé, différentes stratégies pour le recueil des données sont possibles:  se contenter de la population composée des élèves de la classe; cela présente l’avantage d’être rapide;  demander à chaque élève de la classe d’interroger un certain nombre d’élèves d’autres classes; se pose le problème du sérieux de la démarche;  répartir l’ensemble des élèves en petits groupes de deux ou trois; chaque groupe d’élèves ayant la charge d’une ou deux classes du lycée; on pourra recueillir ainsi les données auprès de l’ensemble des classes du lycée. ACTIVITÉ 2Comparaison des tours de poignets Cette activité est très intéressante à mener en classe: chaque élève de la classe mesure le tour de ses poignets et on recueille l’ensemble des résultats. Il faut, bien sûr, prévoir suffisamment de ficelle pour que chaque élève puisse mesurer ses poignets. Les principales difficultés, ici, sont la précision des mesures: à quel endroit mesure-t-on le tour du poignet? et les imprécisions des mesures? Cela donne l’occasion de montrer aux élèves qu’il faut absolument définir un protocole précis pour minimiser les conséquences de ces problèmes.

Concernant les résultats, les auteurs ont souvent constaté que le tour du poignet droit est légèrement plus grand que le gauche chez les droitiers; la différence (lorsqu’il est possible de la faire) entre les garçons et les filles est assez sensible, mais la variabilité pour les individus de même sexe est plutôt relativement faible. Il est possible d’utiliser ces questions pour évoquer avec les élèves le principe des tests statistiques; ici la question que se pose le statisticien est: «Les moyennes observées sont-elles vraiment différentes ou les différences observées sont- elles simplement dues aux fluctuations d’échantillonnage?» Répondre à cette question nécessite une modélisation probabiliste et la prise d’un risque accepté. ACTIVITÉ 3L’obésité, un phénomène alarmant chez les jeunes Français L’intérêt ici est de montrer comment on mesure l’obésité et de profiter de l’occasion pour rappeler comment Quételet a initié la statistique sociale. On profitera de l’occasion pour montrer les enjeux de telles études, mais aussi leurs dangers. Cet exercice se prête très bien à une utilisation du tableur: il est possible de faire le point avec les élèves sur l’utilisation des formules utilisant des variables déjà définies et sur la fonction Si (condition; valeur1; valeur2). ÉLÉMENTSDECORRIGÉ 1. Dans ce Collège, 6 élèves sur 111 sont obèses autrement dit 5,4% des élèves de Troisième de ce Collège sont obèses: la situation est moins catastrophique que celle annoncée dans la presse. 2.a. Il n’y a pas de différence notable entre les classes: il y a deux obèses en 3 e 1 et 3 e 2 et un seul en 3 e 3 et 3 e 4. b. Il semble cependant que le problème soit plus important chez les garçons: parmi les six obèses, une seule fille; cinq garçons obèses parmi les cinquante-quatre de ce Collège, cela reste cependant encore en dessous du taux annoncé dans la presse. Cours 
Nous avons voulu, dans le cours, insister sur la démarche statistique; une fois la question posée il faut:  recueillir les données;  traiter les données;  interpréter les résultats pour apporter des éléments de réponse à la question posée. Nous avons choisi, pour illustrer le cours, de dérouler toujours le même exemple: celui du contrôle de qualité dans une entreprise sidérurgique qui produit des poutres métalliques appelées brames. Nous avons cependant utilisé dans les pages de droite d’autres exemples issus de domaines différents, afin de montrer aux élèves l’étendue des domaines d’application de la statistique. Nous avons, autant que possible, présenté l’ensemble de l’étude: de la question au compte-rendu. La rédaction d’un compte rendu peut donner l’occasion d’une activité avec le professeur de français. Pour définir la médiane, nous supposons que les données x i sont rangées; nous avons choisi de définir la médiane comme étant «la» valeur n de Mqui minimise la distance
 x i – M  ;si 1=i nest impair (n=2k+1) la seule solution du problème est x k+1 ; mais si nest pair (2k) il n’y a pas unicité de la solution (tout réel de [x k ; x k+1 ] convenant): nous utilisons la conven- tion habituelle qui consiste à prendre le milieu de cet intervalle. Remarque: dans tout ce chapitre (conformément aux habitudes) nous avons omis le qualificatif «arithmétique» et lorsque nous écrivons moyenne, c’est de la moyenne arithmétique que nous parlons, c’est-à-dire de la valeur de mqui n minimise
(x i – m) 2 . 1=i Le thème Moyennes (
p.320 du manuel) illustre l’existence d’autres moyennes. Lors du calcul des fréquences (quotient des effectifs par n), il est possible (en raison des arrondis) que la somme ne soit pas égale à 1; il est possible d’éviter cet inconvénient: calculer d’abord les fréquences cumulées (quotient des effectifs cumulés par n), puis les fréquences, par 1 - Statistique 5

soustraction. C’est ce qui explique que, dans certains énoncés, on demande d’abord le calcul des fréquences cumulées, puis celui des fréquences. Conformément au programme, nous n’avons pas abordé le problème de la simulation dans la partie Cours; par contre de nombreux Travaux dirigés et exercices y sont consacrés et doivent permettre aux élèves de prendre conscience des problèmes de modélisation des expériences aléatoires (en ouverture vers les programmes de première) tout en illustrant le concept de fluctuation d’échantillonnage.
Problèmes résolus Nous avons voulu, à travers ce problème, mettre les élèves dans la situation dans laquelle se trouve le biologiste face à ces données: comment extraire l’information de ces valeurs? Les quelques éléments de statistique descriptive au programme de Seconde permettent déjà de mettre en évidence une propriété de ces données. C’est pourquoi certains auteurs préfèrent l’expression «statistique exploratoire» à «statistique descriptive»: en effet l’exploration des longueurs des pinces des perce-oreilles a permis de déceler l’existence possible de deux races de perce-oreilles.
Travaux Dirigés Apprendre EXERCICE 1Données différentes résumées en un même tableau Le but de cet exercice est de montrer aux élèves que le rangement en classes est un résumé de l’information et que la façon dont il est réalisé a des conséquences. Il est important de leur faire remarquer que:  lorsqu’une série ne contient que peu de valeurs (par exemple 12 comme ici) le rangement en classes ne sert à rien (fait ici uniquement pour illustrer facilement les conséquences d’un rangement en classes); 6 1 - Statistique  lorsque l’on range des données en classes, il faut adapter le nombre de classes aux nombres de données, éviter les classes vides, et il faut faire en sorte (autant que possible) que dans une classe les données soient uniformément réparties. ÉLÉMENTSDECORRIGÉ a. La moyenne et la médiane de la série obtenue en prenant les centres des classes sont égales à 12. b. En réalité, dans le groupe 1, moyenne et médiane sont égales à 10. Ces valeurs sont inférieures à celles obtenues en a. : tous les individus sont dans la partie gauche de leur classe; il aurait été judicieux de choisir les classes: [4; 8[, [8; 12[ et [12; 16[. c. En réalité, dans le groupe 2, moyenne et médiane sont égales à 13,5. Ces valeurs sont supérieures à celles obtenues en a. : tous les individus sont dans la partie droite de leur classe; il aurait été judicieux de choisir les classes: [8; 12[, [12; 16[ et [16; 20[. d. En réalité, dans le groupe 3, moyenne et médiane sont égales à 11,5. Ces valeurs sont assez proches de celles obtenues en a.: ici les individus sont bien répartis dans leurs classes et le choix des classes est plutôt pertinent. e. En réalité, dans le groupe 4, la moyenne est 10,67 et la médiane 10,75. La situation est quasiment la même que pour le groupe 1: il aurait été plus judicieux de choisir les classes [ f 5 . ; L 9 es [   , r  [ a 9 n ; g  1 e 3 m [ e  e n t t   s [   1 e 3 n  ; c   l 1 a 7 s [ s . es ne permettent pas d’obtenir les valeurs exactes de la moyenne et de la médiane; les valeurs obtenues en prenant les centres des classes sont plus ou moins éloignées de la réalité selon la façon dont les classes ont été réalisées. EXERCICE 2Comparaison des salaires dans deux entreprises Le but de cet exercice est de montrer que la moyenne n’est qu’un indicateur parmi d’autres et que l’information qu’elle procure est un résumé qui ne montre pas tout ; c’est pourquoi il faut, entre autres, lui associer un indicateur de dispersion. Cet exemple illustre ce que l’on appelle l’effet de structure.

ÉLÉMENTSDECORRIGÉ 1. La seule difficulté dans la réalisation des deux graphiques est due au fait que les classes n’ont pas toutes la même largeur: dans un histogramme c’est l’aire des rectangles, et non la longueur, qui est proportionnelle aux effectifs. Entreprise E 1 %2,65 37,1% 6,7% 10 3 € 0 1,5 37,5% 3 12,5% 8 50% Entreprise E 2 2. a. m 1 =1 907 € et m 2 =2 156 € ,ce qui semble donner raison au PDG de l’entreprise 1. b. o 1 =1 625 € et o 2 =1 583 € . c. c 1 =4 417 € et c 2 =3 875 € ; ceci montre que le PDG de l’entreprise 2 dit vrai. 3. Les deux PDG disent la vérité: les salariés de l’entreprise 2 sont en moyenne mieux payés que ceux de l’entreprise 1, mais les ouvriers de l’entreprise 1 sont en moyenne mieux payés que ceux de l’entreprise 2, et il en est de même pour les cadres. Ce «paradoxe» s’explique facilement par les structures très différentes de ces deux entreprises: la proportion de cadres (25%) très forte dans l’entreprise 2 pousse le salaire moyen de tous les salariés vers le haut et les cadres sont (dans les deux entreprises) en moyenne mieux payés que les ouvriers; les cadres de l’entreprise 2, quoique moins bien payés que ceux de l’entreprise 1, sont bien mieux payés que les ouvriers de l’entreprise 1. EXERCICE 3Une valeur approchée de 1 2 Les élèves doivent utiliser leur double décimètre pour effectuer des mesures; ces mesures sont donc entachées d’erreurs «inévitables»: ce sont les erreurs de mesure. Cet exercice a pour objectif de montrer que la moyenne présente l’avantage de «lisser» ces erreurs de mesure. Attention:la mesure de la longueur de la diagonale de ces carrés est 5 1 2 et pour obtenir une valeur de 1 2 il ne faut pas oublier de diviser la moyenne finale par 5. Les observations individuelles sont déjà, en général, peu dispersées; la valeur approchée obtenue avec les quatre valeurs est déjà de bonne qualité ; alors la valeur obtenue avec l’ensemble des élèves d’une classe est très «proche» (en général) de la valeur obtenue avec la calculatrice: 1,414 213 562. Remarque:ce sont les problèmes de mesure d’erreurs qui ont permis de mettre en évidence la loi de Laplace-Gauss (ou loi normale). EXERCICE 4Résumé graphique d’un bilan trimestriel Dans cet exercice, les élèves sont amenés à lire et à réaliser des graphiques très utiles mais plutôt inhabituels. ÉLÉMENTSDECORRIGÉ a. L’observation des notes d’EPS, de musique et de français suffit à prouver que l’élève A est Mathildeet l’élève C est Camille; l’élève B est donc Paul. b. Il est possible d’initier les élèves à utiliser la fonctionnalité «radar» dans le tableur, mais il est souhaitable que les élèves fassent ce graphique «à la main». SPE Latin 20 Musique Technologie 15 Franais 10 lecture SVT 5 Franais 0 criture Physique Franais laro MathHistoire DS Math Gographie LV1 LV1 DM oral crit Notes de Paul Remarque:sur les deux graphiques donnés dans l’énoncé il y a aussi les moyennes de la classe (en rouge), qui ne sont pas sur le radar de Paul. EXERCICE 5Tables de chiffres au hasard Cet exercice se prête très bien à une activité d’une heure en classe, les élèves pouvant être répartis en petits groupes (selon le modèle de leur calculatrice). Les objectifs de cet exercice sont:  montrer ce qu’est une table de chiffres au hasard; 1 - Statistique 7

 vérifier que la distribution des chiffres d’une telle table est quasi-uniforme;  vérifier que le générateur de nombres pseudo- aléatoires d’une machine rend les mêmes services;  montrer qu’il est possible d’utiliser ces outils pour simuler des expériences aléatoires;  illustrer les fluctuations d’échantillonnage d’une moyenne, d’une fréquence. ÉLÉMENTSDECORRIGÉ 1. a. L’étude des cent premiers chiffres de la table (deux premières lignes) permet de dresser le tableau suivant. Chiffre0123456789 Effectif10916915139667 Fréquence0,100,090,160,090,150,130,090,060,060,07 Il peut paraître surprenant, pour un élève, d’accepter l’hypothèse d’uniforme répartition. Il faut leur rappeler qu’un échantillon de taille 100 est encore un peu petit. On peut leur signaler qu’ils auront l’occasion, dans le futur, de travailler avec des outils leur permettant d’aller au delà; à ce propos le test du Khi 2 ne permet pas, au risque de 5%, de rejeter l’hypothèse d’uniformité. b. L’étude des cent chiffres suivants permet de dresser le tableau ci-dessous. Chiffre0123456789 Effectif1212776121213910 Fréquence0,120,120,070,070,060,120,120,130,090,10 Même remarque que pour les cent premiers chiffres. Le cumul des deux tableaux précédents donne le tableau suivant. Chiffre0123456789 Effectif22212316212521191517 Fréquence Les fréquences sont plus «proches» de 0,1. 2. a. L’observation des chiffres de l’écran proposé permet de dresser le tableau. Chiffre0123456789 Effectif3827584364 Fréquence0,060,160,040,140,100,160,080,060,120,08 8 1 - Statistique Les remarques faites précédemment restent vraies, d’autant plus que l’échantillon contient encore moins d’individus. b. Cumuler l’ensemble des résultats des élèves permet de vérifier, qu’en principe, les fréquences sont plus proches de 0,1 lorsque la taille de l’échantillon grandit. 3. a. Il suffit de convenir qu’un chiffre pair donne Pile (5 chiffres pairs sur 10 correspond bien à une fréquence de 0,5) et qu’un chiffre impair donne Face. b. Il peut être intéressant de cumuler l’ensemble des résultats de élèves pour observer (en général) alors une fréquence de Pile «proche» de 0,5. EXERCICE 6Combien de 6 en cent lancers de dé? Le but de cet exercice est de manipuler un générateur de nombres pseudo-aléatoires pour simuler une expérience et illustrer ainsi les fluctuations d’échantillonnage d’une moyenne. Il est possible de proposer aux élèves de réaliser les expériences de la question 1. chez eux; la suite de l’activité se fait alors en classe (en utilisant l’une des méthodes, selon sa propre sensibilité…) avec un premier temps de mise en commun et d’analyse des résultas obtenus, suivi de la mise en œuvre d’une des méthodes de simulation. L’auteur a utilisé le tableur pour simuler 30 expériences (de 100 lancers de dés) et a obtenu les résultats suivants. 13142416201918161622 12172414171621161117 13151612121119171324 La moyenne de cette série est 16,5… à rapprocher de 16,667. Correction dans le manuel 2004 : à la question 2.c. lire 16,7 au lieu de 5. EXERCICE 7Simulation de lancers de pièces Mêmes remarques que pour l’exercice 6.

rTavaux Dirigés
Rechercher PROBLÈME 1Loi de Bendford Pour cet exercice, les élèves peuvent relever les données chez eux; la mise en commun et l’étude des données se fait (relativement rapidement) en classe. ÉLÉMENTSDECORRIGÉ La distribution n’est pas uniforme et le 9 n’apparaît pas le plus fréquemment, au contraire: les fréquences sont (en général) une suite décroissante; le 1 apparaît le plus fréquemment et le 9 le moins fréquemment. En 1881 l’astronome Newcomb, qui avait observé cette non uniformité à partir de l’usure des tables de logarithmes, propose la formule log 10 (1 +1/k) comme fréquence d’apparition du chiffre k(voir le numéro 77 de Tangente «Faut- il se fier aux statistiques?»). Cette observation est valable quelle que soit l’unité utilisée : le changement de monnaie n’altère pas la distribution. PROBLÈME 2Les anniversaires L’auteur parie toutes les années dans ses classes (autour de 30 élèves) et le nombre de fois où il a perdu se compte sur les doigts d’une main. ÉLÉMENTSDECORRIGÉ L’auteur a procédé à une simulation et sur cent classes il en a obtenu74 dans lesquelles il gagne. Le calcul (dont la compréhension est accessible aux élèves de Seconde), si on souhaite le présenter, se fait à partir de l’événement contraire; pour une classe de nélèves, la probabilité q n de perdre est donnée par la formule de récurrence q n+1 =q n
(365 – n)/365. La probabilité de gagner dépasse 0,5 dès qu’il y a plus de 23 élèves, et 0,9 avec 41 personnes; avec 32 élèves, on trouve une probabilité de gagner égale à 0,79. PROBLÈME 3Simulation du jeu de loto Le résultat surprendsouvent: l’événement étudié se produit plus d’une fois sur deux! L’auteur a simulé 500 tirages et a obtenu291 tirages comportant au moins deux numéros consécutifs.
Auto-test Questions Q1 Q2 Q3 Q4 Bonnes réponsesVFVF FVFF FVFFVVVF Q1: Moyenne : m=  1 (14 + 15 + 15 + 16 + 16 + 16 + 17  10 + 18 +18 + 19).  m= 16,4. On peut préférer : m=  1 (1 
14 + 2
15 + 3
16 + 1
17 10 + 2 
18 + 1
19). Mais l’écriture elle-même montre le peu d’économie faite dans ce cas, et on notera que les méthodes modernes de calcul, par exemple utilisant les tableurs, n’amènent pas, dans un cas semblable, à utiliser des moyennes pondérées. Médiane : la série comporte 10 éléments et elle est déjà rangée dans l’ordre croissant. La médiane est donc la moyenne des valeurs rangées en 5 e et 6 e place, soit Med = 16. Mode : la valeur 16 est la plus représentée des valeurs de la série. Cette série est donc unimodale et le mode est 16. Dans ce cas particulier, la série est donc égale au mode. Étendue : 19 – 14. L’étendue est donc égale à 5. Q2: Les données sont présentées de façon groupée. Pour le calcul de la moyenne, l’utilisation d’un moyenne pondérée s’impose. 1 m=  (5
15 + 15
16 + 35
17 + 28 001
18 + 11
19 + 6
20); m= 17,43 (jours). Médiane : La série comporte 100 éléments et elle est rangée, en classes, dans l’ordre croissant. La médiane est la moyenne des valeurs qui seraient rangées en 50 e et 51 e place si l’on écrivait toutes les valeurs en les répétant autant de fois que nécessaire. Le tableau montre que, dans ces conditions, la 5 e valeur serait 15, la 6 e serait 16, la 20 e (5 +15) serait 16, la 21 e serait 17, et la 55 e (5 + 15 + 35) 1 - Statistique 9

serait 17. Les 50 e et 51 e valeurs sont donc toutes deux 17. La médiane est donc 17 jours. La nombre de jours le plus fréquent est 17. Le mode est donc 17 jours. Q3: 20% des familles sont sans enfant. D’où la réponse Fà d. Q4: Les valeurs 10 et 90 sont évidemment aberrantes. Une fois ces deux valeurs enlevées, on calcule la fréquence de la modalité 40 : f=  40 =  4  0 15 + 22 + 30 + 45 +40 +28 + 2182 f= 0,219. À 0,01 près cette fréquence est donc égale à 0,22. Mais une valeur approchée à 0,01 près d’un nombre xest aussi une valeur approchée à 0,1 de ce nombre. D’où la réponse Và b. Cela peut être une bonne occasion de réfléchir à la notion de valeur approchée. Moyenne : m= 15
36 + 22
37 + 30
38 + 45
39 + 40
40 + 28
41 + 2
42 . 15 + 22 + 30 + 45 +40 + 28 + 2 m=  7 081 281 Soit : m= 38,90. La médiane d’une série statistique n’est pas modifiée si l’on supprime le même nombre de valeurs aux deux extrémités de la série.
Exercices Appliquer 1 a. La population concernée est l’en- semble des consommateurs français. b. L’échantillon étudié est l’ensemble des 1245 personnes interrogées. c. Il n’est pas facile de décider de la représen- tativité de cet échantillon: pourquoi unique- ment les grands magasins? de quelles villes?… Il s’agit ici, uniquement, de sensibiliser les élèves aux éventuels biais présents dans la constitution de l’échantillon. 2 a. La population concernée par cette étude est l’ensemble des Français. b. L’échantillon étudié est composé des 850 Français extraits du fichier de recensement; le hasard garantit, ici, une certaine représentativité. 10 1 - Statistique c. Les caractères étudiés sont le département (qualitatif), le nombre de personnes au foyer (quantitatif discret), le montant du revenu imposable (quantitatif continu), la catégorie socio-professionnelle et le niveau d’études (tous les deux qualitatifs). 3 a. La population concernée par cette étude est l’ensemble des pièces fabriquées le jour de l’étude. b. L’échantillon étudié est composé des 50 pièces prélevées. (Le hasard garantit, ici, une certaine représentativité.) c. Les caractères étudiés sont la largeur, la longueur, le poids d’une pièce (quantitatifs continus), la présence ou non de défauts de surface (qualitatif à deux modalités). 5 (voir Tangente n°77) a. Chaque mois est représenté par un secteur angulaire de 30°: (360/12). b. On constate que le nombre de morts par maladies évitables croît brutalement en juillet, puis un peu plus modérément en août, avant de décroître jusqu’en octobre pour repartir de plus belle jusqu’à atteindre un pic très important en janvier 1885. c. Le nombre de morts suite aux blessures mortelles n’a pas la même évolution: relativement faible dans les premiers mois de la campagne (d’avril à octobre), il augmente de façon très importante en novembre, avant de baisser en décembre, puis de remonter dès janvier 1885. 6  .a Intervalle ] 1 600; 2 000 ] ] 2 000; 2 400 ] ] 2 400; 2 800 ] ] 2 800; 3 200 ] ] 3 200; 3 600 ] ] 3 600; 4 000 ] ] 4 000; 4 400 ] Effectif 5 9 42 63 02 5 1 Effectif cumulé croissant 5 41 83 47 49 99 001

b. Poids des bébés Effectif 03 02 01 0 1 6002 0002 4002 8003 200 Poids (en g) Les deux exercices 7 et 8 ont le même objectif: faire une lecture critique de graphiques parus dans la presse. 7 a. La variable étudiée est l’âge. L’étude concerne les Français; on peut cependant noter, que dans le troisième graphique, il est fait allu- sion à l’Union Européenne. b. L’étude porte sur l’ensemble de la population. c. Les calculs nécessaires à la réalisation de ces graphiques sont essentiellement des calculs de fréquences. d. Ces graphiques sont des illustrations permettant de comprendre la structure de la population française (Doc. 1), l’évolution de la proportion des personnes de plus de 65 ans et les évolutions comparées des proportions des trois catégories d’âge (Doc. 2). 8 a. L’étude concerne le marché auto- mobile et son évolution dans le temps, en France et en Europe. Les variables étudiées sont la marque et le modèle des voitures vendues. b. L’étude porte sur l’ensemble des voitures vendues. c. Le premier graphique (Doc. 1) est réalisé directement à partir des donnéesbrutes; il suffit, pour les autres, de calculer des fréquences. d. Ces graphiques sont des illustrations permettant de comparer l’évolution dans le temps des marchés français et européens (Doc.1) de visualiser le nombre de voitures fabriquées par les onze premiers constructeurs mondiaux (Doc. 2) et de visualiser les parts de marché occupées par les dix modèles les plus vendus en France (Doc. 3). 9 Le diagramme en tige et feuilles est très utilisé dans les pays anglo-saxons; il présente l’avantage d’être facile à réaliser et permet de visualiser simplement les données. 0414 04 3910 80 0383 3740 40 63 3510 10 3410 20 3330 50 70 80 80 3200 10 10 20 30 50 60 70 80 90 90 90 3100 00 20 20 50 60 60 70 70 80 80 90 3000 00 10 40 50 70 70 80 90 2900 10 40 50 60 60 2810 10 20 20 40 60 80 80  2700 00 30 30 40 60 70 2600 10 20 40 50 50 60 80 2520 40 40 40 2400 00 10 40 60 80 90 2340 40 2210 40 0512 2010 90 0191 0181 1730 40 0661 Les deux exercices 11 et 12 permettent de mettre en oeuvre les techniques de calcul vues en cours. Associés respectivement aux exercices 6 et 10, ils permettent de faire le point sur tous les concepts de la statistique descriptive; il est possible d’utiliser l’un ou l’autre en devoir de contrôle. 11 a. L’étendue est 2 480 g (4 140 – 1 660 = 2 480). b. La médiane est 2 955 g (demi-somme du 50 e et du 51 e : (2 950 +2 960)/2). c. La somme des poids est donnée(290310g) et la moyenne estdonc 2 903,1 g. 12 a. Les garçons sont allés en moyenne 1,75 fois au cinéma; les filles4,42 fois. Et la moyenne pour l’ensemble des élèves de la classe est 2,75 (12
4,42 +20
1,75) /32) b. Le mode de la série est2. Sept élèves (2filles et 5 garçons) sont allés 2 fois au cinéma. Toutes 1 - Statistique 11