Strong-coupling solution of the dynamical mean-field equations for the Mott-Hubbard insulator on a Bethe lattice [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Daniel F. Ruhl

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• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Deutsch
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Extrait

Strong-Coupling Solution of the
Dynamical Mean-Field Equations for the
Mott-Hubbard Insulator on a Bethe Lattice
blablabla
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
dem
Fachbereich Physik
der Philipps-Universita¨t Marburg
vorgelegt
von
Diplom-Physiker
Daniel F. Ruhl
aus
Kassel
Marburg/Lahn 2010Vom Fachbereich Physik der Philipps-Universita¨t Marburg
als Dissertation angenommen am 11.06.2010
Erstgutachter: Prof. Dr. Florian Gebhard
Zweitgutachter: Prof. Dr. Peter Lenz
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 22.06.2010Zusammenfassung
Die Geburtsstunde der Physik korrelierter Elektronensysteme datiert in das Jahr 1937. De Boer und
¨Verwey erkannten, dass viele Ubergangsmetalloxidewie NiO schlechte elektrische Leiter, ja sogarIsola-
toren sind, ganz im Gegensatz zu den Vorhersagen der Bandstrukturberechnungen. Erste theoretische
Ans¨atze von Sir Nevill Mott wiesen auf die entscheidende Bedeutung der Wechselwirkung zwischen den
Elektronen hin, so dass diese sich nicht unabh¨angig voneinander, sondern korreliert bewegen.
Trotz intensiver Forschungen in den letzen Jahrzehnten bleiben korrelierte Vielteilchensysteme ein
schwieriges und faszinierendes Teilgebiet der Physik kondensierter Materie. Es umfasst heute so di-
verse Pha¨nomene wie Magnetismus, Hochtemperatursupraleiter, Sto¨rstellenmodelle, “Schwere Fermio-
¨nen” und nicht zuletzt den Metall-IsolatorUbergangund die damit verbundene Beschreibung des Mott
Isolators.
Viele Fragen sind bis heute nicht oder nur unzureichend geklart. Das Hauptproblem bei der theoreti-¨
schen Beschreibung solcher Systeme ist unser Unvermo¨gen, wechselwirkende Vielteilchensysteme exakt
l¨osen zu k¨onnen. Lediglich Modelle wechselwirkender Elektronen in einer Raumdimension konnten bis-
her exakt behandelt werden. Aufgrund der niedrigen Dimension ist die Physik dieser Modelle jedoch
nicht auf h¨ohere Dimensionen u¨bertragbar. Es gibt kaum analytische Methoden, die zwei- oder dreidi-
mensionaleSystemebeschreibenk¨onnen.AuchdieZahlderaussagekra¨ftigennumerischenMethoden ist
sehr begrenzt. Diese Tatsachen machen deutlich, dass wir auf zuverl¨assige Methoden angewiesen sind,
vereinfachende Vielteilchenmodelle kontrolliert na¨herungsweise zu l¨osen.
Eine solche Methode ist die Dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), welche in den letzten zwei
Jahrzehnten vor allem durch Arbeiten von Vollhardt, Metzner, Brandt, Mielsch, Georges, Kotliar und
Jarrell entwickelt wurde. Die DMFT erlaubt es, ein Gittermodell itineranter Elektronen mit lokaler
Wechselwirkungauf ein effektives Sto¨rstellenmodell abzubilden. Diese Abbildung ist exaktim Grenzfall
einesGitters mit unendlicherKoordination,liefert aberauchverla¨ssliche,approximativeAussagenu¨ber
die Physik endlichdimensionaler Gitter. Obwohl die Sto¨rstellenmodelle konzeptionell einfacher sind als
dieGittermodelle,stellensiedennochsehrkomplizierteVielteilchenproblemedar.DieSto¨rstellenmodelle
enthalten zwar keine ra¨umlichen Korrelationenmehr, beschreiben aber die zeitlichen Korrelationen des
Gittermodells vollst¨andig.
IndieserArbeitbesch¨aftigenwirunsmitdertheoretischenBeschreibungdeskorreliertenMott-Hubbard
Isolators.Obwohl das Hubbard Modell das konzeptionell einfachste Modell korrelierterElektronen dar-
stellt,wurdebishernurineinerDimensioneineexakteLo¨sunggefunden.AuchdasModellinunendlichen
Dimensionenist bishernichtexaktgelo¨st.ZielsetzungunsererArbeit ist dieanalytischeBerechnungder
Einteilchen-Zustandsdichte sowie der Lu¨cke fu¨r Ladungsanregungendes Mott-Hubbard Isolators in un-
endlichen Dimensionen. Hierzu berechnen wir die lokale Greenfunktion des Hubbard Modells auf dem
Bethegitter mit unendlich vielen na¨chsten Nachbarn bei der Temperatur T =0.
Unser Startpunkt ist die Dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), um das auf dem Gitter definierte
Hubbard Modell auf das Single Impurity Anderson Model (SIAM) abzubilden. Da der Mott-Hubbard
Isolator durch eine Lu¨cke in seinem Anregungsspektrum der Gro¨ßenordnung U charakterisiert ist, for-
mulieren wir das SIAM mit zwei Elektronen-Ba¨dern, welche ebenfalls in der Energie um U vonein-
ander separiert sind. Es ist wichtig an dieser Stelle anzumerken, daß die Parameter des effektiven
St¨orstellenmodells nicht bekannt sind, sondern selbstkonsistent bestimmt werden mu¨ssen. Mit Hilfe ei-
ner St¨orungstheorie, welche von dem japanischen, mathematischen Physiker Tosio Kato entwickelt und
sp¨atervonMinoruTakahashiaufdasHubbardModellinniedrigenDimensionenangewandtwurde,sind
wir in der Lage die Lo¨sungen der Selbstkonsistenzgleichungen der DMFT bis zur dritten Ordnung in
1/U anzugeben.Hiermit prasentierenwirzum ersten Mal eine analytischeLosungder Selbstkonsistenz-¨ ¨
gleichungen der DMFT fur den Mott-Hubbard Isolator.¨
Die Lo¨sungen der Selbstkonsistenzgleichungenko¨nnen als ein diskretisiertes, auf einer halbunendlichen,
eindimensionalen Kette definiertes Streuproblem aufgefaßt werden. Wir berechnen die lokale Green-
funktion des ersten Gitterplatzes dieses Modells und erhalten auf diese Weise die Greenfunktion des
Hubbard Modells auf dem Bethegitter mit unendlich vielen n¨achsten Nachbarn.
Wir vergleichenunsere analytischenErgebnissefu¨r die Zustandsdichteund die Einteilchenlu¨ckemit nu-
iiimerischen Daten aus der Dynamischen Dichtematrix Renormierungsgruppenmethode (DDMRG). Wir
¨finden ausgezeichnete Ubereinstimmung bis zu Werten der Zweiteilchenwechselwirkung von U ≈ 5,
bei einer Bandbreite des nicht-wechselwirkenden Systems von W = 4. Zusatzlich sind wir dank der¨
Anregungslucke des Isolators in der Lage, eine genaherte Matsubara-Greenfunktion fur Temperaturen¨ ¨ ¨
T ≪ U −W zu berechnen. Diese gestattet uns einen Vergleich mit Daten der Quanten-Monte-Carlo
(QMC) Methode, ohne dass diese (numerisch) analytisch fortgesetzt werden mu¨ssen. Wir finden her-
¨vorragende Ubereinstimmung bei einer Temperatur von T =0.05 und Wechselwirkungs-St¨arken bis zu
U ≈5.
Trotz zwei Jahrzehnten intensiver Forschung und Weiterentwicklung der DMFT ist bisher keine exakte
L¨osung der Selbstkonsistenzgleichungen fu¨r das Hubbard Modell bekannt. Insbesondere wurden bisher
keine analytischen Lo¨sungen fu¨r den Mott-Hubbard Isolator angegeben. Unsere analytischen, bis ein-
schließlich zur dritten Ordnung in 1/U exakte Lo¨sungen der DMFT-Selbstkonsistenzgleichungen sind
daher sicher ein bemerkenswertes Ergebnis. Da sie fu¨r den thermodynamischen Limes gelten, unterlie-
gen sie insbesondere nicht den ‘finite-size’ Effekten, die letztendlich bei allen numerischen Methoden
auftreten und durchExtrapolationminimiert werdenmu¨ssen.Dies ist sehraufwendigund oftmalsnicht
befriedigenddurchfu¨hrbar.UnsereErgebnissestellensomiteinenverl¨asslichenBenchmark-Testdar,der
helfen kann, die Genauigkeit numerischer Methoden besser abzuscha¨tzen. Daru¨berhinaus gibt unsere
analytische Methode Einblicke in die Physik des korrelierten Mott-Hubbard Isolators. Eine Weiterent-
4wicklung zur Ordnung 1/U konnte etwa anzeigen, ob im Mott-Hubbard IsolatorBander existieren, die¨ ¨
bei hoheren Anregungsstufen des atomaren Limes-Modells zentriert waren. Dies ware im Hinblick auf¨ ¨ ¨
¨die Diskussion der Art des Isolator-Metall-Ubergangs sicher von Interesse.
ivContents
1. Introduction 1
1.1. Metals and Insulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Mott Insulator and Single-Particle Gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Aim of this Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Structure of the Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I. Models 9
2. Electrons in Solids 11
2.1. Drude Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. First Principles Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1. Adiabatic Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2. Hartree-Fock Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Tight-Binding Model 17
3.1. Motivation of the Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Tight-Binding Model on Hypercubic Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Tight-Binding Model on Bethe Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1. Digression on Graph Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2. Electron Motion on Bethe Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Single Impurity Anderson Model 31
4.1. Hamiltonian and Model Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Non-Interacting Limit (Fano-Anderson Model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Limiting Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1. Deep Impurity Limit (Local-Moment Regime) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.2. Resonance Lim