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Sur la répartition des zéros de certaines fonctions méromorphes liées à la fonction zêta de Riemann

De
151 pages
Sous la direction de Michel Balazard
Thèse soutenue le 19 septembre 2008: Bordeaux 1
Nous traitons trois problèmes liés à la fonction zêta de Riemann : 1) L'établissement de conditions pour déterminer l'alignement et la simplicité de la quasi-totalité des zéros d'une fonction de la forme f(s)=h(s)±h(2c-s), où h(s) est une fonction méromorphe et c un nombre réel. Cela passe par la généralisation du théorème d'Hermite-Biehler sur la stabilité des fonctions entières. Comme application, nous avons obtenu des résultats sur la répartition des zéros des translatées de la fonction zêta de Riemann et de fonctions L, ainsi que sur certaines intégrales de séries d'Eisenstein. 2) L'étude de la répartition des zéros des sommes partielles de la fonction zêta, et des ses approximations issues de la formule d'Euler-Maclaurin. 3) L'étude du prolongement méromorphe et de la frontière naturelle pour une classe de produits eulériens, qui inclut une série de Dirichlet utilisée dans l'étude de la répartition des valeurs de l'indicatrice d'Euler.
-hypothèse de Riemann
-prolongement méromorphe
-théorème d'Hermite-Biehler
-frontière naturelle
-stabilité
-sommes partielles
We deal with three problems related to the Riemann zeta function: 1) The establishment of conditions to determine the alignment and simplicity of most of the zeros of a function of the form f(s)=h(s)±h(2c-s), where h(s) is a meromorphic function and c a real number. To this end, we generalise the Hermite-Biehler theorem concerning the stability of entire functions. As an application, we obtain some results about the distribution of zeros of translations of the Riemann Zeta Function and L functions, and about certain integrals of Eisenstein series. 2) The study of the distribution of the zeros of the partial sums of the zeta function, and of some approximations issued from the Euler-Maclaurin formula. 3) The study of the meromorphic continuation and the natural boundary of a class of Euler products, which includes a Dirichlet series used in the study of the distribution of values of the Euler totient.
-Riemann Hypothesis
-Hermite-Biehler theorem
-stability
-partial sums
-meromorphic continuation
-natural boundary
Source: http://www.theses.fr/2008BOR13622/document
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◦N d’ordre : 3622
`THESE
pr´esent´ee a`
´L’UNIVERSITE BORDEAUX 1
´ ´ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
´ ˜´par Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
´ ´ ´SPECIALITE : MATHEMATIQUES PURES
´ ´SUR LA REPARTITION DES ZEROS
DE CERTAINES FONCTIONS
´ ´ `MEROMORPHES LIEES A LA
ˆFONCTION ZETA DE RIEMANN
Soutenue le : 19 septembre 2008 `a l’Institut de Math´ematiques de Bordeaux
Apr`es avis de :
´Herv´e QUEFFELEC, Professeur Universit´e de Lille 1 Rapporteur
Jie WU, Charg´e de Recherches Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1 Rapporteur
Devant la comission d’examen form´ee de :
Michel BALAZARD, Charg´e de Recherches Universit´e Aix-Marseille II Directeur
Yuri BILU, Professeur Universit´e Bordeaux 1 Rapporteur
´Driss ESSOUABRI, Professeur Universit´e de Saint Etienne Examinateur
´Herv´e QUEFFELEC, Professeur Universit´e de Lille 1 Examinateur
Jie WU, Charg´e de Recherches Universit´e Henri Poincar´e Nancy 1 Examinateur
Alain YGER, Professeur Universit´e Bordeaux 1 Pr´esident
Universit´e Bordeaux 1 - Les Sciences et les Technologies au service de l’Homme et de l’environnement´ ˜´Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON
´ ´SUR LA REPARTITION DES ZEROS
DE CERTAINES FONCTIONS
´ ´ `MEROMORPHES LIEES A LA
ˆFONCTION ZETA DE RIEMANN´ ˜´Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON
Institut de Math´ematiques de Bordeaux - Universit´e Bordeaux 1,
351 Cours de la Lib´eration, 33405 Talence Cedex.
E-mail : Oswaldo.Velasquez@math.u-bordeaux1.fr
Je tiens `a remercier mon directeur de th`ese, Michel Balazard, tout d’abord pour
m’avoir accept´e en th`ese, lorsque j’´etais au P´erou, ce qui a entraˆın´e mon premier
voyage en Europe, et pour toute la patience et libert´e qu’il m’a accord´e pendant
ces ann´ees. Il a ´et´e t´emoin de mon ´evolution, au niveau des math´ematiques et du
franc¸ais.
Je dois un remerciement sp´ecial a` Driss Essouabri, qui m’a accueilli `a Caen pen-
dant ma derni`ere ann´ee de th`ese. D’une motivation in´epuissable et une grande soif
de connaissance, il m’a introduit aux probl`emes de prolongement m´eromorphe des
s´eriesde Dirichlet, ce qui a´et´e a` l’origine du dernier chapitre de ma th`ese. J’appr´ecie
´egalement son coˆt´e tr`es humain et je le remercie de ses conseils.
Je remercie Herv´eQu´effelec et Jie Wu, pour avoir accept´ede rapporter sur ma th`ese,
en sacrifiant des journ´ees de leurs vacances. Je suis ´egalement honor´e qu’ils fassent
partie de mon jury de th`ese.
Je remercie ´egalement Yuri Bilu et Alain Yger, deux professeurs de Bordeaux que
j’admire beaucoup, pour avoir accept´e de faire partie de mon jury de th`ese.
Ilestdifficilederemerciermaintenanttouslesgensquim’ontaid´ependantladur´eede
cette th`ese, directement ou indirectement, soit au niveau acad´emique, soit au niveau
personnel. J’ai eu la chance d’avoir pu r´ediger cette th`ese a` deux endroits diff´erents,
l’Institut de Math´ematiques de Bordeaux (IMB) et le Laboratoirede Math´ematiques
Nicolas Oresme (LMNO) de l’Universit´e de Caen (le deuxi`eme pendant la derni`ere
ann´ee de th`ese, en qualit´e d’ATER). Je remercie, a` l’IMB, Arnaud Chadozeau, Elie
Nasr, Issam Louhichi, Walid Zaouali, Matthieu Gendulphe, Montse Alonso, Fabien
Pazuki,JeanStarynk´evitch,NabilAboudi,AbdlilahBouali,RadoinBelaouar,Florent
Jouve, Bertrand Meyer. Je veux aussi remercier les membres de la Cellule Informa-
tique, de la Biblioth`eque de Math´ematique et Informatique et les s´ecretairesdu labo-
ratoire, pour m’avoir rendu la vie plus facile (surtout ces trois derniers). Au LMNO,
jementionnelesnomsdeDanielleSalles-LeGac,LeonardoBaffico(et Karine),Chris-
tian Ballot, Denis Simon, GabrieleRanieri, PatrickRabarison,Ludovic Delabarre.Je
remercie aussi les s´ecretaires.
Endehorsdeslaboratoires,je n’oubliepasde remercierNataly(etZiad),Victor,Car-
men (et Yann), Evanice, Benjamin, Jos´e Augusto, qui sans avoir rien `a voir avec les
math´ematiques (sauf le dernier), m’ont aid´e dans les moments de besoin.
Cette th`ese n’aurait pas vu le jour sans le soutien de mes parents, Sara et Oswaldo.
Je n’ai pas de mot, ni en franc¸ais ni en espagnol, pour exprimer mes sentiments de
gratitude envers eux.
Finalement, un grand merci pour son soutien inconditionnel `a la personne qui a eu le
plus de patience entre tous et qui m’attend depuis le d´ebut, ma ch`ere Yboon.
Je finis en remarquant que cette th`ese a d´emarr´egrˆace au soutien de l’Ambassade de
France au P´erou et le CONCYTEC.`A la m´emoire de ma grande m`ere Alicia´ ´SUR LA REPARTITION DES ZEROS DE CERTAINES
´ ´ `FONCTIONS MEROMORPHES LIEES A LA FONCTION
ˆZETA DE RIEMANN
´ ˜´Oswaldo Jos´e VELASQUEZ CASTANON`TABLE DES MATIERES
Notations .................................................................... 9
Introduction .................................................................. 11
0.1.Majorationdunombredez´erosd’unefonctionm´eromorpheendehorsd’une
droite verticale ........................................................ 13
0.2. Z´eros d’approximations de la fonction zˆeta de Riemann ................ 18
0.3. Prolongement m´eromorphe et fronti`ere naturelle de produits eul´eriens .. 19
Bibliographie ................................................................ 21
1. Z´eros des exponentielles-polynˆomes .................................... 23
1.1. Polynoˆmes de Dirichlet .................................................. 23
1.2. Le cas g´en´eral des exponentielles-polynoˆmes ............................ 31
1.3. Stabilit´e ................................................................ 37
Bibliographie ................................................................ 39
2.Majorationdunombredez´erosd’unefonctionm´eromorpheendehors
d’une droite verticale et applications .................................. 41
2.1. Motivation et notations ................................................ 41
2.2. Z´eros sur la droite critique .............................................. 43
2.3. R´esultat principal ...................................................... 46
2.4. R´epartition globale des z´eros ............................................ 51
2.5. Polynˆomes et stabilit´e. Le th´eor`eme d’Hermite-Biehler .................. 52
2.6. Une exponentielle-polynˆome simple .................................... 54
2.7. Translat´ees de la fonction zˆeta de Riemann ............................ 56
2.8. Infinit´e de z´eros sur la droite critique .................................. 61
2.9. Infinit´e de z´eros a` droite de la droite critique et th´eor`emes de densit´e .. 63
2.10. Int´egrales associ´ees `a des s´eries d’Eisenstein .......................... 66
2.11. Dominance faible. Un r´esultat non effectif ............................ 73
2.12. Approximations de la fonction zˆeta d’Epstein .......................... 75
´2.13. Etude en l’absence de sym´etrie r´eelle .................................. 81`8 TABLE DES MATIERES
2.A. Stabilit´e ................................................................ 88
Bibliographie ................................................................ 91
3. Z´eros des sommes partielles de la fonction zˆeta de Riemann .. . . . . 95
3.1. Premi`ere localisation et r´epartition globale des z´eros .................... 95
´3.2. Etude du supremum des parties r´eelles des z´eros ........................100
´3.3. Etude de l’infimum des parties r´eelles des z´eros ........................103
3.4. Port´ee de l’approximation des sommes partielles a` la fonction zˆeta ......110
3.5. Z´eros des approximations de la fonction zˆeta issues de la formule d’Euler-
Maclaurin ..............................................................112
3.A. Exp´eriences num´eriques ................................................122
Bibliographie ................................................................124
4.Prolongementm´eromorpheetfronti`erenaturelled’unenouvelleclasse
de produits eul´eriens ....................................................127
4.1. Introduction ............................................................127
4.2. Une fonction zˆeta associ´ee `a l’indicatrice d’Euler ........................128
4.3. Produits eul´eriens associ´es a` des fonctions multiplicatives ..............136
4.4. G´en´eralisation ..........................................................138
Bibliographie ................................................................147