Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles

Henri Poincaré

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• Differential equation
• Function

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Extrait

,
D'ORDRE
452. THESES
PRÉSENTÉES
DES SCIENCES DE PARISA LA FACULTÉ
l'OlH OBTENIR
LE GIIADE 1)E DOCTEUK ES SCIENCES MATHÉMATIQUES,
Par m. POIACARÉ,
Ingénieur des Mines.
1" —THÈSE. Sur les propriétés des fonctions défîmes par les éqlations
Aox différences partielles.
2^ —THÈSE. Propositions données par la Faculté.
C'oiiiiiiissioiiSouteuueS; le 1S99, devnnt In
d'Exniuen»
MM. BOUQUET, Président
OSSIAN BONNET,
,
E.raminateurs.
\
DARBOUX,
PAI{IS.
IMPRIMEUR-LIBRAIKEGADTHIEK-VILLARS,
des LowcrrnDES,DE l'École polytechhiqde , nu bubeau
MALLET-BACHELIERSUCCESSEUR DE
Quai des Auguslins, 55.
1879 i^A/ACADÉMIE DE PARIS.
KACUl.TÉ DES SCIENCES DE PARIS.
MM.
MILNE EDWARDS, Professeur Zoologie, Anatomie, Phy-
siologie comparée.
DUMAS.
PROFESSEURS HONORAIRES
PASTEUR.
supérieureGéométrieCHASLES
Plivsique.P. DESAINS
LIOUVILLE I\Iécanique rationnelle.
PUISEUX Astronomie.
HÉBERT Géologie.
DUCHARTRE ; . . Botanique.
JAMIN Physique.
SERRET Calcul différentiel et intégral.
H. S"=-CLAIRE DEVILLE. Chimie.
DE LACAZE-DUTHIERS.. Zoologie, Anatomie, Physio-
PROFESSEURS logie comparée.
BERT Physiologie.
HERMITE . Algèbre supérieure.0^
BRIOT Calcul des probabilités, Phy-
sique mathématique.
BOUQUET , Mécanique physique et expé-
rimentale.
TROOST . . . Chimie.
WURTZ Chimie organique.
FRIEDEL. .. Minéralogie.
O. BOiNNET. Astronomie,
BERTRAND.
Sciences mathématiques.AGRËGËS.
J. VIEILLE.
PELIGOT. . . Sciences physiques.
PIIILIPPO.N.SECRETAIRE
'^ Pabis iMpnijiEniE DE GAUT11IER-\TLL.\US. successeur de MALLET-BACHELIER,-
Quai des Augustins. 55.BONNETOSSIANM.
respectueux.Iloinmago
l'ÛINCAlU-.PREMIÈRE THÈSE.
DES F0>CT10.NSPROPRIÉTÉSLESSDR
l'AnDÉt"iMi:s
PARTIELLES.AUX DIFFÉRE^'CESLES ÉQUATIOAS
INTRODUCTION.
did'ércnces partiellesdes éciuations auxproblème de l'intégralionLe
géomètres; mais ce n'est (iii'aiidès le siècle dernier par lesa été abordé
sont parvenus à ra-siècle qne Caucliy el Jacoi)icommencement de ce
des équations aux dérivées partiellescomplètement l'intégrationmener
ilillerenlielles ordinaires.à celle des équationsdu premier ordre
point épuisée, car ce dernier problème,Toutefois la question n'était
diflérenlielles ordinaires, elail loindes équations auxl'intégration
n'était pas dénionlréemême de l'intégraled'être résolu. L'existence
manière rigoureuse.d'une
nouveau problème, et, dans le Tome XIV desCauchv aborde ce
f\^.Académie des Sciences 1020-102^). ilrendus des séances de iComptes
<|u'il appelleun nouveau mode de calcul ra/fw/imagine pour le résoudre
diiïérenlielles ordinaireslimites, el il démontre que les é(iuationsdes
cette iiilcgralc,définit complètement ouadmettent une intégrale; il
en montrant qu'elle peut seun élément de cette intégrale,plutôt
suivant les puissancesgénéral par une série ordonnéereprésenter en
convergentes dans de certaines limites.croissantes de la variable etC'est donc une intégration complète, mnis qui ne nous fait pas con-
nailre la valeur que prend la fonclion cliereliée quand on donne à celte
variable une valeur quelconque, mais seulement quand le module de
celte variable reste plus petit qu'une quantité donnée.
Dans le Tome XV des Comptes rendus des séances de l'Académie des
Sciences, il applique les procédés du calcul des limites d'abord aux équa-
tions linéaires aux différences partielles du premier ordre 44-58),(p.
puis à un système quelconque d'équations aux différences partielles
d'ordre quelconque 85-ioi).ll recberche quelle est l'intégrale de ces(p.
équations qui est assujettie à se réduire, quand l'une des variables s'an-
nule, à certaines fonctions données des autres variables indépendantes, et
il démontre que cette intégrale peut encore, en général, se représenter
par une série ordonnée suivant les puissances croissantes des variables.
dansEnfin, le Tome XVI il recliercbe devrait(p. 072), comment on
aborder le problème quand l'intégrale particulière que l'on étudie est
assujettie
ii d'autres conditions qu'à celle de se réduire, quand l'une des
variables s'annule, à certaines fonctions données des autres variables.
\),\n> le cas le plus général, le problème qui nous occupe a donc été
complètement résolu parCaucby.
Il a été depuis repris par deux géomètres. Dans une Tbèse inaugurale,
insérée dans le Tome 80 du Journalde Crelle i et suivantes), M"" de(p.
Kowalewski a démontré de nouveau .des ibéorëmes déjà trouvés par
Caucby; enfin M. Darboux en a inséré une démonstration nouvelle dans
leTomeLXXX des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences
Toutefois,^p. 101). il existe encore des cas où le théorème de Cauchy
ne peut pas s'appliquer et où l'intégrale soit dillëren-d'une équation
lielle ordinaire, soit d'une équation aux différences partielles, ne peut
se représenter par une série convergente ordonnée suivant les puis-
siinces croissantes des variables.
Pour les équations différentielles ordinaires, ces cas exccj)lionnels
ont été étudiés par MM. lîriot et Bouquet, dans un Mémoire intitulé
Mémoiresur lesfonctions définiespar les équations différentielles et inséré
dans leTome XXXVl du Journalde l'École Polvtec/mique.
Mon but, dans ce travail, est d'étudier de même, pour les équations
aux différences partielles du premier ordre, les cas exceptionnels où le
théorème de Cauchy ne s'appli(|ue plus.